卫星和飞船的跟踪测控建模分析.docx

Vol 18 No 1第 18 卷第 1 期Journal of Anqing Teachers College(Natural Science Edition)卫星和飞船的跟踪测控建模分析 王娟( 江苏经贸职业技术学院 信息技术系，江苏 南京 211168 )摘 要: 针对 2009 年全国大学生数学建模竞赛卫星或飞船的跟踪测控问题，讨论了所有测控站与卫星的运行轨道共面的情况下实现全程监控所需测控站个数。分别就卫星在圆形轨道和椭圆轨道上运行的情况，利用几何与向量 知识建立模型，通过 MATLAB 编程和数值计算的方法给出了卫星在不同飞行高度上测控站点的个数以及各测控站点的 具体位置。关键词: 卫星测控; 地球; 向量夹角; 圆形轨道; 椭圆轨道中图分类号: TN927文献标识码: A文章编号: 1007 4260( 2012) 01 0059 051问题的提出与合理的假设卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船( 特别是载人飞船) 进行全程跟踪测控。测控设 备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角 3 度的范围内测控效果不好，实际上每个测 控站的测控范围只考虑与地平面夹角 3 度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往 有多个测控站联合完成测控任务1。本文建立模型分析卫星或飞船的测控情况，具体解决了如下问题: 在所有测控站都与卫星或飞船的 运行轨道共面的情况下，当卫星飞行轨道为圆形时，不同飞行高度上所需要的测控站个数; 当卫星飞行 轨道为椭圆形时，至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控。在不影响求解的前提下，为了简化问题，提出以下模型假设:( 1) 卫星的运行轨道为圆形或者椭圆形; ( 2) 地球是一个均匀的球体; ( 3) 不考虑对卫星或飞船的 发射和降落的监控; ( 4) 忽略外界对研究对象的影响( 如其他天体对卫星的万有引力等) 。2问题的分析在所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，卫星的运行轨道面只能与赤道共面，否则随 着地球自转，测控站不可能总是与运行轨道共面。为了方便阐述，这里假设卫星的运行轨道面与赤道面 重合。鉴于目前卫星或飞船的飞行轨道主要有两种2: 圆形轨道，此时卫星的飞行轨道在一个与赤道同心的圆周上。椭圆型轨道，即卫星的飞行轨道为在以地球球心为一焦点的椭圆上。本文就以上两种 轨道建立模型求解。对于测控站，每个测控站的测控范围是与地平面夹角 3 度以上的空域，它可有效测控的区域为一定点在地球表面、开口朝向地球外侧的圆锥形曲面包围的立体空间3，每个圆锥曲面将会与卫星轨道相 交成一段圆弧( 卫星飞行轨道的一部分) ，不难看出，卫星飞行高度越高，所需要的测控站个数越少。由于卫星飞行的轨道是圆周或椭圆，因此事实上就是求解在赤道上布几个测控站就可以覆盖整个卫星或* 收稿日期:基金项目:2011 09 03国家自然科学青年基金( 批准号 61103018) ，江苏省自然科学基金 ( 批准号 BK2011442 ) ，软件开发环境国家重点实验室 开放课题( SKLSDE 2011KF 08) 资助。 王娟，女，江苏涟水人，江苏经贸职业技术学院信息技术系讲师，主要从事概率统计与数学建模方面的研究。作者简介:60安庆师范学院学报( 自然科学版)2012 年飞船飞行的圆形轨道或者是椭圆形轨道。符号说明43r: 地球半径，此处假设为 6 378 km; R: 卫星运行轨道半径，以地心为圆心;x: NQ 的长度( 见图 2) ; H: 卫星离地球表面的飞行高度( R = H + r) ; : OQ 与 NQ 的夹角( 见图 2) ;: 测控站所测圆弧所对应的圆心角的一半，即 NOQ( 见图 2) ;: 轨道倾角，飞船运行轨道所在平面与地球赤道平面所构成的夹角;n: 全程监控所需测控站的个数; H1 、H2 : 近地点高度、远地点高度。44 1模型建立与求解卫星或飞船的飞行轨道为圆形轨道引理在所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，且卫星飞行轨道为圆形轨道时，所需测控站的个数至少为 3。图 1图 2如图 1 所示，其中 A、C、E、G 为分布在赤道上的测控站点，圆弧段 IB、BD、DF 等表示每个测证明控站所能测控的范围，它们长度均相同。假设需要 n 个测控站才能完成对飞船的全程测控。考察四边形 OABC，由题意测控站的范围只考虑地平面夹角 3 以上的范围可知 OABOCB = 93。根据四边形内角和为 360，可得:= 93，1 + 23 + 4= 360 2 93 = 174= 360 2 93 = 174同理可得:2n 1 + 2n= 360 2 93 = 174因为圆周角是 360，即 1 + 3 + 5 + + 2n 3 + = 2n 1 = 360，上面各等式相加:360 + 2 + 4 + + 2n 2 + 2n= 174n从而:2 + 4 + + 2n 2 + 2n= 174n 360 0 360 n= 2 069 0n 3 且 n Z +174命题得证。下面考虑当卫星的飞行高度为 H 时测控站的分布的最少个数。如图 2，其中 Q 为一个测控站，这个测360 控站的测控范围为弧 NP，所对应的圆心角为 2，因此需要的测控站个数为 n在 NQO 中，根据正弦定理:= 2 ? 。 r r R r + H( 1)= sin= sin93sin( 87 )180 sin( 87 )n61第 1 期王娟: 卫星和飞船的跟踪测控建模分析rsin93可得:( 2)H = rsin( 87 180)n= 7 651 5。当 n= 3 时，可得此时卫星的最低飞行高度 H分析上式可以发现高度与测控点个数负相关，即飞行高度越高，需要的测控点越少，反之则越多。当飞行高度低于 7 651 5 km 时，三个测控站便出现了监测盲区( 不能完全监测卫星或飞船的运行情况) ， 需要增加观测站个数( 如图 3) ，所需的测控点个数大于 3。而当飞行高度大于 7 651 5 时，3 个测控站完全可以监测，同时由引理可知，最少测控站个数也是 3，因此此时至少需要 3 个测控站。根据( 2) 式，可得不同的卫星轨道高度下所需的测控站点个数( 见表 1)表 1不同测控站个数下卫星轨道的高度测控站个数( 个)卫星或飞船的飞行高度( H，单位 km)7 651 5，+ )3 140 7，7 651 5)1 817 7，3 140 7)1 216 5，1 817 7)883 34，1 216 5)678 68，883 34)541 3，678 68)444 4，541 3)374 66，444 4)319 04，374 66)276 84，319 04)243 22，276 84)215 94，243 22)3456789101112131415图 3卫星的运行轨道为椭圆形轨道4 2当卫星沿椭圆轨道运行时，其运行轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，椭圆轨道上的每一点 距离地球表面的高度是不同的，是不对称图形，因此 每一个测控站的测控弧长也是不相同的( 图 4) ，总 的测控站个数和起始测控站的位置也有很大关系， 因此此处采用数值寻优的方法解决该问题。由于卫 星飞行的高度不是一个确定的值，因此只能根据远 地点( 航天器绕地球运行的椭圆轨道上距地心最远 的一点) 和近地点的高度 ( 近地点与地球表面的距 离称为近地点高度) 来描述不同的飞行轨道，并 由 此确定测控站个数。建立以椭圆轨道中心为原点，地 球球心为右焦点的直角坐标系，如图 4。图 4根据圆形轨道所需测控站点的讨论方法，首先可以给出椭圆形轨道时测控站个数的上下界:以地球球心 O1 为圆心，近地点高度与地球半径之和即 H1 + r 为半径作圆，可以计算出此圆轨道所需 要的测控站个数 n1 ，由于这个圆是椭圆轨道的内切圆，根据圆形轨道的特征，高度越高，所需要的测控 站个数越少，因此椭圆轨道所需的测控站个数 n n1 。同理仍以地球球心为圆心，远地点高度和地球半径之和 H2 + r 为半径作圆，可得该圆轨道所需的测 控站个数为 n2 ，而此圆是椭圆形轨道的外切圆，因此椭圆轨道所需的测控站个数 n n2 。= 200 km，H2= 343 km 为例，可以得到 12 n 16。下面研究椭圆轨道模型:以 H1建立卫星的椭圆轨道方程: ( x，y) 为卫星在轨道上任意一点的坐标62安庆师范学院学报( 自然科学版)2012 年x= acos= bsin，0 2的坐标方程为:( 3)y地球表面( 赤道上) 某测控站 P( x，y)x= c + rcos= rsin( 4)yH1 + H2H2 H122其中a = r +，c= 槡a b = a r H1=( 5)22设 Pi 为第 i 个测控站，它的坐标为 ( c + rcosi ，rsini ) ，Pi 测控的区域交椭圆轨道为 Qi1 ( acosi1 ，bsini1 ) ，Qi2 ( acosi2 ，bsini2 ) 两点，如图 7。用向量表示为:O1 Pi= ( rcosi ，rsini )( 6)( 7)Pi Qij= ( acosij c rcosi ，bsinij c rsini ) ，j= 1，2 因为O1 Pi 与Pi Qij ( j= 1，2)两向量间的夹角为 87，所以有 2 O1 P i P i Qij r rccosi + arcosi cosij + rbsini sinij cos87 = | O1 Pi | Pi Qij |22r 槡( acosij c rcosi )+ ( bsinij c rsini )22化简得:sin3 =槡( acosij c rcosi )+ ( bsinij c rsini )= r ccosi + acosi cosij + bsini sinij( 8)根据 i 的值，由( 8) 式就可以得到相应的 ij 。找出每个测控站点位置的算法如下: 根据初始的 1 ，可以得到 11 ，12 ( 第一个测控站测控范围在椭圆上的两个交点的角度) 。逆时针寻找下一个测控站，再由 12 ，它作为下一个测控站测控区域与椭圆的第二个交点的角度，由( 8) 式可以得到下一个测控站所对 应的角度 2 。依此下去，得到所有的 i ( i = 1，2，n) ，直到最后一个测控站测控范围与第一个测控站 测控范围在椭圆上有交集时，即 n2 11 ，停止寻找，n 就是测控站的个数。4 3实例分析5以 H1= 200 km，H2= 343 km 为例，选取第一个测控站的 1 = 0，根据 MATLAB 编程 找到所有测控站点以及测控范围如表 2。最后一个测控站测控范围( 142 = 6 330 6，141 = 5 931 7) 和第一个测控站的测控范围( 0 198 9，+ 0 198 9) 有交集，因此共需要 14 个测控站。= 200 km，H2= 343 km，1表 2H1= 0 时各个测控站的分布情况测控站的角度 i( 弧度制)测控区域与椭圆轨道第一个交点的角度 i1测控区域与椭圆轨道第二个交点的角度 i2= 0 198 9( 6 084 1)1= 0111222 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132142= 0 198 9= 0 603 5= 1 027 7= 1 481 8= 1 971 0= 2 493 1= 3 037 0= 3 584 7= 4 116 8= 4 619 3= 5 086 5= 5 521 1= 5 931 7= 6 330 6= 0 402 1= 0 817 2= 1 256 7= 1 728 3= 2 233 5= 2 765 7= 3 310 5= 3 849 6= 4 366 3= 4 850 9= 5 302 0= 5 725 2= 6 130 8= 0 198 9= 0 603 5= 1 027 7= 1 481 8= 1 971 0= 2 493 1= 3 037 0= 3 584 7= 4 116 8= 4 619 3= 5 086 5= 5 521 1= 5 931 723 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13142131 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131141另一种布控方法是，由于该测控站的起始点选在 1= 0 处，故只考虑在 x 轴上方测控站的布置方法，对于 x 轴下方布控方法完全对称于上方。但在布第八个测控站时，由于该测控站布在第二、三象限内，下方是否需要布置第 7 个测控站需要研究。下方第七个测控站测控范围与 x 轴右方向夹角为 3 037 063第 1 期王娟: 卫星和飞船的跟踪测控建模分析 0 104 6， 2 493 1 0 648 5，上方的第八个测控站测控范围与 x 轴右方向夹角为 3 584 7 0 443 1 介于 0 140 6 之 0 648 5 间，即 x 轴下方的第七个测控站测控区域和 x 轴上方的第八个测控站测 控区域有交集，所以最终需要布 14 个测控站。他们的 i ( 0， 0 402 1， 0 817 2， 1 256 7， 1 728 3， 2 233 5， 2 765 7，3 310 5) 。当 1 0，而是选取其他的起始点，通过 Matlab 计算，所需要的测控站 都大于等于 14 个。5模型评价本文解决了在所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，卫星飞行轨道为椭圆形和圆形 时实现全程跟踪所需要的测控站个数，并通过实例分析给 出了具体测控站点的位置，较 好 地 解 决 了2009 全国大学生数学建模竞赛 C 题的第一问。存在的问题是没有考虑卫星发射过程当中的监控问题， 这在一定程度可能会影响测控点的个数。对于 C 题中的问题 2，涉及地球自转问题，卫星飞行区域是一 个球带面6，测控站的测控范围投影到球带面上是蜂窝状，实现无缝拼接覆盖球带面并找到合理的测 控站个数有待进一步研究。参考文献:1全国大学生数学建模竞赛组委会 2009 高教社杯全国大学生数学建模竞赛( CUMCM) 题目 C 题EB / OL2009 09 11 http: / /www mcm edu cn / 2金永德 导弹与航天技术概论M 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社，2002: 163 1653张克明 卫星测控站站点设置的基本原理分析与探讨J 西安航空技术高等专科学校学报 ，2010，28( 1) : 4 64姜启源，谢金星 数学建模案例集M 北京: 高等教育出版社，2006: 120 1355张圣勤 MATLAB 7 0 实用教程M 北京: 机械工业出版社，2006: 55 756朱文辉 飞船跟踪测控中的球面区域覆盖J 南通职业大学学报，2010，24( 1) : 64 66Analysis of Tracking and Monitoring Satellites and SpaceshipsWANG Juan( Depart of Information Technology，Jiangsu Institute of EconomicT