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平面向量 李振麟 知识特点知识特点 平面向量作为工具性知识 和三角函数 解析几何 立体几何等知识有着广泛的联系 其中平面向量的共线与垂直 平面向量的运算 平面向量的数量积及其应用 是重点内容 也是高考考查的重点 对于数系的扩充和复数的引入这部分内容 其独立性较强 一般是 单独命题 其中复数的概念和复数的运算是重点知识 也是高考考查的重点 重点关注重点关注 1 平面向量共线与垂直的充要条件 平面向量的线性运算 平面向量的数量积及其应 用 复数的运算是高考的热点内容 需重点关注 2 平面向量的基本运算与三角函数结合是高考中的重要题型 此类题可以是选择 填 空 也可以为中档的解答题 向量与数列 不等式 圆锥曲线 函数等知识的综合问题 对学生能力的考查有较高的要求 3 本章内容要注意数形结合思想的应用 向量具有 形与数 的两个特点 这就使得 向量成了数形结合的桥梁 地位和作用地位和作用 向量带有基础知识的特点 是一种工具性和方法性知识 向量有一套优秀的运算系 统 由于它提供的向量法 坐标法 使其成为研究高中数学的重要方法 同时 向量又有 一套优良的运算系统 几何中有关长度 角度的计算 平行 垂直的判定与证明 很多场 合下都可以化归为向量的运算来完成 教材中正弦定理 余弦定理的证明 定比分点坐标 公式的导出 就是这方面典型的例子 这些体现了数学中化归和数形结合的思想 向量 形 数 兼备 是数形结合的桥梁 在运用向量知识时 充分运用几何图形直观的特 点 而在解决几何问题时 又注意充分运用向量法与坐标法 处处渗透了数形结合的思想 通过分析进两年高考中本章相关知识点的考查汇总 可以看出本章在高考命题中呈现 出以下特点 1 考查题型主要是以选择 填空为主 分值为 10 分左右 基本属容易题 2 重点考查向量的共线与垂直 向量的夹角 模与数量积及复数的运算 注重在知识 交汇处命题 3 预计在本意在今后的高考中 将以向量的运算 向量的夹角 模 数量积 复数的 运算为命题热点 将更加注重向量与其他知识的交汇 以考查基础知识 基本技能为主 4 14 1 平面向量平面向量 高考目标定位高考目标定位 一 平面向量的概念及其线性运算一 平面向量的概念及其线性运算 1 1 考纲点击 考纲点击 1 了解向量的实际背景 2 理解平面向量的概念 理解两个向量相等的含义 3 理解向量的几何表示 4 掌握向量加法 减法的运算 并理解其几何意义 5 掌握向量数乘的运算及其几何意义 理解两个向量共线的含义 6 了解向量线性运算的性质及其几何意义 2 2 热点提示 热点提示 1 重点考查平面向量的有关概念 线性运算及其几何表示 2 多以选择 填空的形式呈现 有时和其他知识相结合 在知识的交汇点处命题 二 平面向量的基本定理及坐标表示二 平面向量的基本定理及坐标表示 1 1 考纲点击 考纲点击 1 了解平面向量的基本定理及其意义 2 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3 会用坐标表示平面向量的加法 减法与数乘运算 4 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 2 2 热点提示 热点提示 1 向量的坐标运算及用坐标表示平面向量共线的条件是高考考查的热点 常以选择 填空题的形式出现 为中 低档题 2 向量的坐标运算常与三角 解析几何等知识结合 在知识交汇点处命题 以解答 题的形式呈现 属中档题 三 平面向量的数量积及平面向量应用举例三 平面向量的数量积及平面向量应用举例 1 1 考纲点击 考纲点击 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 2 2 热点提示 热点提示 1 平面向量数量积的运算 模与夹角 平行与垂直问题的高考命题的热点 多以选 择 填空题的形式出现 属中低档题 但灵活多变 2 可与三角函数 解析几何等知识综合命题 是高考的另一个热点 考纲知识梳理考纲知识梳理 一 平面向量的概念及其线性运算一 平面向量的概念及其线性运算 1 1 向量的有关概念及表示方法 向量的有关概念及表示方法 1 1 向量的有关概念 向量的有关概念 名称定义备注 向量既有大小又有方向的量 向 量的大小叫做向量的长度 或模 零向量长度为 0 的向量 其方向是 任意的 记作0 单位向量长度等于 1 个单位的向量 平行向量方向相同或相反的非零向量 共线向量平行向量双叫做共线向量 与任一向量平行或共线0 相等向量长度相等且方向相同的向量 相反向量长度相等且方向相反的向量 的相反向量为0 0 2 2 向量的表示方法 向量的表示方法 字母表示法 如 等 a AB 几何表示法 用一条有向线段表示向量 2 2 向量的线性运算 向量的线性运算 向量运算定义法则 或几何意义 运算律 加法 求两个向量和的 运算 1 交换律 abba 2 结合律 abcabc 减法 求与的相反a b 向量的和的运b 算叫做与的a b 差 数乘 求实数 与向量 的积的运算a 1 aa 2 当 0 时 与的方向相同 a a 当 0 时 与的a a 方向相反 当 0 时 a 0 aa aaa abab 注 式子的几何意义为 平行四边形两条对角线的 2222 2 ababab 平方和等于它们四条边的平方和 3 向量与向量共线的充要条件为存在唯一一个实数 使 0 a a b ba 注 用向量法证明三点 A B C 共线时 首先求出 然后证明 AB AC ABAC 即共线即可 ABAC 与 二 平面向量的基本定理及坐标表示二 平面向量的基本定理及坐标表示 1 1 两个向量的夹角 两个向量的夹角 1 1 定义 定义 已知两个非零向量和 作 则 AOB 叫做向量与的夹角 a b OAa OAb a b 2 2 范围 范围 向量夹角 的范围是 00 1800 与同向时 夹角 00 与反向时 夹a b a b 角 1800 3 3 向量垂直 向量垂直 如果向量与的夹角是 900 则与垂直 记作 a b a b a b 注 在 ABC 中 设 则向量与的夹角为 ABC 是否正确 答 ABa BCb a b 不正确 求两向量的夹角时 两向量起点应相同 向量与的夹角为 ABC a b 2 2 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量基本定理及坐标表示 1 1 平面向量基本定理 平面向量基本定理 定理 如果是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任意向量 12 e e a 有且只有一对实数 使 1 2 1 122 aee 其中 不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 12 e e 2 2 平面向量的正交分解 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量 叫做把向量正交分解 3 3 平面向量的坐标表示 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中 分别取与 x 轴 y 轴方向相同的两个单位向量作为基底 i j 对于平面内的一个向量 有且只有一实数 x y 使 把有序数对 x y 叫做a axiy j 向量的坐标 记作 x y 其中 x 叫做在 x 轴上的坐标 y 叫做在 y 轴上的坐标 a a a a 设 则向量的坐标 x y 就是终点 A 的坐标 即若 x y OAxiy j OA OA 则 A 点坐标为 x y 反之亦成立 O 为坐标原点 3 3 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1 1 加法 减法 数乘运算 加法 减法 数乘运算 向量 a b a b a b a 坐标 x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 2 2 向量坐标的求法 向量坐标的求法 已知 A x1 y1 B x2 y2 则 x2 x1 y2 y1 即一个向量的坐标等于该向AB 量终点的坐标减去始点的坐标 3 3 平面向量共线的坐标表示 平面向量共线的坐标表示 设 x1 y1 x2 y2 其中 0 则与共线 x1y2 a b b a b a b x2y1 0 注 x1 y1 x2 y2 则 的充要条件不能写成 因为 x2 y2a a b 11 22 xy xy 有可能为 0 故应表示成 x1y2 x2y1 0 热点难点精析热点难点精析 一 平面向量的概念及其线性运算一 平面向量的概念及其线性运算 一 向量的有关概念 一 向量的有关概念 相关链接相关链接 1 着重理解向量以下几个方面 1 向量的模 2 向量的方向 3 向量的几何表示 4 向量的起点和终点 2 判定两个向量的关系时 特别注意以下两种特殊情况 1 零向量的方向及与其他向量的关系 2 单位向量的长度及方向 例题解析例题解析 例例 1 1 给出下列命题 有向线段就是向量 向量就是有向线段 若则 ABCD 为平行四边形 ABDC 若 ab bcac 则 若 ab bcac 则 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 思路解析 思路解析 正确理解向量的有关概念是解决本题的关键 注意到特殊情况 否定某个 命题只要举出一个反倒即可 解答 解答 选 B 错 向量可用有向线段表示 但并不是有向线段 错 因为 则可能 A B C D 四点在一条直线上 正确 错 若 则对不共线 ABDC 0b 的向量与 也有 但与不平行 a c a 0 0 c a c 例 2 下列结论中 不正确的是 A 向量 共线与向量 同义 AB CD AB CD B 若向量 则向量与共线 AB CD AB DC C 若向量 则向量 AB CD BA DC D 只要向量 满足 就有 a b a b a b 解答 选 D 根据平行向量 或共线向量 定义知 A B 均正确 根据向量相等的概念 知 C 正确 D 不正确 二 向量的线性运算 二 向量的线性运算 相关链接相关链接 1 用已知向量来表示别外一些向量是用向量解题的基本功 除利用向量的加 减法 数乘向量外 还应充分利用平面几何的一些定理 2 在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中 运用平行四边形法则 三角 形法则 利用三角形中位线 相似三角形对应边成比例等平面几何的性质 把未知向量转 化为与已知向量有直接关系的向量求解 注 注 若 A 为 BC 的中点 则 例题解析例题解析 例例 1 1 在 ABC 中 2 DEN 3 ADAB DEBCAC 交于E BC 边上的中线AM 交于 BC DDN AMABa ACba bAEEAN 用表示向量 思路解析思路解析 解本题要进行向量的加 减法外 还有数乘向量运算 如 211 333 ABAD DBABa 在进行计算时要充分利用 11 33 BDABa ABC ADN ABM 等条件 DEBCADE 解答 解答 22 2 33 3 DEBC AEACb ADAB 由 ADE ABC 得 又 AM 是 BCACABba 22 33 DEBCba ABC 的中线 DE BC 且 AM 与 DE 交于点 N 得 11 23 DNDEba 111 222 AMABBMaBCabaab 2 2 在 OAB 中 延长 BA 到 C 使 AC BA 在 OB 上取点 D 使 DC 与 OA 交于 E 设 1 3 DBOB 用表示向量及向量 OAa OBb a b OC DC 解答 解答 A 是 BC 的中点 即 1 2 OAOBOC 22 OCOAOBab 225 22 333 DCOCODOCOBabbab 三 向量的共线问题 三 向量的共线问题 例例 设两个非零向量与不共线 a b 1 若求证 A B D 三点共线 28 3 ABab BCab CDab 2 试确定实数 k 使和共线kab akb 思路解析 思路解析 1 由已知求判断和的关系判断 A B D 的关系 BD AB BD 2 应用共线向量的充要条件列方程组解方程组得 k 值 解答 解答 1 28 3 ABab BCab CDab 283 28335 5BDBCCDabababababAB 共线 又 它们有公共点 B A B D 三点共线AB BD 2 和共线 存在实数 使 即 kab akb kab akb kab 是不共线的两个非零向量 akb 1 kakb a b 1 0 1 k 1k 2 kk 注 注 1 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线量时 通常只有非零向量才能表 示与之共线的其他向量 要注意待定系数法的运用和方程思想 2 证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共线与三点共线的区别 与联系 当两向量共线且有公共点时 才能得出三点共线 二 平面向量的基本定理及坐标表示二 平面向量的基本定理及坐标表示 一 平面向量基本定理及其应用 一 平面向量基本定理及其应用 相关链接相关链接 1 以平面内任意两个不共线的向量为一组基底 该平面内的任意一个向量都可表示成 这组基底的线性组合 基底不同 表示也不同 2 对于两个向量 将它们用同一组基底表示 我们可通过分析这两个表示式的a b 关系 来反映与的关系 a b 3 利用已知向量表示未知向量 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量 的加减运算或进行数乘运算 注 由于基底向量不共线 所以不能作为一个基底向量 0 例题解析例题解析 例例 如图 在平行四边形 ABCD 中 M N 分别为 DC BC 的 中点 已知试用表示 AMc ANd c d AB AD 思路解析 思路解析 直接用表示有难度 可换一个角度 由表示 c d AB AD AB AD AM 进而解方程组可求 AN AB AD 解答 解答 方法一 设则 将 代入 得 得 方法二 设因 M N 分别为 CD BC 中点 所以 因而 即 二 平面向量的坐标运算 二 平面向量的坐标运算 相关链接相关链接 1 向量的坐标运算主要是利用加 减 数乘运算法则进行 若已知有向线段两端点的 坐标 则应先求出向量的坐标 解题过程中要注意方程思想的运用 2 利用向量的坐标运算解题 主要是根据相等的向量坐标相同这一原则 通过列方程 组 进行求解 3 利用坐标运算求向量的基底表示 一般先求出基底向量和被表示向量的坐标 再用 待定系数法求出线性系数 4 向量的坐标运算 使得向量的线性运算都可用坐标来进行 实现了向量运算完全代 数化 将数与形紧密结合起来 就可以使得很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运 算 例题解析例题解析 例例 已知 A 2 4 B 3 1 C 3 4 设且 ABa BCb 求 3 2 CMc CNb 1 33 abc 2 满足的实数 m n ambnc 3 M N 的坐标及向量的坐标 MN 思路解析 思路解析 利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点 终点坐标的关系求解 解答 解答 由已知得 5 5 6 3 1 8 abc 1 3 5 5 6 3 3 1 8 15 6 3 15 3 24 33abc 6 42 2 6 38 5 5 mbncmnmn 651 3851 mnm mnn 解得 3 M 0 203CMOMOCc 3 3 24 3 4 0 20 OMcOC 又 N 9 2 2CNONOCb 2 12 6 3 4 9 2 ONbOC 9 18 MN 三 平面向量共线的坐标表示 三 平面向量共线的坐标表示 相关链接相关链接 1 凡遇到与平行有关的问题时 一般地要考虑运用向量平行的充要条件 2 向量共线的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法 也为点共线 线 平行问题的处理提供了容易操作的方法 解题时要注意共线向量定理的坐标表示本身具有 公式特征 应学会利用这一点来构造函数和方程 以便用函数与方程的思想解题 例题解析例题解析 例例 已知当 k 为何值时 与平行 平行时它们 1 2 3 2 ab kab 3ab 是同向还是反向 思路解析 思路解析 将用坐标表示将用坐标表示应用共线向量的充要条件kab 3ab 求 k把 k 代入向量判断结果 解答 解答 k 1 2 3 2 k 3 2k 2 1 2 3 kab 3ab 3 2 10 4 与平行等价于 k 3 4 10 2k 2 0 解得 k kab 3ab 故当 k 时 与平行 此时 1 3 1 3 kab 3ab kab 11 3 33 abab 与反向 kab 3ab 注 注 向量平行的坐标公式裨是把向量问题转化为实数的运算 通过坐标公式建立参数 的方程 通过解方程或方程组求得参数 充分体现了方程思想在向量中的应用 四 向量与其他知识的综合 四 向量与其他知识的综合 例例 已知向量现向量的对应关系用表示 ux y 2 vyyx vf u 1 设 求向量与的坐标 1 1 1 0 ab f a f b 2 求使 f cp qpqc 为常数的向量的坐标 3 证明 对任意的向量及常数 m n 恒有成立 a b f manbmf anf b 思路解析 思路解析 本题关键是找出 函数 的对应关系 此处的变量为向量的坐 vf u 标 因此 可通过坐标运算来解决问题 解答 解答 1 又 1 1 1 2 1 1 1 1 af a 1 0 0 2 0 1 0 1 bf b 2 2 2 2 2 ypxpq cx yf cyyxp q yxqyp cpq p 设则 3 12121122 222211221221 222211 22 2 2 22 aa abb bmanbmanb manb f manbmanbmanbmanbmf am aaanf bbbb mf anf bmanbmanbmanbf manbmf anf b 设则 注 注 对于信息处理题应注意以下几点 认真领会题中所给信息 注意概念的内涵与外延 将所得到的信息 应用于题目中去 即解决实际问题 当然注意条件与结论 往往 是三段论推理 三 平面向量的数量积及平面向量应用举例三 平面向量的数量积及平面向量应用举例 一 平面向量的数量积的运算及向量的模问题 一 平面向量的数量积的运算及向量的模问题 相关链接相关链接 1 向量的数量积有两种计算方法 一是利用公式来计算 二是利用来计算 具体应用时可根据已知条件的特征来选择 同 时要注意数量积运算律的应用 2 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用 要掌握此类问题的处理方法 例例 已知 与的夹角为 求 1 a b 3 4 2 32 2 abab A ab 思路解析 思路解析 利用平面向量数量积的定义及其运算律 可求出第 1 问 求可 ab 先求 再开方 2 ab 解答 解答 1 32 cos3 4 6 2 42 a ba b AA 22 2 39 16 ab 32 2 abab A 22 3843 98 6 2 649148 2 aa bb A 2 22 22 292 6 2 1625 12 2ababaa bb A 25 12 2ab 二 平面向量的垂直问题 二 平面向量的垂直问题 相关链接相关链接 1 非零向量 2 当向量是非坐标形式时 要把 用已知的不共线的向量表示 注 注 把向量都用坐标表示 并不一定都能够简化运算 要因题而异 例例 已知向量 1 求证 cos sin cos sin 22 ab 2 若存在不等于 0 的实数 k 和 t 使 满足试求此时的最小值 思路解析 思路解析 1 可通过求证明 2 由得 即求出关于 k t 的一个方程 从而求出的代 数表达式 消去一个量 k 得出关于 t 的函数 从而求出最小值 解答 解答 1 cos cos sin sin sincossincos0 22 a b ab AAA 2 由得 即 22 232 22 3 22 33 232 22 2 3 0 3 3 0 3 0 1 1 30 3 3111 3 24 111 24 atbkatbkatt btk ta b k att b abkttktt ktttt ttt tt kt t t AA 又 故当时 有最小值 三 平面向量的夹角问题 三 平面向量的夹角问题 相关链接相关链接 1 当是非坐标形式时 求的夹角 需求得及或得出 它们的关系 2 若已知的坐标 则可直接利用公式 注 注 平面向量的夹角 例题解析例题解析 例例 已知都是非零向量 且与垂直 与垂75ab 4ab 72ab 直 求与的夹角 a b 思路解析 思路解析 把向量垂直转化为数量积为 0联立求与的关系应用夹角公式求 a b 结果 解答 解答 22 22 222 2 2 3 75 0 4 72 0 716150 73080 2 1 1 2 cos 60 2 abababab aa bb aa bb a bbab b a b a b b AA A A A A A 由已知 即 两式相减 得代入其中任一式 得 四 向量的综合应用 四 向量的综合应用 例例 1 1 设 ABC 的外心为 O 则圆 O 为 ABC 的外接圆 垂心为 H 求证 思路解析思路解析 本题的关键是探求的联系 利用向量的三角形 法则可得下一步需确定的关系 由条件 O 为 ABC 的外心 可延长 BO 交圆于 O 于点 D 连 AD DC 利用圆周角是直角的性质可证四边 形 ANCD 为平行四边形 从而问题得以解决 解答 解答 延长 BO 交圆 O 于 D 点 连 AD DC 则 BD 为圆 O 的直径 故 BCD BAD 900 又 AE BC DC BC 各 AH DC 同理 DA CH 四边形 ANCD 为平行 四边形 又 又 注 注 利用平面向量的知识解决平面几何问题 关键是充分挖掘题目中的条件 本题中 O 为外心 H 为垂心 在本题中作用最大 另外 平面解析几何中的一些性质在解题中也有 很大的用处 例例 2 2 已知力与水平方向的夹角为 斜向上 的大小为 50N 拉着一个F 0 30F F 重 80N 的木块在摩擦系数的水平平面上运动了 20m 问和摩擦力所做的功F f 分别是多少 思路解析 思路解析 力在位移上所做的功 是向量乘积的物理含义 要先求出力 和位移F f 的夹角 然后应用数量积公式求解 解答 解答 设木块的位移为 则 在铅F 垂方向上分力大小为 摩擦力的大小为f 8025 0 021 1 fN 所做的功分别是 500J 22J 3 注 注 力在力的位移上所做的功 就是力与位移所对应两向量的数量积 故在解决此类 问题时可转化为数量积的运算 据题意构造平面图形 把已知 所求各量用向量的对应量 表示出来 然后结合向量的加减法及平面几何的知识求得向量的模及夹角 再利用数量积 的运算公式求得力对物体所做的功 感悟高考真题感悟高考真题 1 2009 年广东卷文 已知平面向量 a 1x b 2 x x 则向量 ab A 平行于x轴 B 平行于第一 三象限的角平分线 C 平行于 y 轴 D 平行于第二 四象限的角平分线 答案 解析 ab 2 0 1 x 由 2 10 x 及向量的性质可知 C 正确 2 2009 广东卷理 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而处于平 衡状态 已知 1 F 2 F 成 0 60 角 且 1 F 2 F 的大小分别为 2 和 4 则 3 F 的大小为 A 6 B 2 C 2 5 D 2 7 解析 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF 所以 72 3 F 选 D 3 2009 浙江卷理 设向量a b满足 3 a 4 b 0 a b 以a b ab的 模为边长构成三角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对 于圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能实 现 4 20102010 全国卷全国卷 2 2 理数 理数 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 答案 B 命题意图 本试题主要考查向量的基本运算 考查角平分线定理 解析 因为CD平分ACB 由角平分线定理得 ADCA2 DBCB1 所以 D 为 AB 的三 等分点 且 22 ADAB CBCA 33 所以 2121 CDCA ADCBCAab 3333 故选 B 5 20102010 全国卷全国卷 2 2 文数 文数 10 ABC 中 点 D 在边 AB 上 CD 平分 ACB 若CB a CA b a 1 b 2 则CD A 1 3 a 2 3 b B 2 3 a 1 3 b C 3 5 a 4 5 b D 4 5 a 3 5 b 解析解析 B B 本题考查了平面向量的基础知识 本题考查了平面向量的基础知识 CDCD 为角平分线 为角平分线 1 2 BDBC ADAC ABCBCAab 222 333 ADABab 2221 3333 CDCAADbabab 6 20102010 上海文数 上海文数 13 在平面直角坐标系中 双曲线 的中心在原点 它的一个焦点坐 标为 5 0 1 2 1 e 2 2 1 e 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线 上的点P 若1 2 OPaebe a bR 则a b满足的一个等式是 4ab 1 解析 解析 因为1 2 1 e 2 2 1 e 是渐进线方向向量 所以双曲线渐近线方程为 xy 2 1 又1 2 5 bac 双曲线方程为1 4 2 2 y x 1 2 OPaebe 22 baba 1 4 22 2 2 ba ba 化简得 4ab 1 7 20102010 天津理数 天津理数 15 如图 在ABCA中 ADAB 3BCBD 1AD 则AC AD A 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 解析 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强平 面向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 8 20102010 江苏卷 江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 OCtAB OC 0 求 t 的值 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 满分 14 分 1 方法一 方法一 由题设知 3 5 1 1 ABAC 则 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4 2 ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为4 2 2 10 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC 4 2 AD 2 10 2 由题设知 OC 2 1 32 5 ABtOCtt 由 OCtAB OC 0 得 32 5 2 1 0tt 从而511 t 所以 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 考点精题精练考点精题精练 一 选择题一 选择题 1 若向量 B 1 1 1 1 1 2 abcc 则 A B C D ba 2 3 2 1 ba 2 3 2 1 ba 2 1 2 3 ba 2 1 2 3 2 设是任意的非零平面向量 且相互不共线 有以下结论 a b c 0 baccba abab 不与 b cac ab c 垂直 22 32 32 9 4 ababab 其中正确的是 D A B C D 3 若 为任意向量 则下列等式不一定成立的是 D abcRm A B cbacba abca cb c C D m abmamb cbacba 4 设坐标原点为 O 抛物线与过焦点的直线交于 A B 两点 则 xy2 2 OBOA B A B C 3D 3 4 3 4 3 5 平面直角坐标系中 O 为坐标原点 已知两点 A