1数学模型引言.doc

数学模型引言预备知识：高等数学，线性代数，概率论与数理统计，（运筹学，最优化，微分方程）计划学时：32/48适应对象：大二下半年（最好大三下半年）参考资料：高等教育出版社数学模型姜启源 编 浙江大学出版社数学模型杨启帆 边馥萍 编 湖南教育出版社大学生数学建模竞赛辅导教材叶其孝 编 工科数学杂志社数学建模教育与国际数学建模竞赛叶其孝 编1 我们所处时代及特点：我们已经进入了计算机革命时代（Computer Revolution Era）或称信息时代（Information Times），其特点是：计算机的迅速发展高速、智能、小型、价廉（上个世纪八十年代106次/秒，上个世纪九十年代109次/秒，曙光4000A在2004年排名TOP500第10 2006年280万亿次/秒是IBM公司制造；软件包的大量涌现，特别是数学，既有传统的数值计算，更有强大的图形和符号演算功能，如Matlab，Mathematics，Maple，MathCAD,SAS,SPSS, Lingo/Lindo；世界上第一台计算机占地150平米或说1015间房子大，现在性能强大的笔记本电脑随处可见；上个世纪八十年代一台286电脑需要4万元或说40年工资，现在一台P4/631/512M/160G/17”约4千元或说1个月工资）；数学的应用向一切领域渗透各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；数学的日益重要性远远没有取得共识。2 为什么会出现说数学没有用？数学的语言比较抽象，不容易掌握；数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。3 数学建模（Mathematical Modeling）的重要性数学建模不是新东西（why？）用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学表述就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程。（比如欧式几何、微积分都是很好的模型，如此简单，为什么以前没有意识到呢或说重视不够呢？）问题出在：当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（如推导、计算）求解该数学问题，并用实际情形来验证；若需要就要修改数学模型并重复上述过程，如果有一步完不成，意义就不大了。在以前，大量的计算令人生畏（在建模过程中往往遇到），现如今高性能的计算机的出现，使数学建模又掀起了一个高潮。从科学、工程、经济和管理等角度看：数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。用框图的形式可以表示如下实际问题抽象、简化、假设确定变量参数建立数学模型并数学、数值地求解用实际问题的实测数据来检验该数学模型支付使用，从而可产生经济、社会效益符合实际不符合实际用步骤的形式描述如下：（1） 了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（建模准备）（2） 抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化，提出几条恰当的假设（提出假设）（3） 利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（建立模型）（4） 模型的求解、分析和检验。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复，即修改假设，重新建模。4 两个例子例1：万有引力定律的发现万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一，牛顿在研究力学的过程中发明了微积分，又成功地在开普勒三定律的基础上运用微积分推出了万有引力定律这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学模型之一 历史背景十五世纪下半叶开始，欧洲商品经济的繁荣促进了航海业的发展哥伦布新大陆的发现、麦哲伦的环球远航，引起了社会的普遍关注当时远洋航船的方位全靠星球的位置来确定在强大的社会需要推动下，天文观测的精确程度不断提高在大量的实际观测数据面前，一直处于天文学统治地位的“地心说”开始动摇了 波兰天文学家哥白尼(14731543)在天文观测的基础上，冲破宗教统治和“地心说”的束缚，提出了“日心说”这是天文学乃至整个科学的一大革命但是由于历史条件和科学水平的限制，哥白尼的理论还有一些缺陷他接受了圆周运动是最完善的天体运动形式的概念，认为行星绕太阳的运行轨道是圆形的 意大利物理学家伽里略(15641642)不仅用观察方法证实了哥白尼的学说，而且用实验方法发现了落体定律和惯性原理，揭示了物体在不受阻挠时作匀速直线运动的规律， 德国天文学家、数学家开普勒(15711630)在第谷布拉赫对于行星运动大量观测资料的基础上用数学方法研究发现，火星的实际位置与按哥白尼理论计算的位置相差8弧分经过对观测数据长期深入的分析，开普勒终于归纳出著名的行星运动三定律，即 各颗行星分别在不同的椭圆轨道上绕太阳运行，太阳位于这些椭圆的一个焦点上： 每颗行星运行过程中单位时间内太阳行星向径扫过的面积是常数： 各颗行星运行周期的平方与其椭圆轨道长半轴的3次方成正比 在伽利略、开普勒的基础上，十七、十八世纪许多科学家致力于行星沿椭圆轨道运行时受力状况的研究从开普勒定律可以看出，行星运行速度是变化的，而在当时尚没有计算变速运动的动力学方法英国物理学家胡克(16351703)和荷兰物理学家惠更斯(16291695)等人虽然都取得了一些成果，但终未得到有关引力的定律 卓越的英国物理学家、数学家牛顿(16421727)认为一切运动都有其力学原因，开普勒三定律的背后必定有力学定律起作用他在研究变速运动过程中发明了微积分(当时称流数法)，又以微积分为工具在开普勒三定律和牛顿第二定律的基础上，用演绎方法得到所谓万有引力定律，于1687年汇编入自然科学之数学原理出版这一发现成功地解释了许多自然现象，并为一系列观测和实验进一步证实，直到今天仍是物理学中的一条基本定律十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的日心说，这是科学上的一大革命。当然由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也包含了一些缺陷（地球围绕太阳作圆周运动）。此后，丹麦天文学家第谷布拉赫进行了二十年的观测并记录下十分丰富而又准确的资料， 他的学生开普勒（Kepler）对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上有1/8度的误差，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设Kepler三定律。（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上；（2）行星在单位时间内扫过的面积A不变；（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变。牛顿认为，行星运动所以具有上述特征，必定是某种规律的反映，他决心找出这条规律来这就是后来著名的万有引力定律。假设：（1） 行星轨道方程：椭圆极坐标方程 ，其中a长半轴，b短半轴，e离心率；（2） 近似看成一扇形，A为扫过的面积（3） k为比例系数，T为周期（4） 牛顿第二定律：力推导：引入基向量，则易见，所以行星速度加速度可证，（）由得所以又，所以所以结论：作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出来的？），其大小与两者之间的距离平方成反比，比例系数通过实验给出。例2：传染病模型背景：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵害，是一项相当重要的课题，其中有效预测某个时刻得病人数也是相当重要的指标。假设：t时刻病人数为i(t),看成连续变量模型一：设单位时间内一个病人能传染的人数（传染率）为k0考察在时间段内病人数的变化，易见，所以有，此即为病人数应该满足的模型，解之得分析：（1）如果，总有，满足传染病的特征（即没有传染源永远没病人）。不过此时就不叫传染病模型了，因此（2）如果t比较大（即时间比较长），由于指数函数的特性，出现，即病人数无限膨胀，显然与事实不符（因为最起码人类人数是有限的）。分析原因，与我们认为传染率是常数的假定不太符合实际。模型二：设人群分为两类已感染者（Infective）i(t)和易感染者（Susceptible） s(t)，所考察地区的总人数为n，且i(t)+ s(t)n，易见传染率应该和s(t)成单增关系，为方便，设为正比例关系，比例系数仍用k表示（称为传染系数或日接触率），仿照模型一得，解之得分析：（1）如果t比较大（即时间比较长），由于指数函数的特性，出现，即所考察地区的人全得病了。似乎与大家的常识不符，不过在人类历史上还真出现过此类现象，只不过现在没有了(为什么？)。（2）将i(t)和的图形画出，并讨论函数i(t)的性质。模型三：（1）设人群分为三类已感染者i(t)、易感染者 s(t)和免疫移出者（含死亡）r(t)，则 i(t)+ s(t)+ r(t)n，（2）传染率和s(t)成正比，比例系