概率论课后作业答案.doc

习题一2设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为，又因为即 所以(1) 当时P(AB)取到最大值，最大值是=0.6.(2) 时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3已知事件A，B满足，记P(A) = p，试求P(B) 解：因为，即，所以 4已知P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求 解：因为P(A B) = 0.3，所以P(A ) P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A ) 0.3,又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7 0.3=0.4，. 12已知，求 解： 14有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？ 解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则，由全概率公式得由贝叶斯公式得 15将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？ 解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由贝叶斯公式得 16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？ 解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能将此密码译出的概率为 17设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7，求. 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(AB)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将P(A) = 0.4，P(AB) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者,由于A与B相互独立,所以A与相互独立，所以习题二4(1) ，(2) 、 、 ；9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则，则10. (1)、由归一性知：，所以.(2)、.11. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得，即A=1.（2）.（3）X的概率密度.13. 解: (1) 因为 所以 (2) ，则，经查表得，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。(3) ，则，即，经查表知，故，即；17. 解 因为服从正态分布，所以，则，当时，则当时，所以Y的概率密度为；18. 解，所以习题三4.解：(1)由归一性知：1=, 故A=4(2)PX=Y=0(3)PXY= (4)F(x,y)=即F(x,y)=8. 解：(1)所以 c=21/4(2) 10 解： 当00时，所以，12 解：由得15 解：同理，显然，所以X与Y不相互独立.18解：(1) (x0)同理， y0显然，所以X与Y不相互独立(2).利用公式习题四1. 设随机变量的分布律为X 202pi0.40.30.3求，解：E (X ) = = +0+2= -0.2E (X 2 ) = = 4+ 0+ 4= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3+5 = 4.45. 设，且，求E(X)解：由题意知XP（），则X的分布律P =，k = 1,2,.又P=P, 所以 解得 ，所以E(X) = 6. 8. 设某种家电的寿命X（以年计）是一个随机变量，其分布函数为求这种家电的平均寿命E(X)解：由题意知，随机变量X的概率密度为 当5时， ，当5时，0.E(X) =所以这种家电的平均寿命E(X)=10年. 10. 设随机变量X的概率密度如下，求E(X)解：.14. 设随机变量(X，Y)具有概率密度，求E(X)，E(Y)，E(XY)解：E(X)= 16. 设随机变量X服从几何分布 ，其分布律为其中0 p 1是常数，求E(X)，D(X)解：令q=1- p ,则 D(X) = E(X2)- E(X) =2q/p2+1/p-1/p2 = (1-p)/p217. 设随机变量X的概率密度为，试求E(X)，D(X)解：E(X)= D(X)= E(X2)= 18. 设随机变量(X，Y)具有D(X) = 9，D(Y) = 4，求，解：因为，所以=-1/632=-1,20. 在题14中求Cov(X，Y)，rXY，D(X + Y)解：,21. 设二维随机变量(X, Y )的概率密度为试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解：，所以Cov(X，Y)=0，rXY =0，即X和Y是不相关.当x2 + y21时，f ( x,y)fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 x 1, | y | 2x ,所以Cov(X，Y)=0，从而，因此X与Y不相关 . 所以，当0x1, -2y2时，所以X和Y不是相互独立的 .习题五5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P84 X 95解：依题意, X B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9， 6. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.100.则X i ，i = 1,2,3.100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以 即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率解：记每页印刷错误个数为，i=1，2，3，300，则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2所以 习题六 1. 已知总体XB(1，p)，X1，X2，Xn是X的一个样本，求 (1) X1，X2，Xn的联合分布律; (2) 的分布律; (3) 解：因为X的分布律为且X1，X2，Xn均于X独立同分布，所以 （1）X1，X2，Xn的联合分布律为 （2）因为，所以. （3）因为，所以 2. 从总体N(52，6.32)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值落在50.8到53.8之间的概率 解：因为XN(52，6.32)，所以 ， 5. 从正态总体中抽取样本X1，X2，X10 (1) 已知m = 0，求； (2) m未知，求 解：（1）因为XiN(0，0.5 2)，即,令，则由于查表知，所以. (2) ）因为XiN(m，0.5 2)，即，所以, , =，查表知，所以习题七 3. 设总体的概率密度为，是来自的简单随机样本，求参数的矩估计量 解：总体X的一阶为用样本的一阶A1=代替总体X的一阶矩E(X)得到 4. 设总体的概率密度为，其中是未知参数，是来自的简单随机样本，求和的矩估计量 解：总体X的一阶为总体X的二阶为用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩m1和m2，得到解得和的矩估计量为，. 5. 设，m已知，未知，是来自的简单随机样本，求的最大似然估计量 解：由于X的分布律为基于样本观测值x1，x2，xn的似然函数为解得的最大似然估计值为的最大似然估计量为 6. 设总体的概率密度为，今从X中抽取10个个体，得数据如下:1050110010801200130012501340106011501150试用最大似然估计法估计 解：设X1，X2，Xn为总体X的一个样本，基于样本观测值x1，