第四章习题分析.ppt

4 1根据状态简并微扰结果 求出与E E 对应的波函数 说明它们都代表驻波 并比较两个电子云分布 说明能隙的来源 假设 解 1 在简并微扰理论下 将其带入薛定谔方程 考虑到 得到 上式分别左乘和并对全空间积分 并考虑到 考虑是第一布里渊区边界 n 1 可得解其对应的久期方程可得将 带入 2 式的第二式 并根据归一化条件可得 所以 4a 将 带入 2 式的第一式 并根据并根据归一化条件可得 所以 3 2 4b 2 因为 所以 5a 5b 所以它们均为驻波 3 电子云呈周期性变化 二者相差相位电子云分布示意图 4 由于周期势场的微扰E k 函数在处断开 使能量出现的突变 形成能隙 4 2写出一维近自由电子近似 第个能带中 简约波数的零级波函数 解 利用简约波矢表示的零级波函数为其中 m取整数对于第一个能带 位于范围内 要求 所以 对于第二个能带 位于或范围内 要求 所以对于第三个能带 位于或范围内 要求 所以 4 3电子在周期场中的势能其中是常量 1 试画出此势能曲线 并求出其平均值 2 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度 3 如果每原胞中含4个电子 试问该晶体是金属还是非金属 描绘出函数曲线 需要判断出函数极值点和与x轴的交点 通过对V x 求一阶导数 可得在坐标原点有极值 考虑到坐标原点的二阶导数小于零 所以为极大值 并且在 b和b处势函数为零 所以势函数为抛物线 势函数的周期为 1 令n 0 有 势能平均值的计算 考虑周期性 只需在一个周期 原胞 内对势能求平均 2 2 考虑到势函数为偶函数 其傅里叶级数为余弦函数 即有 3 其中 4 为方便计算 我们令 考虑到 第一个禁带宽度为 第二个禁带宽度为 3 一条能带可以容纳N个电子 N为晶体中的原胞数目 现在晶体中共有4N个电子 恰好填满两条最低能带 并考虑到第二条和第三条能带之间存在能隙 其禁带宽度Eg1不为零 因此 在绝对零度下 前两条能带为满带 第三条能带是空带 空带和满带均不导电 此晶体是非金属 4 4用紧束缚近似求面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相应的能带函数 解 s能带的表示式为 1 1 面心立方晶格对面心立方晶格 取位矢为的格点为参考点 令其坐标为 它的12个最近邻格点的位矢以表示 则为 将其带入 1 式 有 2 体心立方晶格对于体心立方晶格 有8个最近邻 可取为根据如上类似的计算 利用三角函数公式 整理可得 4 5用表示一维晶格第n个格点的s态 在只计入近邻相互作用的紧束缚近似下 写出矩阵元的表达式 解 用表示第n个格点原子的势场 原子波函数满足的波动方程为 电子波函数满足的波动方程为 矩阵元为 上式中右边第二项为重叠积分 只考虑最近邻 有三个取值 即或 因此 4 6由相同原子组成的一维原子链 每个原胞中有两个原子 原胞长度为a 原胞内两个原子的相对距离为b 1 根据近束缚近似 只计入近邻相互作用 写出原子态相对应的晶体波函数形式 2 求出相应能带的函数 解 1 本题为相同原子组成的一维复式格子 设第一套原子格点位置为 则第二套原子格点位置为 第一套原子的布洛赫波函数为 1 第二套原子的布洛赫波函数为 2 因此 晶体电子波函数 3 4 将 3 式带入 4 式 对 4 式两边分别左乘和并在全空间积分 并记可得 5a 5b 上式关于A和B的线性奇次方程组有非零解的条件是对应系数行列式为零 久期方程 即 6 2 晶体单电子薛定谔方程为 在紧束缚近似下 相邻原子波函数正交 7 由于各原子波函数应归一 8 结合 1 2 7 和 8 式有 9 10 因此 6 式改写为 11 矩阵元计算如下 i 令 则有设 在只考虑近邻相互作用下 即有 12 ii 因为哈密顿量为厄米算符 所以 13 iii 令 则有在只考虑最近邻下并设可得 14 同理可得 15 将 12 15 式代入 11 式可得 16 解得 17 4 7 有一一维单原子链 间距为 总长度为 1 用紧束缚近似求出原子态能级对应的能带函数 2 求出其能态密度函数的表达式 3 如果每个原子态只有一个电子 求的费米能级及处的能态密度 解 1 在最近邻近似下 紧束缚近似方法给出的能量本征值可写为 1 s态波函数为球对称 在各方向重叠积分相同 因此 1 式中有相同的值 记 所以 1 式为 2 选择任意一个格点为坐标原点 对于一维原子连 有个最近邻 格点坐标为故有 2 由上式可得 4 对应一个 波矢有相同能量 因此对应的区间为 在该范围内的状态数为 5 所以 能态密度函数表达式为 6 3 由于每个原子s态上只有1个电子 故共有s态电子总数为N 考虑到 并结合 4 和 6 式 可得 7 整理可得时的费米能级为 8 处的能态密度为 9 4 8 1 证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一边中点大2倍 2 对于一个简单立方晶格 在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少 3 说明 2 的结果对二价金属的电导有什么影响 解 1 对于简单正方晶格 自由电子的动能可写为 1 第一布里渊区的范围为 在顶角处 或者 所以 在布里渊区一边中点处 或 所以 2 对于简单立方晶格 自由电子的动能可写为 2 第一布里渊区的范围为 在顶角处 所以在布里渊区一边中点处 三个波矢分量的绝对值只有一个为 其余为 所以对应的动能为因此 3 由 2 知道 如果能隙很小 简单立方晶格 100 方向和 111 方向的能带互相交叠 100 方向第二能带带底的能量比 111 方向第一能带带顶的能量要低 于是 二价金属 每个原胞含有两个价电子 本可以填满第一布里渊区中的所有状态 即各方向的第一能带 但由于不同方向能带交叠 结果 100 方向第二能带已部分填充 而 111 方向的第一能带尚未填满 形成两个部分填充的能带 使得一区中有空态存在 而二区中有电子存在 因此 在外加电场下可以导电 虽然电导率不如单价金属好 但不会形成绝缘体 如果布里渊区边界上能隙较宽 能带交叠不发生 则二价金属形成绝缘体 实际上 多数的二价金属具有六角密堆积和面心立方结构 能带出现交叠 所以可导电 4 10向铜中掺锌 一些铜原子将被锌原子所取代 采用自由电子模型 求锌原子与铜原子之比为什么值时 费米球与第一布里渊区边界相接触 铜是面心立方晶格 单价 锌是二价 解 在自由电子模型下 费米波矢为 未掺杂前 考虑到铜为面心立方晶格 设晶格常量为a 则电子浓度 因为铜为单价 也是原子浓度 满足 掺杂后 由于要求费米球于布里渊区边界相切 在教材图4 13中L点离中心点 点 最近 L为内切球半径 其长度为 考虑到锌为二价 并结合 1 式可得 其中和分别为锌原子和铜原子的浓度 整理得 1 2 3 4 Zn替代Cu 所以在 2 式中联立 2 式和 4 式可得 5 解得 因此 当锌原子和铜原子之比为9 16时 费米球与布里渊区边界相切 4 11三维简单立方晶格 立方原胞边长为a 试用简约布里渊区表示自由电子能量 定性画出沿 X轴与六个近邻倒格点相对应的自由电子函数 解答 简单立方晶格的倒格子仍是简单立方 倒空间的倒格矢为 1 其中为整数 自由电子能量为 2 为讨论能带 在能量公式中标以下标 表示能带的编号 1 第1能带 当时 即限制在第一布里渊区内 为第1能带 带底 点 X点 X方向的能量 则 3 2 的为高于的能带相应于分别为第2和第3能带 时 X方向时 有 4 3 相应于时 分别为第4 第5 第6和第7能带 时 X方向时 有 5 把各能带绘成简约区图 如图所示 显然 自由电子能带的能量是连续分布的 无禁带 存在明显的能带简并情况 如果考虑晶体势场 则会出现禁带 能带的部分简并 能带交叉现象 将消除 4 12设有二维正方晶格 晶体势场为 用近自由电子近似的微扰论 近似求出布里渊区顶角处的能隙 解 对于二维正方晶格 倒格子矢量为晶体势为 因而的傅里叶分量只有其中 即只有在或或或 布里渊区顶角 处有间隙 根据禁带公式可得 解答2 也可直接进行积分求解 由已知条件可得 沿方向势函数的周期均为a 根据 以及对于二维正方格子所以有 在布里渊区顶角处 并考虑到对与积分相等可得与解答1结果一致 注意 如果不明确求布里渊区顶角处的能隙 我们也能通过 1 式证明只有在布里渊区顶角处有能隙 即非零 可考虑积分 4 13证明面心立方晶体的s带紧束近似下的函数 在沿着布里渊区几个主对称轴方向 可以约化成以下形式 1 沿 2 沿 3 沿 4 沿 证明 先计算出紧束缚近似下fcc晶格s带电子能量表达式为 1 1 沿 代入 1 式可得 2 沿 代入 1 式可得 3 沿 代入 1 式可得 4 沿 代入 1 式可得 4 14一维周期场中电子的波函数应当满足布洛赫定理 若晶格常量为a 电子的波函数为 是某个确定的函数 试求电子在这个状态的波矢 解答 由于布洛赫定理可知 在一维周期势场中运动的电子的波函数满足 因而有令 可得由上式知 所以有由此得布里渊区内的值为 4 15对于一维 二维自由电子气 分别导出能态密度作为能量的函数 解答 1 一维情况自由电子的色散关系为 所以即 对应同一个 在方向各有一个 因此空间中之间的区间为在该范围内的状态数为其中L是晶格常量 于是 态密度为 2 二维情况二维情况下态密度的一半表达式为其中S是晶格的面积 积分沿能量为E的等能线进行 由得 所以有 4 16求体心立方结构中 第一布里渊区的内切球和外接球分别为费米球时 它们各自对应的平均每个原子的自由电子数 解答 体心立方晶格的倒格子为面心立方 其第一布里渊区为正十二面体 其内切球半径大小为 N长度 外界球半径大小为 H长度 相应点的坐标为 所以内切球半径大小为 1 外接球半径大小为 2 设平均每个原子的自由电子数为 体心立方晶格中每单胞包含2个原子 所以数密度为 3 考虑到 所以体心立方的费米球半径为 4 联立 1 式和 4 式 可得内切球为费米球时的每个原子的自由电子数为 5 联立 2 式和 4 式 可得外接球为费米球时的每个原子的自由电子数为 6 4 17对于面心立方结构 重新处理上题 解答 面心立方晶格的倒格子为体心立方 其第一布里渊区为截角八面体 其内切球半径大小为长度 外接球半径大小为长度 相应点坐标为 所以内切球半径大小为 1 外接球半径大小为 2 设平均每个原子的自由电子数为 体心立方晶格中每单胞包含4个原子 所以数密