[高二数学]高中数学选修系列教材分析与教学建议-新人教[全套]

高中数学选修系列,教材分析与教学建议,（一）,实行新课程标准，提高教学质量，教育理念是灵魂，教材建设是关键，教师素质是根本，课堂教学是核心，教学评价是导向，现代化技术是推进器.,祝愿我们数学教育工作者做出无愧于时代的贡献，给我们所有的学生 一双能用数学视角观察世界的眼睛， 一个能用数学思维思考世界的头脑， 一副为谋国家富强人民幸福的心肠 张孝达,M. Kline 在西方文化中的数学中指出，数学是一种精神，一种理性精神，正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的物质、道德和社会生活，试图回答人类自身存在提出的问题，努力去理解和控制自然，尽力去探索和确立已经获得知识的最深刻和最完善的内涵,数学的理性精神被看成西方文明的核心,数学教育方法的核心是学生的再创造. 教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识. Freudenthal,点线,选修21：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何选修22：导数及其应用、推理与证明、数系 的扩充与复数的引入选修23：计数原理、统计案例、概率,选修11：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用选修12：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数的引入、框图,系列3由6个专题组成,选修31 ：数学史选讲；选修32 ：信息安全与密码；选修33 ：球面上的几何；选修34 ：对称与群；选修35 ：欧拉公式与闭曲面分类；选修36 ：三等分角与数域扩充；,系列4由10个专题组成,* 选修41 ：几何证明选讲； * 选修42 ：矩阵与变换； 选修43 ：数列与差分； * 选修44 ：坐标系与参数方程； * 选修45 ：不等式选讲； 选修46 ：初等数论初步； 选修47 ：优选法与试验设计初步； 选修48 ：统筹法与图论初步； 选修49 ：风险与决策； 选修410：开关电路与布尔代数。,高中数学的选修系列1和系列2，是在必修课程的基础上，为不同发展方向的学生设置的数学课程必修课程是为所有的学生在义务教育的基础上，获得较高的数学素养的而设置的对大多数学生来说，仍然有进一步选修数学的必要系列1和系列2，则是为这些学生而设置的、供选择的数学课程学生在高中数学必修课程的基础上，再进一步提高数学修养而设置的学习内容对于大多数高中学生来说，它们依然是必要的和基础性的课程其中，选修系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生设置的，选修系列2是为希望在理工、经济等方面发展的学生设置的,选修1、选修2的构成及其定位,在选修系列1和系列2中，有些内容是相同的，如常用逻辑用语、数系的扩充与复数的引入；有些内容从标题来看是相同的，但是在内容的要求上有所区别，如圆锥曲线与方程、导数及其应用、统计案例、推理与证明；还有一些内容分别安排在不同的系列中，如框图只在选修系列1中才有，空间向量与立体几何、计数原理、概率只在选修系列2中才有这两个选修系列的内容，同样是给学生的发展继续打基础，只是依据学生发展方向的不同，是为学生打好不同的基础而设置的学生可以根据自己的发展志向，主动作出选择,与以往的高中数学课程相比，标准选定的必修内容以及选修系列1和系列2的学习内容，基本上覆盖了1997年制订、又于2002年修改审定的大纲的内容，只是根据时代的要求，增加了一些算法初步、推理与证明、框图这样的新内容 在概率统计方面，对于统计思想及其应用和随机概念有所加强与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧重点方面有所调整,标准与大纲内容比较,与此同时并对很多有些传统的内容做了删减，或在要求和侧重点方面有所调整。例如，削弱了三角函数恒等变换化的证明；不等式中减少不等式证明的要求，而侧重介绍现实世界中的不等关系中优化的思想；立体几何中减少综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间观念， 运用向量方法解决计算问题；微积分初步中不再系统地讲极限概念，只通过瞬时变化率的描述，着重理解微分的基本思想及其应用。这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的思想和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或在工作、生活中的应用，打下更好坚实的基础。,选修系列3和系列4的构成及其定位,随着时代的发展、社会的进步，人们逐渐认识到，数学无处不在，科学技术的发展需要数学，各行各业的生产需要数学，就是在日常生活中也离不开数学，现代社会越来越需要数学素养比较高的人才。学生在学习过程中，应当有更加开阔的视野。一个人只有有了比较高的数学素养和比较开阔的视野，才能比较自觉地、有意识地运用数学的眼光，去观察、分析周围的世界，去主动地运用数学知识，处理和解决所遇到的问题。因此，为了使高中学生依据各自不同的兴趣和需要，了解更多、更广的数学知识，具有更高的数学素养，标准设置了选修系列3和系列4的学习内容,选修系列3和系列4的内容，有些看起来很深奥，以往只有上大学才能够学到，例如球面上的几何、对称与群、矩阵与变换、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充等现在把它们引入高中数学课程，并不是要把这些内容简化下放，而是想抓住这些数学内容的主要精髓，把它们的基本思想介绍给高中学生,另外有些内容，例如数学史选讲、几何证明选讲、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、初等数论初步等，是想让学生在已学过的数学内容的基础上，进一步加深对已学知识和相关知识的了解和认识,还有一些内容，例如信息安全与密码、优选法与实验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数等，它们反映了数学与现实世界的紧密联系与广泛应用，通过介绍这些数学知识，可以加深学生对数学的力量、数学应用价值的认识这些内容的教材编写和教学，并不要求很严格的系统性，但是又不是像有些科普通俗介绍那样只是简单地讲讲故事，而是想让学生对它们的基本内容和基本思想方法有一个初步的了解,选修系列3和选修系列4的设置和实施是一个动态发展的过程,在教学方式上应深入浅出，不可过度的形式化，不追求非常严格的系统性,系列3内容的评价适宜采用定量与定性相结合的方式,必修教材强调知识形成的过程，重视数学思想方法的渗透如函数概念的形成过程等；,选修教材也强调知识的形成过程，重视数学思想的渗透，更突出数学的文化价值的体现如导数、推理与证明、对称与群等,复数,选修 21 第 1 章,选修 11 第 1 章,（8课时）,常用逻辑用语,一、本章结构,正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，使得思维清晰明了，说理有据,学习逻辑用语的目的不是学习数理逻辑的有关知识，而是让学生通过学习逻辑用语的基本知识，体会逻辑用语在表述和论证中的作用大纲里讲的是简易逻辑，主要基于数学意义上的简易数理逻辑，新课程标准所讲的是一种常用的逻辑语言，包括在数学上和日常生活中的应用,二、本章内容的定位,本章考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性的了解，这些内容对高中学生来说，尤其是刚刚学习时，是非常困难和难以理解的，但是所有这些内容当在学生经历了一段时间的学习，有了数学上具体命题的积累后，对这些问题的理解就不成为问题了这里不研究含有 “或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题,三、内容解析与教学建议,重点关注四种命题相互关系和充要条件,本章的重点是要求学生关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件，并在今后的使用过程中加深理解 “若 p 则 q”为真命题时， p是 q成立的充分条件，不能误认为p是这个命题的充分条件本章中，“若 p则 q”形式的命题中的 p与q，都是不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，并且p 与 q本身也不是“若 r 则 s ”形式的命题,对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，主要的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容因此，内容的设计上要求通过具体的数学实例来进行展开，避免抽象地讨论不要涉及简单命题、复合命题的概念要注意命题的否定与否命题是不一样的，对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求,结合具体实例，避免抽象讨论,理解量词含义，不追求形式化定义,教学中应让学生通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义，不要追求形式化的定义形式化的定义，对于学生来说，很难理解，并且很难找到具体应用的背景会判定一个全称命题或存在性命题真假通过具体实例理解对含有一个量词的命题的否定的意义，并能正确地对含有一个量词的命题进行否定,在使用过程中掌握常用逻辑用语的用法,引导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性帮助学生完善表述方式，学会使用逻辑用语表达数学内容，进而形成逻辑地表达自己的思想、判断、推理的能力,选修 21 第 2 章 （16课时）,选修 11 第 2 章 （12课时）,圆锥曲线与方程,与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解,选修2对圆锥曲线的学习，主要是结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。同时，在学习平面解析几何初步的基础上，学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,圆锥曲线这一章的内容可以采用不同的组织方法，例如：可以把椭圆、双曲线、抛物线合起来作为一个整体，先讨论它们的定义，再求它们的方程，最后研究它们的几何性质及应用；也可以分别研究椭圆、双曲线、抛物线，对每一种曲线按定义、方程、几何性质分别讨论这些方法各有利弊前一种方法可以使学生对圆锥曲线有一个统一的认识，也可以节省教学时间，但这样做教学难度较大；后一种方法学生接受较容易，但削弱了几种圆锥曲线之间的联系，使知识凌乱，重复过多,本章总体设计思路是“总分总”，即先从整体上认识圆锥曲线的概念，了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念，并用方程观点认识和研究曲线交点等问题这样在汲取上述两种方案的优点的同时，也克服了它们的弊端这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值，反映了数学的美学意义，遵循了“适度形式化”的课程理念,一、本章结构,从统一的结构体现解析几何的基本思想,经历由具体情境抽象出圆锥曲线 模型的过程,建议：“适度引导”重点在椭圆，另两个可直接给出要求恰当，不要过分,二、内容解析与教学建议,教材借助圆锥面这一模型，通过不同的截法得到三种不同的圆锥曲线，引导学生形成椭圆、双曲线和抛物线的概念这样做，既能使学生经历概念的形成过程，更能使其从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系。根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求学生掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”这一过程是建立在学生的最近发展区上的形式化的过程，有利于培养学生的数学化能力，强化数学素养,用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？,设圆锥面的母线与轴所成的角为，截面与轴所成的角为通过观察可以发现，当 ，0 ， = 时，我们可以得到三种不同形状的曲线：,古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为F1，F2），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆O1和圆O2）过M点作圆锥面的一条母线分别交圆O1，圆O2与P，Q两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以MF1 = MP，MF2 = MQ，,MF1 + MF2 MP + MQ PQ定值,重视节首语的教学,建系设点列等式（限制条件） 代入坐标（得到方程）化简方程,教科书p27“由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x、y)都满足上面这个方程，并且满足上面这个方程的点都在已知的椭圆上” 只要让学生从方程同解的角度认同即可，不要提纯粹性和完备性的概念 ,突出建立椭圆标准方程的全过程,参数 b 的引入在这里只需说明是为了简化方程形式，在后面再说明其几何意义,焦点在y轴的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出（不妨先作猜想，或变量代换）,例2给出了确定曲线类型的新方法(原来的方法是运用概念，这里是由方程来判断)：,感受曲线方程的概念,通过求椭圆的标准方程，进一步感受曲线方程的概念，了解求曲线方程的基本方法（在必修部分虽有体现，未充分说明但）,例2 将圆x2 + y2 = 4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线？,要突出“用代数方法(方程)研究几何问题”的解析几何的基本思想如：范围、对称性等,“顶点是椭圆与对称轴的交点”，不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点,对离心率要突出其几何意义，并在实验的过程中感受和理解其意义。直观上椭圆的扁圆程度可用b/a来刻画，为什么用c/a呢？,掌握椭圆的几何性质,用解析法研究曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，而曲线方程又与所选择的坐标系有关，但不管选择怎样的坐标系，曲线的几何性质是不变的教学时应向学生讲清图形本身的性质与坐标系的选择无关，把曲线不同位置的性质与曲线本身的性质区别开来,把握教学要求，了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质,突出类比，如导言中的类比提出问题、研究过程中从结论、过程、方法各个层面与椭圆类比,学习双曲线要注意与椭圆类比,我们知道，椭圆上的点到两个定点距离的和等于定值，当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 双曲线上的点到两个定点距离的差的绝对值等于定值那么， 双曲线的标准方程是什么形式呢？,积,比,“双曲线范围”的处理与原教材的区别：更为精确的限制，为渐近线的引入作铺垫；,这表明双曲线在不等式 x a 与x a所表示的平面区域内；,这表明双曲线在上面两个不等式组表示的平面区域内，即以直线 y x和 y x为边界的平面区域内,双曲线离心率几何意义的认识：与椭圆类比提出问题，通过数形结合的分析发现结论,因为双曲线的图形夹在两条渐近线 y = x之间，所以 越大，双曲线的开口就越大,由 可知， 越大，双曲线的开口就越大； 越小，双曲线的开口就越小，即 反映了双曲线的开口的大小,数形结合,注意与椭圆、双曲线的联系与区别,建立抛物线标准方程时坐标系的理性选择,关注抛物线方程与性质的特殊性,让学生独立探索如何建立抛物线的方程，关键是选择适当的坐标系,方程特点：无常数项、一个一次项、一个二次项,图形特征：过原点、一条对称轴、非中心对称,生长点：抛物线,过程：特殊 一般（实验探索）,设置意图：整体意识、数学的和谐、 统一美,圆锥曲线的统一定义,第25节的思考的功能 (1)代数形式表达的几何意义的价值； (2)多角度认识同一数学对象,椭圆的焦半径公式,（到右焦点距离）,（到左焦点距离）,椭圆的两种定义之间的联系,椭圆的第二定义： 到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为常数e (0e1) 的点轨迹,准线,焦点,比,沟通椭圆两种定义之间的联系,沟通形与数之间的联系,会用方程表示几何图形的性质，能用等式刻画曲线上点的特征,会说出方程表示的曲线的几何特征，能对数量关系做出几何解释,突出解析几何的基本思想,从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念中抽象出一般的“曲线的方程”的概念,原教材先曲线方程的概念再研究特殊曲线的方程,了解曲线与方程的对应关系，进一步体 会数形结合的基本思想,熟悉求曲线方程的一般步骤（流程图）,会求两条曲线交点坐标的简单问题（转化为求解方程组的问题）,文理科的区别,(1)圆锥曲线的概念部分：文科直接说明,(2)文科对抛物线的要求是 “了解”,(4)文科对“曲线与方程”不作要求,(3)对“统一定义”，文科作为性质了解，而 理科作为定义研究,(5)文科在例、习题上要求有所降低,处理方法变化,符合认知规律，暴露思维过程,与原教材比较的几个变化,结构体系变化 总体编排结构,文理分科要求；,增加了 “思考”、“探究”和开放性的问题 为学生个性发展提供了空间,选修 21 第三章（12课时）,空间向量与立体几何,空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具 向量是一个重要的代数研究对象。向量的引入使运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式、到向量，运算也是从一元到多元。向量又是一个几何的对象，向量本身有方向，有方向就有角度与长度，能刻画直线、平面、切线。点乘、叉乘与图形的面积、体积有着直接的关系。向量是建立代数与几何的一个桥梁坐标法与向量法，用向量来解决问题可以看到代数问题的几何背景,向量是一个重要的数学与物理模型。几何量和物理量用向量表达比较简洁，处理起来也比较方便，比如：方向、夹角、功、力的运算等。在数学上，它本身也是一个重要的研究对象，比如：向量与向量的加法构成了一个群（V，），向量、实数与向量的加法构成一个线性空间（V，R，），向量、范数、实数与向量的加法、数乘构成线性赋范空间（V，R， ）；在分析数学方面，还有场论的研究等。这些在数学及物理中都有广泛的应用。 在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。这些也为进一步学习向量和研究向量奠定一定的基础，因此，在选修2中设置了这部分内容。,内容 (1) 空间向量及其运算；(2) 空间向量的应用,一、本章主要内容和结构,结构,二、本章的展开方式与特点,必修2：立体几何初步、解析几何初步必修4：平面向量选修1：圆锥曲线与方程选修2：圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何选修3：球面上的几何、对称与群、欧拉公式与 闭曲面分类、三等分角与数域扩充选修4：几何证明选讲、矩阵与变换、极坐标与 参数方程,新教材几何内容知识链,把握图形的能力 空间想象能力推理能力 几何直觉能力,培养和发展学生,提升几何直观的思想方法，突出用代数方法解决几何问题的过程，强调代数关系的几何意义。,几何课程的定位,遵循整体到局部、具体到抽象的原则，通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法，认识和探索空间几何图形及其性质。,普通高中数学课程标准对立体几何的定位主要作了三个方面的调整：强调把握图形能力的培养，强调空间想象与几何直观能力的培养，强调逻辑思维能力的培养英国著名数学家M.阿蒂亚说过：“几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位，而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分，这种区分也许用另外一对词更好，即洞察与严格，两者在真正的数学研究中起着本质的作用”,新课程对立体几何定位的调整,内容展开方式,立体几何初步的安排是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系； 空间向量与立体几何的安排是纵向的：直线的方向向量与平面的法向量，线面关系的判定，空间角的计算,本章先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本概念，然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用，侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法，而不在于简单地用空间向量把立体几何的有关概念、判定和性质复述一遍,本章的基本思想,本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题教科书还通过例题，引导学生对解决立体几何问题的三种方法（向量方法、坐标法、综合法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力,三、内容解析与教学建议,空间向量及其运算，要求让学生经历由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题同时，在这个过程中，也让学生享受一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质，同时注意空间向量与平面向量的区别和联系教学中，要引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养,注重向量由平面向空间推广过程的教学,向量运算的引入，使数学运算对象发生了重大变化：从数、字母与代数式到向量，这为进一步理解其它的数学运算（如函数的运算、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件特别是当学生利用向量运算解决了数学中的问题时（如证明直线与平面垂直的判定定理），就更有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量,体会数学运算的意义,任意两个空间向量都可以“平移”到同一平面内，也就是说，它们可以用同一平面内的两条有向线段来表示这样，凡涉及两个空间向量的运算和位置关系问题，就可以转化为平面向量来解决因此，空间向量的线性运算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的条件等，与平面向量是完全一样的在上述相关内容的教学时，应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质,鼓励类比猜想、自主探索,利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法、坐标法与综合法，从不同角度解决立体几何问题 在数学2立体几何初步中，侧重于定性地研究线、面的位置关系，而本章则借助于空间向量，侧重于定量研究,感悟向量的思想方法,共面向量还可以理解为“平行于同一平面的向量”（传统的定义）为此，还要先规定向量与平面平行的含义：若表示向量的有向线段平行于平面或在平面内，则称向量与平面平行本书对共面向量的定义更突出“自由向量”的特征，不出现向量与平面平行的概念，便于学生接受,新教材：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量,关于共面向量的定义,关于共面向量定理,空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅在形式上是相同的，而且在本质上也是一致的这是因为任意两个空间向量a，b都可以平移到同一个平面，当a，b不共线时，可以作为基向量，向量p与它们共面，也就是向量p可以平移到这个平面，所以就能用a，b线性表示,1共线向量定理表明，任意一个向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的平面向量基本定理表明，任意一个平面向量可以用与它同一平面内的两个不共线的非零向量来线性表示，而且这种表示是唯一的平面向量基本定理是向量共线定理的推广，可以看成（在一定范围内的）向量分解“唯一性”定理由一维向二维的推广由此，可以向学生提出：在空间向量中，我们还可以作怎样的推广呢？引导学生积极主动探索,关于空间向量基本定理,2空间向量基本定理表明，任意一个空间向量可以用不共面的三个已知向量来线性表示，而且这种表示是唯一的因此，空间向量基本定理也称为空间向量分解定理，它为空间向量的坐标表示奠定基础 空间向量基本定理与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中也多了一“项”定理中“存在性”的证明与平面向量基本定理的思路、步骤基本相同，“惟一性”的证明用到反证法，只要求学生了解即可,关于空间向量的数量积,1由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等，都与平面向量相同教学中，应引导学生自己将平面向量中数量积的有关概念、运算和方法推广到空间2要正确使用两个向量夹角的符号a，b例如， , BAC 3空间向量数量积的几何意义只要求学生了解 4空间向量数量积运算律的证明不作要求,向量的数量积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径,空间线、面的位置关系中，角反映了它们在方向上的差异因此，用向量来刻画这种差异，就先要规定直线和平面的“方向”，从而引入直线的方向向量和平面的法向量,关于直线的方向向量和平面的法向量,直线的方向向量不止一个，这些方向向量是共线向量；两条平行直线的方向向量是共线向量因此，研究空间直线与直线、直线与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用直线的方向向量来刻画直线的“方向” 平面的法向量不止一个，这些法向量是共线向量；两个平行平面的法向量是共线向量，也就是说，两个平行平面的“方向”是相同的因此，研究空间平面与直线、平面与平面的平行与垂直关系，即研究它们在“方向”上的差异程度时，就可以用平面的法向量来刻画平面的“方向”,将空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，用直线的方向向量和平面的法向量来表述，是一个“符号化”的过程,关于空间线面关系的“符号化”,三垂线定理回答了这样的问题：平面的斜线与平面内怎样的直线垂直(与斜线在平面内的射影垂直的直线垂直)在数学2立体几何中，三垂线定理淡出，只是在例题中用综合法通过直线与平面的垂直证明过这个定理(但没给出“三垂线定理”的名称)，而这里是通过向量“运算”来实现证明的，这进一步凸现了向量方法在研究几何图形中的作用,关于三垂线定理的教学,注意空间角的范围,由于两条异面直线所成的角是锐角或直角，而两个向量夹角的取值范围是0,，所以两条异面直线所成的角与它们方向向量的夹角相等或互补,由直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求直线与平面所成的角，要注意角的范围一般地，当直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时，直线与平面所成的角与这个夹角互余,由两个平面法向量的夹角来求二面角的大小时，应结合图形来确定若它们的法向量“方向相反”，则二面角的平面角与法向量的夹角相等；若它们的法向量 “方向相同”，则二面角的平面角与这个夹角互补,选修 22 第1章 （24课时）,选修 11 第3章 （16课时）,导数及其应用,一、本章结构,二、本章的价值与定位,1、促进学生全面认识数学的应用价值、科学价值 和文化价值,2、使学生对变量数学的思想方法有新的感受,如果说，“数”是用来描述静态事物的，“函数” 是对运动变化的动态事物的描述，体现了变量数学在研究客观世界中的重要作用那么，可以说，导数就是对事物变化快慢的一种描述，并由此可进一步处理和解决极大极小、最大最小等实际问题，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具。从中体验研究和处理不同对象所用的不同数学概念和相关理论，以及变量数学的力量,教育价值,3、发展高中学生的思维能力,从进入高二阶段学习的学生的认知水平来看，他们已开始摆脱具体事物的形式，进入具有形式逻辑的一般化理性思维阶段，并开始向更高级的思维辩证思维形式发展，但是他们对于运动辩证、对立统一的认识是非常朦胧的而微积分中蕴涵着丰富的运动辩证、对立统一的思想方法，如：把跳水运动员的瞬时速度看作是平均速度无限小变化的结果，它出发于对过程无限小变化的考察，而这种考察总是与过程的某一特定的、有限的、暂时的结果（平均速度）有关，它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并使之确定起来”（恩格斯）的一种运动辩证、对立统一的思想学生经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的学习过程，从中感受、体验导数的思想，一种运动辩证、对立统一的思想因此，“导数及其应用”的学习必将对发展学生的辩证思维能力，进而发展学生的思维能力起到积极的作用,4、为学生进一步学习微积分打好基础,从以往学生学习微积分的情况来看，学生最困难处有二：一是对极限过程中潜无穷与实无穷这一辩证统一关系的认识和理解问题；二是对形式化定义本质的认识，即为什么用静态的量的关系可以描述动态的极限过程按照标准对导数内容的处理方法，学生在结合实例，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程中，可以使学生对极限过程中潜无穷（平均速度的变化过程）与实无穷（平均速度的变化结果）这一辩证统一的关系，通过导数的学习有一种感性的认识，从而为以后进一步上升到理性的认识，以及给出极限的形式化定义作一定的铺垫,微积分的内容在我国的中学教材中几进几出，分析其原因，除了高考导向的影响外，主要是定位不当主要问题大致有：（1）作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放（2）先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解（3）无论是导数概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教、来学，影响了对导数思想和本质的认识和理解,基本定位,1、强调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习,2、全面体现数学的价值，包括应用价值：了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大(小)值、最大(小)值和解决生活中优化问题的有力工具导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值：人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值,3、体现数学的教育价值,要体现新一轮课程改革的理念知识与技能、过程与方法、情感态度价值观的有机整合，具体到数学课程来说，就是要充分体现数学的价值和数学在利用数学的特点育人方面、在推动社会发展方面的价值,三、本章内容展开的特点,1、突出导数概念的本质,不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体应用实例速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，感受学习瞬时变化率的必要性，认识和理解导数概念；加强对导数几何意义的认识和理解,体现“标准”让学生在经历过程中感受数学的思想，认识数学的本质，主动参与教学活动的基本理念,2、强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性,3、淡化计算,处理导数的计算时，首先对几个常见的函数，用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的导数以及导数的运算法则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，要避免过量的形式化运算练习与选修系列1-1相比，选修系列2-2对运算的要求略有提高，如增加了求简单复合函数（仅限于形如f (ax+b)）的导数,4、反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用从而加深对导数本质的认识和理解，体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用。,5、关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合,本章共安排了个“思考” 、个“阅读” 、个 “探究”、 个“链接”、个“问题与建模”，还有“EXCEL”和“COMPUTER”各个,四、教材分析与教学建议,教材展开的线索,高度关注导数概念的形成过程,世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼 某市2004年4月20日最高气温为33.4，而4月19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间，气温陡增14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！,但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5与4月18日最高气温18.6进行比较，我们发现两者温差为 15.1，甚至超过了14.8而人们却不会发出上述感叹,这是什么原因呢？ 原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？ 这样的数学模型有哪些应用？,在本章引言的案例中， “气温陡增”的数学意义是什么呢？为了弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲线图（以3月18日作为第一天）,.平均变化率,容易看出B，C之间的曲线较 A，B之间的曲线更加“陡峭”陡峭的程度反映了气温变化的快与慢, 如何量化陡峭程度呢？,例1 婴儿从出生到第24个月的体重变化(如图)，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率,例2 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙(如图) ，t秒钟后容器甲中水的体积为 V (t)=5e0.1t(单位cm3) ，计算第一个10 秒内V 的平均变化率,例3 已知函数f (x) = x2，分别计算函数f (x)在区间1, 3, 1, 2, 1, 1.1, 1, 1.001上的平均变化率,例4 已知函数 f (x) = 2x + 1，g (x) = 2x，分别计算在区间3，1， 0，5上函数 f (x)及g (x)的平均变化率,思考 从例4的求解中，你能发现一次函数ykxb在区间 m, n 上的平均变化率有什么特点吗？,(1)从几何直观分析,切线斜率问题的讨论是将背景从数学外部移向数学内部,1.1.2 瞬时变化率导数, 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？,如果将点 P 附近的曲线放大后进行观察我们发现，曲线在点 P 附近看上去有点像是直线,如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现，曲线在点P附近的曲线看上去几乎成了直线事实上，如果继续放大，可以发现点P附近的曲线将接近（逼近）一条确定的直线 l，该直线 l 是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线,1曲线上一点处的切线,因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线，即在很小范围内以直代曲,既然点P附近的曲线被看作直线l，从而可用直线l的斜率刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”,微积分的基本思想：以直代曲,寻找这样的直线：,探 究如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线（1）试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；（2）在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直 线l3吗？（3）在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的 直线l4吗？,怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 呢？,如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的割线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线 利用这种合割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率,例1 已知f(x) = x2，求f (x)在x = 2处的切线斜率,割线斜率逼近切线斜率是“以直代曲”的一种数量化,(2)用物理模型说明,瞬时速度,瞬时速度的引入又将背景从数学内部移向数学外部由平均速度逼近瞬时速度的思想是理解瞬时速度的关键教学中应侧重对逼近思想的感悟，不要急于给出结论,现代信息技术用于数学探索,(3)一般化：导数,引入瞬时速度之后，应及时将割线斜率逼近切线斜率的思想方法与平均速度逼近瞬时速度的思想方法加以比较，找出它们的共同点，从而为导数的形式化定义作铺垫,重视过程 提出问题的过程； 解决问题的过程； 概念的形成过程揭示本质 没有极限概念的情况下讲导数； 几何直观； 有限对无限的逼近； 借助已有经验； 现代技术的合理运用,本质：瞬时变化率,导数教学中的三点注意,导函数的概念,特殊化：,x=1、x=2、处的导数,x=a处的导数,导数是x的函数,导函数,导数概念的建立基于“无限逼近”的过程中，这与初等数学所涉及的思想方法有本质的不同为此，教学中应做到： 第一，根据学生的生活经验，通过实际背景，创设丰富的情境例如，比较变化的快与慢，只考虑y行不行？教学中不要直接灌输 ，应启发学生讨论、探索、感悟和体会，并由学生自己举例说明 第二，“局部以直代曲”归根到底是个哲学问题要引导学生用心体会无限逼近与“量变到质变”、“近似与精确”的哲学原理，不要急于给出形式化的定义应努力追求水到渠成的教学方式教材不用极限理论，主要也是担心过多的极限知识可能会冲淡甚至干扰对导数本质的理解,本章只要求学生根据定义求简单的函数y = c，y = x，y = x2，y = x3， y = , y = 的导数，然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则,注重求导运算中形式化训练的规范要求,掌握导数的运算,在导数概念建立之后，要认真引导学生用定义推导几个初等函数的导数公式，要注重形式化训练中的规范要求，进而体会数学理论的自身特点及巨大价值所在，并从中领悟算法的基本思想,(1)定义法 (流程图),(2)给出一些特殊函数的导数，建立导数运算的法则（求导公式）,(3)函数的和、差、积、商的求导法则,(4)与一次函数复合的函数的导函数公式,若 y=f (x)，u=a x +b，则 y x= y u ux，即 y x= y u a,在研究函数性质时的应用,通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律,p28“思考”的目的是通过实例告诉学生，由导数的正负，可以判断函数的单调性，但不能将条件与结论对调，对此不必深究,函数的极值应紧密联系单调性引入，强调极值是函数的局部性质，是函数在某点处的值与其附近“左、右”函数值的比较的结果,求f (x)在a,b上最值的两个步骤应由学生活动产生教学中可引导学生思考，把闭区间a,b改变为开区间(a,b)后，结果会有什么变化？,重视导数的应用,在解决实际问题中的应用,1导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应先建立目标函数，建立好目标函数后，则问题转化为上一节的内容，解题中应注意实际意义,2通过实际问题的研究，感受导数在解决实际问题中的应用，增强数学应用意识，进一步认识数学