卷七╱线性代数试卷.doc

卷九一. 填空题（每小题4分，共40分）1.已知，则 .2.设三阶矩阵的按列分块阵为, 若, 则 .3. 阶行列式 .4. 设, 则所有元素的代数余子式之和等于 .5. 设,矩阵满足,则 .6. 设矩阵 满足, 其中是的伴随矩阵, 是的转置矩阵.若, 则 .7. 设向量可用向量组 线性表出, 但不能用线性表出, 则向量组与 .(填:“等价”或“不等价”).8. 设方程组只有零解, 则应满足的条件是 .9. 设阶非单位矩阵的秩满足，则有特征值 .10.已知二次型的秩为2, 则参数 .二(10分). 已知向量组 求该向量组的秩及其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.三（10分）. 设非齐次线性方程组为 求为何值时, 此方程组有惟一解; 无解或有无穷多个解, 并在有解时, 求出其解或通解.四（10分）. 已知矩阵, 向量是的一个特征向量. 求的值,以及行列式的值.五（10分）. 设矩阵. 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 并求出,其中是任意正整数. 六（12分）. 设阶矩阵 求和,并用表示七（8分）. 设阶实对称矩阵有相同的特征值, 证明与相似.参考答案一填空题（每小题4分，共40分.）1. 已知，则 10 .2. 设满足 .将按列分块为, 则 26 .3. 阶行列式 .4. 设, 则行列式所有元素的代数余子式之和等于 .5. 设矩阵, 矩阵满足, 其中是3阶单位矩阵, 则 .6. 设矩阵 满足, 其中是的伴随矩阵, 是的转置矩阵.若, 则 .7. 设向量可用向量组 线性表出, 但不能用向量组 线性表出, 则向量组 与 等价 .(填:“等价”或“不等价”).8. 设齐次线性方程组只有零解, 则应满足的条件是 .9. 设阶矩阵的秩满足 , 且. 则有特征值 1 .10.已知二次型的秩为2, 则参数 .二(10分). 已知向量组 求该向量组的秩及其一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.解 令. 矩阵的秩为. 一个极大线性无关组为 . .三(10分). 设非齐次线性方程组为 求为何值时, 此方程组有惟一解; 无解或有无穷多个解. 并在有解时, 求出其解或通解.解 . (1) 当且时, 方程组有惟一解, 解为 (2) 当时, 方程组为其增广矩阵, 方程组无解. (3) 当时, 方程组为 增广矩阵 .通解为 四(10分). 已知矩阵, 向量是的一个特征向量. 求的值,以及行列式的值. 解 设对应于的特征值为, 则于是也是的特征向量. 由 ,求得 . 的特征多项式为 , 于是的特征值为, 从而的特征值为, 故.五(10分). 设矩阵. 求可逆矩阵, 使得为对角矩阵, 并求出,其中是任意正整数. 解 的特征多项式为 于是的特征值为 . 当时, 解方程组 , 得特征向量 . 当 , 解方程组 , 得两个线性无关的特征向量: .令 , 则有 . 故 . 六(12分). 设阶矩阵 求 , 并用表示.解 .其中. 从而有 七(8分). 设都是阶实对称矩阵, 且它们具有相同的特征值, 证明与相似.证明 设的特征值为, 由于它们都是实