1数学建模初步

数学建模培训 每周星期六上午基础部 郭洪玩具 照片 实物模型 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 符号模型 模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 我们常见的模型 第一章数学建模的初步 一 什么是数学模型 数学模型 MathematicalModel 和数学建模 MathematicalModeling 数学模型 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 数学建模 建立数学模型的全过程 包括建立 求解 分析 检验 数学建模是一门新兴的学科 20世纪70年代初诞生于英 美等现代工业国家 在短短几十年的历史瞬间辐射至全球大部分国家和地区 80年代初 我国高等院校也陆续开设了数学建模课程 随着数学建模教学活动 包括数学建模课程 数学建模竞赛和数学 建模 试验课程等 的开展 这门课越来越得到重视 也深受广大学生的喜爱 原因 一是由于新技术特别是计算机技术的飞速发展 大量的实际问题需要用计算机来解决 而计算机与实际问题之间需要数学模型来沟通 二是社会对大学生的要求越来越高 大学生毕业后要适应社会的需求 一到工作岗位就能创造价值 建模特点 很强的实用性 教学的内容来自于实际 知识的广泛性 依赖于各方面的基础知识 内容的趣味性 有些问题就象是做游戏 引人入胜 教学方式的多样性 教师讲授方式 小组讨论方式 学生报告方式 课堂教学方式 课外教学方式等 你碰到过的数学模型 航行问题 用x表示船速 y表示水速 列出方程 求解得到x 20 y 5 答 船速每小时20公里 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 用符号表示有关量 x y表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速每小时20公里 某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞行员 护卫舰找到飞行员后 航母通知它尽快返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方向 问护卫舰应怎样航行 才能与航母汇合 例2舰艇的会合 即 可化为 护卫舰的路线方程 航母的路线方程 即可求出P点的坐标和 2的值 本模型虽简单 但分析极清晰且易于实际应用 例3大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗 如某牙膏50g装的每支1 50元 120g装的每支3 00元 二者单位重量的价格比是1 2 1 试构造模型解释这种现象 1 分析商品价格C与商品重量w的关系 2 给出单位重量价格c与w的关系 并解释其实际意义 分析 决定商品价格的主要因素 生产成本 包装成本 其他成本 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 单价 单位重量的价格 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 数学建模 计算机技术 知识经济 二 数学建模的过程 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 表述 求解 解释 验证 根据建模目的和信息将实际问题 翻译 成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答 翻译 回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 现实世界 数学世界 典型数学建模示例例4椅子的稳定性问题 问题 将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上 是否总能设法使它的四条腿同时着地 即放稳 试问 椅子能在不平的地面上放稳吗 1 椅子四条腿一样长 椅脚与地面接触处可视为一人点 四脚的连线呈正方形 2 地面高度是连续变化的 沿任何方向都不会出现间断 没有像台阶那样的情况 即地面可视为数学上的连续曲面 3 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言 地面是相对平坦的 使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地 模型假设 模型构成 椅脚连线为正方形ABCD 如右图 t 椅子绕中心点O旋转角度 f t A C两脚与地面距离之和g t B D两脚与地面距离之和 f t g t 0 模型构成 由假设1 f和g都是连续函数 由假设3 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地 对任意t f t 和g t 中至少有一个为0 当t 0时 不妨设g t 0 f t 0 原题归结为证明如下的数学命题 已知f t 和g t 是t的连续函数 对任意t f t g t 0 且g 0 0 f 0 0 则存在t0 使f t0 g t0 0 模型求解 最后 因为f t g t 0 所以f t0 g t0 0 2 令h t f t g t 则h 0 0和h 0 由f和g的连续性知h也是连续函数 根据连续函数的基本性质 必存在t0 0 t0 使h t0 0 即f t0 g t0 1 将椅子旋转90 对角线AC与BD互换 由g 0 0 f 0 0可知g 0 f 0 连续函数的介值定理 o x y a b 思考题1 长方形的椅子会有同样的性质吗 思考 长方形椅子稳定性问题 如何建模 如何求解 o x y A B C D 长方形椅子稳定性问题 表示A B与地面距离之和 表示C D与地面距离之和 则由三点着地 有 A C A B C D 例5 动物的身长和体重 问题的提出 四足动物的躯干的长度 不含头尾 与它的体重有什么关系 这个问题有一定的实际意义 比如 在生猪收购站或屠宰场工作的人们 往往希望能从生猪的身长估计出它的体重 动物的生理构造因种类不同而异 如果陷入对生物学复杂生理结构的研究 将很难得到满足上述目的有使用价值的模型 这里我们仅在十分粗赂的假设基础上 利用类比方法 借助力学的某些结果 建立动物身长和体重间的比例关系 1 问题的分析与假设 把四足动物的躯干看作圆柱体 长度l 直径d 断面面积s如下图所示 将这种圆柱体的躯干类比作 根支撑在四肢上的弹性梁 以便利用弹性力学的一些研究结果 2 模型的建立 原理 动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b 即梁的最大弯曲 根据对弹性粱的研究 有 进一步分析b l的意义 3 生物学角度分析b l b l生理学意义 b l是动物躯干的相对下垂度 b l太大 四肢将无法支撑 b l太小 四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要 无疑是一种浪费 生物学进化角度 经过长期进化 对每一种动物而言b l已经达到其最合适的数值 即b l应视为与这种动物的尺寸无关的常数 4 结论 1 关系式 前面分析 2 另一些比例关系 3 最终结论 即体重与躯干长度的4次方戊正比 这样 对于某一种四足动物比如生猪 在根据统计数据确定出上述比例系数以后 就能从躯干长度估计出动物的体重了 三 数学模型的特点和分类 模型的逼真性和可行性 模型的渐进性 模型的稳定性 模型的可转移性 模型的非预制性 模型的条理性 模型的技艺性 模型的局限性 数学模型的特点 数学模型的分类 应用领域 人口 交通 经济 生态 数学方法 初等数学 微分方程 规划 统计 表现特性 描述 优化 预报 决策 建模目的 了解程度 白箱 灰箱 黑箱 确定和随机 静态和动态 线性和非线性 离散和连续 解 设日销售金额为y元 则y P Q 当0 t 25 t N时 y t2 20t 800 t 10 2 900 t 10时 ymax 900 元 当25 t 30 t N时 y t2 140t 4000 t 70 2 900 t 25时 ymax 1125 元 综上所述 这种商品日销售额的最大值为1125元 例7 某地区地理位置偏僻 严重制约经济发展 某种土特产品只能在本地销售 该地区政府每投资x万元 所获利润为万元 为顺应开发大西北的宏伟决策 拟开发此种土特产品 而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元 若开发该产品 必须在前5年中 每年从60万元专款中拿出30万元投资修通一条公路 且5年可以修通 公路修通后该土特产品在异地销售 每投资x万元 可获利润问从十年的总利润来看 该项目有无开发价值 万元 W 10 10 100 万元 60 x万元用于异地销售投资 则总利润为 当x 30时 W2有最大值4500 十年的总利润有最大值 4500 万元 而 4500 100 故该项目具有极大的开发价值 基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将研究对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 CaseStudies 来学习 以下建模主要指机理分析 二者结合 机理分析建立模型结构 测试分析确定模型参数 四 数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 1 模型准备 了解问题的实际背景 明确建模目的 掌握对象的各种信息如统计数据等 弄清实际对象的特征 有时需查资料或到有关单位了解情况等 建模具体步骤 2 模型假设 根据实际对象的特征和建模目的 对问题进行必要地合理地简化 不同的假设会得到不同的模型 如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败 于是应该修改或补充假设 如 四足动物的体重问题 如果假设过于详细 试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去 可能会陷入困境 无法进行下一步工作 分清问题的主要方面和次要方面 抓主要因素 尽量将问题均匀化 线性化 3 模型建立 分清变量类型 恰当使用数学工具 抓住问题的本质 简化变量之间的关系 要有严密的数学推理 模型本身要正确 要有足够的精确度 4 模型求解 可以包括解方程 画图形 证明定理以及逻辑运算等 会用到传统的和近代的数学方法 计算机技术 编程或软件包 特别地近似计算方法 泰勒级数 三角级数 二项式展开 代数近似 有效数字等 6 模型检验 把模型分析的结果 翻译 回到实际对象中 用实际现象 数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况 符合好 不好 阶段性和部分性符合好 7 模型应用 应用中可能发现新问题 需继续完善 5 模型分析 结果分析 数据分析 变量之间的依赖关系或稳定性态 数学预测 最优决策控制 例7 据调查统计 某俱乐部一般每天常有150人左右去健身房和娱乐室 据问话调查 每次去健身房的人约有10 下次去娱乐室 而在娱乐室的人约有20 下次去健身房 问随着时间的推移 去健身房一般趋于多少稳定的人数 解 引入字母 转化为递归数列模型 设第n次去健身房的人数为an 去娱乐室的人数为bn 则 即 或 故随着时间的推移 去健身房的人数稳定在100人左右 同理 故随着时间的推移 去娱乐室的人数稳定在50人左右 五 怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术 不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想象力 洞察力 判断力 学习 分析 评价 改进别人作过的模型 亲自动手 认真作几个实际题目 创新意识 教学目的 培养学生解决实际问题的综合能力 1 理论与实际 双向翻译 能力2 运用数学思想进行综合分析能力3 结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4 观察力和想象力5 提高撰写科研论文的能力6 团结协作的精神 撰写数学建模的论文步骤 1 摘要 问题 模型 方法 结果 2 问题重述 4 分析与建立模型 5 模型求解 6 模型检验 7 模型推广 8 参考文献 9 附录 3 模型假设 六 数学建模竞赛的参赛 开卷形式的通讯比赛 可以使用任意图书资料和互联网 自由的收集资料 调查研究 由三名学生组成一队 各参赛队任选一竞赛题 在三 四天时间内 团结合作 奋力攻关 完成一篇数学建模全过程的论文 没有事先设定的标准答案 多名专家从以下几个方面来综合评定 1 问题分析及假设的合理性 2 模型的正确性和创造性 3 运算结果的正确性 4 结论和讨论的科学性 5 论文表达的清晰性等 例8 某学校为了教职工的住房问题 计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为A m2 的宿舍楼 已知土地的征用费为2388元 m2 且每层的建筑面积相同 土地的征用面积为第一层的2 5倍 经工程技术人员核算 第一 二层的建筑费用相同都为445元 m2 以后每增高一层 其建筑费用就增加30元 m2 试设计这幢宿舍楼的楼高层数 使总费用最少 并求出其最少费用 总费用为建筑费和征地费之和 解 设楼高为n层 总费用为y元 则征地面积为 征地费用为 楼层建筑费用为 445 445 445 30 445 30 2 445 30 n 2 故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时 最少总费用为1000A元 总费用 求极值 n 20 层 时 总费用y最少 数学建模竞赛新手教程 数学建模竞赛 就是在每年叶子黄的时候开始的一项数学应用题的比赛 大家都做过数学应用题吧 不知道现在的教育改革了没有 如果没有大变化 大家都应该做过 比如说 树上有十只鸟 开枪打死一只 还剩几只 这样的问题就是一道数学应用题 应该是小学生的吧 正确答案应该是9只吧 但这样的题照样是数学建模题 不过答案就不重要了 重要是过程了 真正的数学建模高手应该这样回答这道题 树上有十只鸟 开枪打死一只 还剩几只 是无声手枪或别的无声的枪吗 不是 枪声有多大 80 100分贝 那就是说会震的耳朵疼 不是 在这个城市里打鸟犯不犯法 不犯 您确定那只鸟真的被打死啦 确定 OK 树上的鸟里有没有聋子 没有 有没有关在笼子里的 没有 边上还有没有其他的树 树上还有没有其他鸟 没有 有没有残疾的或饿的飞不动的鸟 没有 打鸟的人眼有没有花 保证是十只 没有花 就十只 有没有傻的不怕死的 都怕死 会不会一枪打死两只 不会 所有的鸟都可以自由活动吗 完全可以 如果您的回答没有骗人 打死的鸟要是挂在树上没掉下来 那么就剩一只 如果掉下来 就一只不剩 不是开玩笑 这就是数学建模 从不同的角度思考一个问题 想尽所有的可能 正所谓的智者千虑 绝无一失 这才是数学建模的高手 然后 数学建模高手的搭挡 论文写作高手 暂称为写手吧 会把以上的思想用最好的方式表达出来 一般的写手会直接把以上的文字放到论文里就成了 但是专职的数学建模论文的写手不会这样做 她们会先分析这些思想 归整好条理 然后 她们会试着用图画来深入浅出的表达这些思想 或者再使用一些表格 这些都是在Word中进行 当然 如果有不喜欢Microsoft的朋友或是国粹主义者喜欢用WPS什么的当然也可以 她们都是这一行的专家 相信Word什么的使用技巧 都够她们写一篇论文的了 她们不一定会打字 但是输入公式的速