证券投资组合的最优化问题研究.doc

2014年上学期投资组合管理 期末考试论文 分数： 题 目： 证券投资组合问题的最优化研究 专业班级： 应数1101班 学生姓名： 彭涛涛 学 号： 11404118 联系方式：系 部： 数学与计量经济系 证券投资组合问题的最优化研究摘要：本文用马柯维茨证券组合投资理论1为基础，对于几种证券组合投资模型进行了优化，考虑了证券组合的收益，风险等因素，也模型做了相应的扩展。对投资者选择证券提供了一些分析和借鉴。模型建立 考虑在区间0,T交易的证券市场，在0,T期间内市场的不确定性是由一概率空间（，F,P）表示，其中表示所有可能状态的集合，令Ft为F的一子- 代数，它代表t时刻的市场信息，这样构成上的一非降-代数流。 市场上有n+1种证券，它们在时刻t的价格构成n+1维非负随机变量，证券0为一无风险证券，证券i,(i=1,2,n)为n种风险资产，例如股票。它们在t时刻的价格分别为P0(t),Pi(t),i=1,2.满足如下的随机微分方程： (1) (2) 其中，j=1,2,n是一维的标准布朗运动，参数是无风险证券的收益率，是第i种风险证券在每单位时间瞬时条件期望收益率,i=1,2n是第i种风险证券（i,j=1,2,n）是第i种风险证券预期收益率受第j种风险证券瞬时条件风险因素波动影响的方差，是风险证券市场各种因素（如公司因素、经济因素、社会政治因素以及投资者的心理因素等）影响而随机扰动的程度。在完备化市场情况下，构成一个n阶正定矩阵。记投资者在t时刻的财富为x(t)，其持有第i种证券的数量为Ni(t)，i=0,1,2,n, 税收率为。如果股利率是变化的，情形将有所变化。现在我们考虑股利的情况，即是说股利是t时刻股利率与t时刻股票的数量成正比。Di(t)是 第i种股票在t时刻股利的利率。这样， (3) 表示第i种股票当股票价格为Pi(t)，股票数量为Ni(t)时所支付的股利金额。因此，时刻的瞬时总资产过程为： (4)当时， (5) 将（1）和（2）代入上式得： （6）令 ， (7)为投资者第种证券的投资金额。我们定义为证券投资组合，其中是无风险证券的投资金额。这个证券投资组合是以可料的维向量序列，即每个为可测。对投资组合序列作可料性假定，是表明我们在时刻t决策是只能利用直到t以前的市场信息。设 i=0,1,2.n （8）则 ，i=0,1,2.n （9）将式（8）和（9）代入（6），得： (10) 投资者如何选择有效的投资组合取决于它对不同的不确定收益的偏好，这在经济学中用期望效用函数描述。首先是根据资产收益结果给投资者带来的满意程度大小，给每一收益结果确定一个价值。然后根据每一资产的每个收益结果发生的可能性进行加权平均，求得该资产的平均价值或预期价值，最后再比较各资产的预期价值的大小，根据预期价值的高低确定资产的优劣。预期价值高的资产，给投资者带来较高的满意程度，从而被投资者所偏爱。这一原理称为预期效用原理。因而，效用函数是用数学公式表现的投资者对收益结果的赋值情况。投资者的目标是使期望效用最大化，即是在预期收益率与风险之间进行权衡。在这里令投资者的效用函数是，假定它是上凸的，且是严格递增的， 是投资者在T时刻的期望效用值。那么投资者的目的是如何控制 (10)中风险证券上的投资比例份额,使其在时刻T的期望效用值达到最大。又因为前面假设， , i=0,1,2.n 所以财富x(t)在初始时刻的值就是已知的。我们令初始财富，这样我们就得到了带有随机收入（股利）的证券投资风险控制的最优投资决策问题的数学模型2如下，记为(ps)： (11) (12)目标泛函数为 （13）其中， i=1,2.是投资在第种风险证券上的投资比例，也称为投资组合，U是一个容许控制。r0 , ri， 分别为无风险证券的期望收益率和风险证券的期望收益率，为超额风险收益率；是风险证券的股利。,i,j=1,2.为第i种风险证券预期收益率受第j种风险证券风险因素波动影响的方差；,i=1,2表示概率空间上相互独立的标准维纳过程，E为数学期望，为投资者的效用函数，投资者的目标是如何选择，使其达到期望效用函数最大。这就是我们建立的具有股利和税收的证券投资的数学模型。为了降低模型求解的难度，本文将模型分解为两个证券投资组合优化模型，如下面模型（14）和（15）所示。 （14） （15） () (16)式中：为给定的风险水平，其他符号意义同前。 (17) (18) (19)式中：Rd为给定的收益率水平，其他符号意义同前。在模型(17)中赋予风险水平不同的取值,或者在模型(19)中赋予收益率水平Rd不同的取值,运用求解整数规划问题的有关方法,对模型进行求解计算,即可求得模型对应于各个不同的风险水平或各个不同的收益率水平的最优投资方案,以及相应的收益率极大值或风险极小值,进而确定模型的有效边界3。 由模型结果可知,在相应的假设条件下,只需知道初始财产,就知道该用多少用于风险投资,用多少用于无风险投资,这样就能获得最大投资收益。这里的唯一性是相对于特定的效用函数而言的,效用函数不同,则相应的最佳投资策略会发生改变，最佳投资收益也会随之而改变。 本文研究了一种避险型效用函数，求出在风险极端厌恶情况下的最优反馈控制的解。还研究研究在金融市场上，投资者通过控制风险证券和无风险证券的投资比例份额Ui(t)，在状态变量具有完全观测信息的情况下，使投资者期望的财富效用值最大。通过引入风险规避