[高三数学]锦城下期期末《高等数学》第三套复习题评讲200968

高等数学复习题第 三 套评 讲June 9, 2009,求函数 的偏导数。,解,2. 设试证,解,2. 设,由对称性,2. 设,不难验证等式成立,3. 设且 f 为可微函数求 ， 和 。,解,另解 直接微分,另解 直接微分,4. 设 ，其中 f(u) 为可微函数，证明：,解 复习有关公式,三、一元函数与多元函数的复合,一元套多元,4. 设 ，其中 f(u) 为可微函数，证明：,解,5. 设 z=z(x, y) 是由方程所确定的隐函数，求 和 。,解,令,把正数 a 分成三个数，使它们的乘积为 最大。,解 将 a 分成三个数：,目标函数：,求 f(x, y) 的最大值,6. 把正数 a 分成三个数，使它们的乘积为 最大。,解 将 a 分成三个数：,目标函数：,求驻点,6. 把正数 a 分成三个数，使它们的乘积为 最大。,解 将 a 分成三个数：,目标函数：,求驻点,所以当三个数都是a/3时它们的乘积最大。,6. 把正数 a 分成三个数，使它们的乘积为 最大。,另解把 a 分成三个数：x, y, z,求函数 u=xyz 在条件 x+y+z=a下的最大值。复习条件极值的方法,求函数,在条件,下的极值,Lagrange乘数法,(1),作Lagrange函数：,(2),求 的驻点：,（根据多元函数极值的必要条件）,教材58页,约束条件,解以上方程组，,得驻点：,(3),便是可能的条件极值点,可根据实际问题断定,为条件极值,6. 把正数 a 分成三个数，使它们的乘积为最大。,另解 把 a 分成三个数：x, y, z,求函数 u=xyz 在条件 x+y+z=a下的最大值。,作Lagrange函数：,7. 一平面薄板所占据的区域为圆域在第一象限部分，且薄板在任一点处的面密度与该点到原点的距离成正比（比例系数为k），求薄板的质量。,解,密度函数,解,密度函数,薄板质量,8. 计算二重积分其中D是由曲线 x=y2+1、直线x=0、y=0和y=1所围成的区域。,with(plots):A:=implicitplot(x=y2+1,x=1.2,y=0.1,thickness=4):display(A);,解,with(plots):A:=implicitplot(x=y2+1,x=1.2,y=0.1,thickness=4):display(A);,解,9. 交换二次积分的积分次序:,9. 交换二次积分的积分次序:,10. 计算二重积分：,解,利用对称性,另解,11. 求由以下四张平面所围的四面体的体积：,11. 求由以下四张平面所围的四面体的体积：,11. 求由以下四张平面所围的四面体的体积：,也可用三重积分表示体积：,12. 计算三重积分其中,解,12. 计算三重积分 其中,解 利用柱面坐标,13. 计算曲线积分其中L是曲线 从 t=0 到 t= 的一段弧。,解,太难！,直接计算？,曲线积分与路径是否无关？,曲线积分与路径无关！,13. 计算曲线积分其中L是曲线 从 t=0 到 t= 的一段弧。,曲线积分与路径无关！,起点：,终点：,曲线积分与路径无关！,起点：,终点：,沿线段AB积分,14. 计算曲线积分其中L是抛物线 上由点 到点 的一段弧。,解,14. 计算曲线积分其中L是抛物线 上由点 到点 的一段弧。,解,曲线积分与路径无关沿折线积分,曲线积分与路径无关沿折线积分,15. 计算曲线积分其中L是由直线 y=x 及抛物线 y=x2 所围成的区域的整个边界。,解, with(plots):A:=plot(x,x=-0.3.1.3,thickness=3,color=blue):A1:=plot(x,x=0.1,thickness=3,color=red):B:=plot(x2,x=-0.3.1.3,thickness=3,color=blue):B1:=plot(x2,x=0.1,thickness=3,color=red):display(A1,A,B1,B,scaling=constrained);,16. 判定级数的敛散性:,解,由根值审敛法，原级数收敛。,17. 判定下列级数何时绝对收敛、条件收 敛和发散：,解 当 p0 时,级数发散,当 p1 时，由,而p-级数,收敛,收敛,所以,原级数绝对收敛,当 0 p 1 时,由比较审敛法的极限形式，,发散,但是,由莱布尼茨定理，原级数收敛，为条件收敛,而 发散,结果类似于交错 p 级数,18. 证明：若 绝对收敛， 条件收敛则 条件收敛。,证 由级数的性质，级数,收敛,现证它条件收敛。,证 由级数的性质，级数,收敛,现证它条件收敛。,假若,绝对收敛,则级数,收敛,又已知级数,收敛,由,知：级数,收敛,从而级数,绝对收敛，矛盾,用反证法,19. 求幂级数的收敛半径和收敛域,解,方法一,缺奇次幂,下略,方法二,方法三,直接用比值法,当,时，,级数收敛,收敛域：,20. 求幂级数 的和函数。,解,易知，幂级数的收敛半径 R = 1,令和函数,如果没有这个 n+1 就好了。,得想办法把 n+1 去掉先积分，可以去掉 n+1,20. 求幂级数 的和函数。,另解,21 .求微分方程的特解：,解 这是一阶线性微分方程,通解：,写成标准形式：,通解：,标准形式：,通解：,特解：,22. 求微分方程的特解：,解 这是二阶常系数齐次线性方程,特征方程：,特征根：,方程的通解：,共轭复根,方程的通解：,求导：,将 x=0, y=2, y=5 代入，得,方程的特解：,23. 求微分方程的通解：,解 这是二阶常系数非齐次线性方程,先求对应齐次线性方程的通解,特征方程：,特征根：,对应齐次方程的通解：,特征根：,对应齐次方程的通解：,求原方程的特解,因为=1不是特征方程的根，设特解为,（2）求原方程的特解,因为=0是特征方程的单根，设特解为,代入原方程，并约去指数函数，得,特解：,特解：,原方程的通解,24. 设