[管理学]统计学原理_统计_统计学第5章

,假 设 检 验,第五章,假设检验与区间估计的差别,区间估计是用给定的大概率推断出总体参数的范围利用样本信息估计总体参数将落在什么范围里；假设检验是以小概率为标准，对总体的状况所做出的假设进行判断利用样本信息回答总体参数是不是会落在事先假定的某一个范围里。 假设检验与区间估计结合起来，构成完整的统计推断内容。,本章的目的与要求,通过本章学习，要求学生在充分理解有关抽样分布理论的基础上，理解掌握假设检验的有关基本概念；明确在假设检验中可能犯的两种错误，以及这两种错误之间的联系；熟练掌握总体均值和总体成数的检验方法，主要是 Z 检验和 t 检验；对于非参数的检验，也应有所了解，包括符号检验、秩和检验与游程检验等。,本章内容,一、假设检验概述与基本概念,二、总体参数检验,三、总体非参数检验,1、总体平均数的检验2、总体成数的检验3、总体方差的检验,1、符号检验 2、秩和检验 3、游程检验,学习重点,学习难点,一、假设检验的有关基本概念;二、总体平均数与总体成数的检验； 三、非参数检验；,一、假设检验的基本思路与有关概念；二、两类错误的理解及其关系；,第一节 统计检验的基本概念,一、假设检验概述,假设检验：利用统计方法检验一个事先所作出的假设的真伪，这一假设称为统计假设，对这一假设所作出的检验就是假设检验。,基本思路：首先，对总体参数作出某种假设，并假定它是成立的。然后，根据样本得到的信息（统计量），考虑接受这个假设后是否会导致不合理的结果，如果合理就接受这个假设，不合理就拒绝这个假设。,基本思想,小概率原理：,如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。,所谓合理性，就是看是否在一次的观察中出现了小概率事件。,原理,消费者协会接到消费者投诉，指控某品牌纸包装饮料存在着容量不足，有欺骗消费者嫌疑。该饮料包装上标明的容量为 250 毫升。消费者协会从市场上随机抽取了50盒该品牌纸包装饮品，测量结果平均含量为 248 毫升，小于 250 毫升。这是生产中的正常波动，还是厂商的有意行为？消费者协会能否根据该样本数据，判定该饮料厂厂商欺骗了消费者？,该厂生产是正常的，那么给定一个显著水平为 0.05的小概率，不会存在显著差异。故建立原假设,但是，如果随机抽出的样本所计算的统计量偏偏就在小概率范围内出现，说明样本值与假设的参数值之间存在着显著性差异。建立对立假设,H1： 250（毫升）,H0： 250（毫升）,二、假设检验的基本概念,（一）原假设与对立假设,1、原假设：用 “ H0：”表示,这是研究者对总体参数事先提出的假设。通常以总体没有发生显著变化为原假设。,2、对立假设：用 “ H1：”表示,这是与原假设完全对立的、矛盾的假设，假设总体发生了显著的变化。,原假设也称“零假设”、“虚无假设”,对立假设也称“备择假设”,（二）显著性水平与显著性差异,1、显著性水平：,在统计检验中，判断假设是否合理，是根据一定的标准来确定的，这个标准是在检验之前由研究者事先主观选定的一个小概率值，用表示.这个就是显著性水平。,常用的有 0.1、0.05或 0.01等,2、显著性差异：,如果统计量和假设的参数值存在差距，有两种可能:,（1）差距不是很大（即不在小概率范围内出现）, 即可认为总体没发生显著变化。可接受原假设。,（2）差距很大（即出现在小概率范围内）,即可认为总体发生了显著变化。说明存在着显著性差异，故拒绝原假设。,（三）双侧检验与单侧检验,1、双侧检验（双尾检验）：,双侧检验要求同时注意估计值偏高和偏低的倾向，这时，差距不分正负，给出的显著水平平分在两侧。,2、单侧检验（单尾检验）：（有左单侧和右单侧两种）,单侧检验只注意估计值是否偏高（或偏低）,它是单方向的，给出的显著性水平集中在同一侧。偏高时，差距为正，为右单侧检验；偏低时,差距为负，为左单侧检验。,双侧,如果对所要研究的问题，只是为了判断其是否存在着差异，或对其尚未有明确认识，通常可用双侧检验。,单侧检验（左单侧）,小概率,如果对所要研究的问题，是为了判断样本数值是否显著小于所假设的参数，可采用左单侧检验。,单侧检验（右单侧）,如果对所要研究的问题，是为了判断样本数值是否显著大于所假设的参数，可采用右单侧检验。,（四）拒绝域、接受域和临界值,1、拒绝域：,2、接受域：,3、临界值（临界点）,计算结果表明总体发生了显著变化，而没有理由不拒绝原假设的区域。,计算结果表明总体没发生显著变化，从而接受原假设的区域。,拒绝域与接受域的界限。表示在给定一个显著水平的前提下，假定总体发生显著变化的数值界限。,双侧检验,拒绝域,接受域,拒绝域,临界点,单侧检验（左单侧）,拒绝域,接受域,临界点,单侧检验（右单侧）,拒绝域,接受域,临界点,三、假设检验的程序,1、提出假设,2、选择一个显著水平,等于对犯第一类错误的概率给出具体数值，通常显著水平用 0.1、0.05或 0.01等。,原假设 H0：（以总体未发生显著变化为原假设）备择假设 H1：（总体发生显著变化）,3、构造一个检验值,4、作出判断,根据统计量 的计算结果，看其是落在接受区域或者落在拒绝区域而作出接受或拒绝原假设的决定。,第二节 总体参数检验,一、总体平均数的检验,(一)总体标准差已知,(二)总体标准差未知,二、总体成数的检验,双侧检验,三、总体方差的检验,单侧检验,主要是检验事物的变异程度是否发生显著变化。,服从自由度 dfn1 的 x2分布。,使用正态（Z）分布,使用Z分布或t分布,使用正态（Z）分布,消费者协会接到消费者投诉，指控某品牌纸包装饮料存在着容量不足，有欺骗消费者嫌疑。该饮料包装上标明的容量为 250 毫升。该品牌饮料正常生产的标准差为 4 毫升，消费者协会从市场上随机抽取了50盒该品牌纸包装饮品，测量结果平均含量为 248 毫升，根据给出 5的显著水平，判断该饮料厂厂商是否欺骗了消费者。,（总体标准差已知，样本容量为 50盒饮料，故选择正态分布）,已知： n50盒 4毫升 = 0.05,毫升,毫升,H1： 250 毫升,建立假设：,H0： 250 毫升,（因为要判断厂商是否有减少纸包装饮料的容量，而坑害消费者，故选择左单侧检验）,构建统计量：,根据=0.05，查Z值表得临界值：Z1.645,计算结果：Z=-3.541.833= | t/2 | ，样本平均数落在拒绝区域，所以拒绝原假设，说明该日生产不正常。,双侧检验,1.833 0 1.833,接受域,2.8,某企业生产某产品的一级品率总是稳定在80 左右。经选用新材料后，企业在其生产的该产品中随机抽取了 400件进行检查，有332件一级品。 试用 5 的显著水平，检验该产品的一级品率是否发生显著的变化？,（每件产品要么一级品或要么非一级品，所以是属性总体的成数问题；样本容量为200件，大样本，故选择成数的正态分布）,已知： n400件 = 0.05,P80% p332/400 = 83%,（采用新材料，可能使一级品增加也可能使一级品减少，所以采用双侧检验）,建立假设：,H0： P0.8,H1： P0.8,构建统计量：,根据=0.05，查Z值表得临界值：Z/21.96,计算结果：|Z | =1.51.96=| Z/2 | ，样本成数落在接受区域，所以接受原假设。说明采用新材料后，一级品并未发生显著变化。,双侧检验,1.96 0 1.96,接受域,1.5,假设检验在统计方法中的地位,小概率事件在一次试验中是不可能发生的,假设检验,（单尾和双尾）,37,假设检验中的两类错误（决策风险）,两 类 错 误,1、第一类错误 以真为假,此类错误是将原属正确的 H0: 错当成不正确的而给予否定了。统计学中称这种错误为错误，属第一类错误，也叫做“弃真错误”。生产者错误,2、第二类错误 以假为真,此类错误是将原属不正确的 H0: 错当成正确的而给予肯定了。统计学中称这种错误为错误，属第二类错误，也叫做“存伪错误”。消费者错误,通常用 0.1 、0.05 或 0.01 等为显著水平。选择一个显著水平的大小，就是意味着准备犯型错误的结果，如果值定得很小，意味着要冒接受一个原假设不真实的大的风险，这种 “ 风险水平 ” 是否值得一冒，将取决于问题的性质。,在统计检验中，必须做出否定H0或肯定H0的抉择，因此，不可避免地可能犯错误或错误。如果减小错误，势必增加犯错误的可能性；而若为了减小错误，错误必然增大.所以，要同时减小犯两类错误的概率，就应增大样本容量。此外，取多大的值，也应取决于所要研究的问题的性质。, 错误和 错误的关系,【例5-1】 教材P156,H0：H1: ,根据=0.05，双侧检验，接受域的概率为0.95，查Z值表得临界值： Z1.96由于1.58 36,构建统计量：,根据=0.05， 自由度 df 9，查 2值表得临界值： 20.0516.919,作出结论：由于 210.5 20.05 16.919，所以不能拒绝原假设，不能认为新设备生产的螺栓，其方差有显著增大。,x2,10.5,接受域,右单侧检验,16.919,某机器加工某型号钢管的长度服从标准差2.4公分的正态分布。经技术调整后，抽取出新生产的25根钢管，测得样本标准差 S2.1公分，试以 1 的显著水平检验该机器生产的钢管长度的变异性是否已显著减小。,(检验总体方差，用 2 统计量，是否显著减小，故选择左单侧),已知：n25 S2.1公分 2.4公分 = 0.01,建立假设：,H0：2 2.425.76,H1：2 20.99 10.856，所以不能拒绝原假设，即经技术调整后生产的钢管，其长度方差没有显著缩小。,x2,10.856,接受域,左单侧检验,18.375,炮弹火药装配车间，规定炮弹的火药重量服从标准差20克的正态分布。现在从生产线中随机抽取16枚炮弹，测得样本标准差 S24克，试以 2 的显著水平检查炮弹的火药重量是否有显著的变异。,(检验总体方差，用 2 统计量，是否有显著变异，选择双侧检验),已知：n16 S24克 20克 = 0.02,建立假设：,H0：2 202400,H1：2 400,构建统计量：,根据=0.02，（双侧） 自由度 df 15，查 2值表得临界值： 20.995.229 20.0130.578,作出结论：由于 20.0130.578 221.6 20.99 5.229，所以接受原假设，说明炮弹火药方差没有异常的变动。,x2,5.229 30.578,0.01,接受域,双侧检验,21.6,0.01,两个总体均值之差的Z检验 (12、 22 已知),假定条件两个样本是独立的随机样本两个总体都是正态分布若不是正态分布, 可以用正态分布来近似(n130和 n230)原假设：H0: 1- 2 =0；备择假设：H1: 1- 2 0检验统计量为,【例】有两种方法可用于制造某种以抗拉强度为重要特征的产品。根据以往的资料得知，第一种方法生产出的产品其抗拉强度的标准差为8公斤，第二种方法的标准差为10公斤。从两种方法生产的产品中各抽取一个随机样本，样本容量分别为n1=32，n2=40，测得x2= 50公斤，x1= 44公斤。问这两种方法生产的产品平均抗拉强度是否有显著差别？ ( = 0.05),H0: 1- 2 = 0H1: 1- 2 0 = 0.05n1 = 32，n2 = 40临界值(s):,检验统计量:,拒绝H0,表明两种方法生产的产品其抗拉强度有显著差异,两个总体比例之差的Z检验,检验统计量,两个总体均值之差的 t 检验两个总体方差未知但相等,结 束,一、符号检验,这是略去两组样本数据之差的数值，只用其差的正、负符号进行判断的检验方法，亦称正负号检验。,1、检验内容：检验的两组数据是否有显著差异或两总体的 位置特征（均值、中位数）是否相同。,2、适用条件：关联样本资料；定性变量。,3、方法思想：设有关联样本的两组成对的数据xi与yi，比较各对的大小。,若xiyi ,记作 “ ” “若xiyi ,记作“ ”,若xi=yi ,删去，并相应减少n对数据,若两组数据没有显著差异，它们之差的“”、“”号的个数应大致相等。出现“”（或“”）的概率为0.5。如果一次抽样的随机样本的配对数据中，“ +”号出现过多或过少，在一定显著性水平条件下属于小概率事件，就说明两组数据的平均水平或相对次数分布并不相同。可见，配对符号检验是二项检验的一种应用。,由于P=0.5的二项分布呈对称型，所以，只要n25，即可按正态分布近似处理。,4、检验步骤,（1）抽样。将样本资料配对比较，计算（+）、（-）号个数,（2）建立假设：H0：P=0.5H1:P0.05（双侧）H1：P(+)P(-)或P(+)P(-)(单侧),（3）计算检验统计量n25时；“+”个数n25时：,（4）设定显著性水平，查表确定临界值或否定域,（5）比较并作出判断,例 1：随机抽取13个单位，放映一部描述吸烟有害健康的影片， 并调查得到观看电影前后各单位职工认为吸烟有害的人 数的百分比。检验该电影宣传是否有效果（=0.05）。,解：H0：P=0.5 H1：P0.5,P（13）=0.000 P（12）=0.002 P（11）=0.010 P（10）=0.035,P（13）+P（12）+P（11）=0.000+0.002+0.010=0.0120.025,P（13）+P（12）+P（11）+P（10）=0.012+0.035=0.0470.025,0,1,2,3,4,5,6,可见，拒绝域（双侧）应为0，1，2，11，12，13。,7,8,9,10,11,12,13,拒绝域,拒绝域,现检验统计量（+）=10 （即10个正号），0.0350.025所以，原假设H0：P=0.5在5%显著性水平上不能被拒绝。也即不能认为职工在观看影片前后的认识有显著差异。,例2：随机抽取60名消费者对甲、乙两种品牌的饮料评 分，甲 、乙得分之差为“+”号者35个，“-”号15 个，“0”号10个。以显著性水平=0.05检验两种饮料是否同等受欢迎。,解：H0：P=0.5， H1：P0.5,n25，按正态分布近似处理,该成数抽样分布的均值和标准差分别为,2.821.96，所以，拒绝原假设。认为两种饮料并不受到同等欢迎。且乙种优于甲种。,二、威尔科克森带符号检验（亦称威尔科克森秩和检验）,这种检验方法不仅考虑了两组数据差异的正、负号，而且还利用了其差异大小的信息。因此，是一种更为有效的检验方法。,1、应用条件和检验内容与符号检验相同。,2、方法思想：若关联样本的两组数据没有显著差异，则不仅其差异的正、负符号应大致相等，而且将其差的数值按大小顺序排列编自然序号（即秩）后，它们的正号（+）的秩和（记为T+）与负号（-）的秩和（记为T-）也应该大致相等。其中之较小者也应趋近于总秩和的平均数（ ）。若正秩和（T+）与负秩和（T-）相差太大，其中较小者偏离总秩和的平均（ ）较远，以致超过给定显著性水平所确定的临界点，就可以认为这两组数据存在显著差异，即总体的分布不相同。,3检验步骤,（1）将样本数据配对并计算各对正负差值,（2）按差之绝对数大小排序(等级)，并按原正负号计算正秩和(T+)与负秩和(T-),（3）建立假设：H0：T+=T-H1： T+T-(双侧) H1：T+T-或T+T-(单侧),（4）计算检验统计量,当n25时，取T