线性规划-二元一次不等式表示平面区域第二课时

线性规划是运筹学中研究较早 发展较快 应用广泛 方法较成熟的一个重要分支 它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法 在经济管理 交通运输 工农业生产等经济活动中 提高经济效果是人们不可缺少的要求 而提高经济效果一般通过两种途径 一是技术方面的改进 例如改善生产工艺 使用新设备和新型原材料 二是生产组织与计划的改进 即合理安排人力物力资源 线性规划所研究的是 在一定条件下 合理安排人力物力等资源 使经济效果达到最好 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解叫做可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 决策变量 约束条件 目标函数是线性规划的三要素 线性规划概述 简单的线性规划 要点回顾 一 1 在同一坐标系上作出下列直线 2x y 0 2x y 1 2x y 3 2x y 4 2x y 7 x Y o 要点回顾 二 2 作出下列不等式组的所表示的平面区域 y 问题1 x有无最大 小 值 问题2 y有无最大 小 值 问题3 2x y有无最大 小 值 在阴影区域中的点当中 把上面两个问题综合起来 变成一道题 设z 2x y 求满足时 求z的最大值和最小值 y 直线L越往右平移 t随之增大 以经过点A 5 2 的直线所对应的t值最大 经过点B 1 1 的直线所对应的t值最小 设z 2x y 求满足时 求z的最大值和最小值 线性目标函数 线性约束条件 线性规划问题 任何一个满足不等式组的 x y 可行解 可行域 所有的 最优解 与线性规划有关的新名词 组成 课堂练习 已知求z 2x y的最大值和最小值 5 5 1 O x y y x 0 x y 1 0 1 1 y 1 0 A 2 1 B 1 1 z 2x y 例2 在约束条件 下 求目标函数z 3x y的最小值和最大值 解 作出可行域 如右图 作直线l0 3x y 0 把直线平移 使其与可行域相交 当直线与可行域分别相交于A B两点时 所对应的z分别最小与最大 A B 顶点A是直线x 2y 4与直线x 2 0的交点 解方程组 可求出顶点A的坐标 2 3 zmin 3 2 3 9 顶点B是直线x 2y 4与直线x y 1的交点 解方程组 可求出顶点B的坐标 2 1 代入目标函数 即可得最大值 zmax 3 2 1 5 代入目标函数 即可得最小值 例3 设x y满足约束条件 1 求目标函数z 2x 3y的最小值与最大值 2 求目标函数z 4x 3y的最小值与最大值 l 2x 3y 0 x 3 4x 3y 36 A D C B 解 作出可行域 如右图 作直线l0 2x 3y 0 把直线平移 使其与可行域相交 当直线与可行域分别相交于B D两点时 所对应的z分别最小与最大 4x 3y 12 y 4 顶点B是直线x 3与直线y 4的交点 其坐标为 3 4 顶点D是直线 4x 3y 12与直线4x 3y 36的交点 解方程组 可求出顶点D的坐标 3 8 此时顶点B 3 4 与顶点D 3 8 为最优解 zmin 2 3 3 4 18 所以 zmax 2 3 3 8 30 设x y满足约束条件 2 求目标函数z 4x 3y的最小值与最大值 x 3 4x 3y 36 A D C B l0 4x 3y 12 解 作出可行域 如右图 作直线l0 4x 3y 0 l1 4x 3y 12 y 4 把直线平移 当直线经过可行域顶点C时 所对应的z 4x 3y取得最小值 x 3 4x 3y 36 A D C B l0 4x 3y 0 l1 4x 3y 12 y 4 目标函数z 4x 3y 顶点C是直线y 4与直线4x 3y 36的交点 解方程组 代入目标函数z 4x 3y 得 zmin 4 12 3 4 60 由于直线l0平行于直线 4x 3y 12 因此当把直线l0向上平移到l1时 l1与与可行域的交点不止一个 而是线段AD上的所有点 此时 可求出顶点C的坐标 12 4 zmax 12 解线性规划问题的步骤 2 移 在线性目标函数所表示的一组平行线中 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线 3 求 通过解方程组求出最优解 4 答 作出答案 1 画 画出线性约束条件所表示的可行域 小结 一 设目标函数z ax by 则 当b 0时 把直线l0向上平移时 所对应的z随之增大 把直线l0向下平移时 所对应的z随之减小 当b 0时 把直线l0向上平移时 所对应的z随之减小 把直线l0向下平移时 所对应的z随之增大 小结 二 求目标函数z ax by的最大值或最小值的求解程序为 1 作出可行域 2 作出直线l0 ax by 0 3 确定l0的平移方向 依可行域判断取得最优解的点 4 解相关方程组 求出最优解 从而得出目标函数的最大值或最小值 下课 谢谢指导 使z 2x y取得最大值的可行解为 且最大值为 勤动手勤思考 1 已知二元一次不等式组 1 画出不等式组所表示的平面区域 满足的解 x y 都叫做可行解 z 2x y叫做 2 设z 2x y 则式中变量x y满足的二元一次不等式组叫做 y 1 x y 0 x y 1 2x y 0 1 1 2 1 使z 2x y取得最小值的可行解 且最小值为 这两个最值都叫做问题的 线性约束