机械优化设计研究生课后作业.doc

第一章思考练习1-1、 优化设计问题的数学模型是由哪几部分组成的？其一般表达形式是什么？答：优化设计数学模型是优化设计的数学描述，它由三部分组成：设计变量、约束条件和目标函数。设计变量是可供调整变化以改进设计的设计参数。N个设计变量构成一个N维设计向量：约束条件是优化设计中为取得可行设计，须根据实际要求、客观条件对设计加的种种限制。一般表达式： 目标函数是衡量设计方案X优劣程度的数值指标,一般使设计变量的某种性态函数。一般表达式：它的数学模型一般表达式为：Find Min s.t. 1-2、 建立优化设计问题数学模型的一半步骤及其需要注意的问题是什么？答：一、选取设计变量需要注意的问题：（1）设计变量必须是独立变量，有明显依赖关系得变量仅取其一。（2）设计变量的选取与优化层次及优化问题的提法有关。（3）设计变量的数目要适当，过多会使问题变得复杂，求解困难；过少则优化效果差。应选取确有显著影响且能直接调整控制的参数为设计变量。二、建立目标函数需要注意的问题：（1）可能是：重量、体积、效益、承载能力、安全度、可靠性、寿命、精度、误差、振动基频、运动误差、速度、加速度、效率等。具体选取哪个取决于对设计的具体要求和客观条件。（2）根据工程实际情况定：选最重要的为优化目标。（3）有当前设计方案的实际情况确定。（4）应考虑指标是否容易给出数学表达。（5）要可解析、可数值、可经验、可近似。（6）常常以多目标优化是设计更符合实际。三、确定约束条件需要注意的问题：（1）周密分析，合理确定约束条件，从客观实际出发将确有必要且能表为设计变量的约束函数的限制确定为约束，不必要的限制不仅多余，且缩小了设计空间，会影响优化效果。（2）各约束条件应当是独立而不矛盾的。（3）要特别注意哪些对优化效果确有影响，即确有限制作用的约束（他们称为制约条件），应注意他们是否可以适当放松以达到更好优化效果。（4）按约束函数十设计变量的显函数或隐函数来区别显约束与隐约束。（5）采用多种约束函数形式：解析的、数值的、近似的、拟合的、经验的等。1-3、 优化设计问题的求解方法有哪几类？迭代法的基本思想及特点是什么？答：优化设计问题的求解方法：一、简单优化问题的求解方法：（1）解析法：适用于形式简单、容易求导，可直接写出数学模型显式表达式的、不带或仅带简单等式约束的优化问题，可通过高等数学的极值条件，解方程求解。（2）图解法：N维情况，通过作图求解，简单直观。二、数值迭代法：（1）数学规划法：根据函数及其导数的局部性态决定迭代方向和步长。迭代通式：（2）准则法：多用于结构优化复杂结构优化。迭代通式：迭代法的基本思想：根据目标函数的变化规律，以适当的步长沿着能使目标函数值下降的方向，逐步向目标函数值得最优点进行探索，逐步逼近到目标函数的最优点或直至达到最优点。迭代法的特点：（1）是数值计算而不是数学分析方法；（2）具有简单的逻辑结构并能进行反复的同样的算术计算；（3）最后得出的是逼近精确解得近似解。1-4、 欲造容积为V的长方形无盖水箱，如何选定其长、宽、高，才能使用料最少，写出数学模型。解：设水箱的长、宽、高分别为：x1,x2,x3。目标函数为：约束条件为：因此数学模型为：Find Min s.t. 第二章思考与练习2-1、梯度与海森阵的表达与意义是什么？梯度与方向导有何关系？答：梯度是多元函数对诸设计变量的一阶导数，梯度的方向就是函数变化率最大的方向，梯度的模就是这个最大变化率。梯度的表达形式：海森阵是多元函数关于诸设计变量的二阶导数矩阵。表示形式：梯度与方向导数的关系：多元函数在某方向上的方向导数是梯度在该方向上的投影。2-2、求几种特殊函数的梯度与海森阵：线性函数：；二次型函数：一般二次函数：解：（1）线性函数：设 xi为列向量则所以由于为X的线性函数，因此海森阵H（X）=0（2）二次型函数：设：所以则海森阵为： （3）一般二次函数：有上述结果得：梯度 ：海森阵 ： 2-3、多元函数的无约极值、等式约束极值及不等式约束极值的必要条件的具体形式是什么？充分条件是什么？答：多元函数的无约束局部极值极值条件：设多元函数f（X）在X*处有一阶及二阶连续偏导数。必要条件：f（X）在X*点取局部极值的必要条件为：充分条件：f（X）在X*点取局部极值的充分条件为：H（X*）为正定或负定，即对任何非零N维向量Y有正定时有极小值，负定时有极大值。等式约束极值条件：也就是拉格朗日条件：设f（X），在X*领域内为连续函数，若的雅可比矩阵满秩，在满足下，X*点是局部极值点的必要条件为：存在，使或写为：（1）（2） （j=0J）（3）的秩为J充分条件：当f（X）为凸函数、可行域D为凸集的凸规划问题时，必要条件也就是他的充分条件，因此充分条件为：（1）f（X）为凸函数、可行域D为凸集（2）（3） （j=0J）（4）、的秩为J第(3)条为正则条件即要求诸约束相互独立且相容。不等式约束的极值条件：必要条件：（1）（2） （j=1J）（3） （j=1J）（4） （j=1J）另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。充分条件：当f（X）为凸函数、可行域D为凸集的凸规划问题时，必要条件也就是他的充分条件，因此充分条件为：（1）f（X）为凸函数、可行域D为凸集（2）（3） （j=1J）（4） （j=1J）（5） （j=1J）另外还要满足正则条件，即在X*点诸临界约束的梯度线形无关，相互独立。2-4、求的极值点及其性质，图解验证。解： 由得：得三个解及相应的函数值，如下：，下面根据海森阵H（X*）是否正定来判断他们是否极值点：因为： ， ，所以将代入上式得：是正定阵，因此是极小值点。将代入上式得：也是正定阵，因此也是极小值点。将代入上式得：既非正定阵，也非负定阵，因此是鞍点。又由于，所以是最小点。在MATLAB中画出如下图形：从图上看出是鞍点，和是极小点，然后他们的函数值，可以看出是最小点。2-5、Find min s.t. 检查（2，1，2），（4/3，2/3，3），（3/2，3/2，2）三点的库恩-塔可条件。解：首先求出f（X）和gj（X）在X*处的梯度，如下所示： （1）、将（2，1，2）代入gj（X）得：因此只有是起作用的约束，将，,代入到得： 无法得出满足该方程的解，因此对于点（2，1，2）不满足库恩-塔可条件。（2）、将（4/3，2/3，3）代入gj（X）得：因此只有是起作用的约束，将， 代入到得： 无法得出满足该方程的解，因此对于点（4/3，2/3，3），不满足库恩-塔可条件。（3）将（3/2，3/2，2）代入gj（X）得：因此只有是起作用的约束，将，代入到得： 解得：又由得：即：因此满足库恩-塔可条件的为3，0，0，0，1T第三章练习题3-1、用黄金分割法求目标函数的最优解，初始区间为-3，5，误差不大于0.05。解：a=-3,b=5(1)在-3，5内取点则所以令，即新的区间为-3，1.944（2） 则所以令，即新的区间为-3，0.056（3） 则所以令，即新的区间为-1.833，0.056（4） 则所以令，即新的区间为-1.833，-0.6656（5） 则所以令，即新的区间为-1.3871，-0.6656（6） 则所以令，即新的区间为-1.1114，-0.6656（7） 则所以令，即新的区间为-1.1114，-0.8359（8） 则所以令，即新的区间为-1.1114，-0.9412（9） 则所以令，即新的区间为-1.0464，-0.9412（10） 则所以令，即新的区间为-1.0062，-0.9814（11） 则所以令，即新的区间为-1.0062，-0.9909区间长度为：|-0.9909-(-1.0062)|=0.0153=0.05所以，最优解：x*=0.5*(-0.9909-1.0062)=-0.9986f(x*)=-0.9986*(2-0.9986)=-1附：黄金分割法程序如下：#include #include int main(int argc, char* argv)float func(float x);float a,b,e,a1,a2,f1,f2,amin,fmin;cout请输入下限、上限和误差abe;int m,n,k;n=(int)(log(e/(b-a)/(-0.4812)+1;a2=a+0.618*(b-a);a1=b-0.618*(b-a);f1=func(a1);f2=func(a2);m=0;for(k=n;k1;k-)if(f1=f2)b=a2;a2=a1;a1=b-0.618*(b-a);f2=f1;f1=func(a1);elsea=a1;a1=a2;f1=f2;a2=a+0.618*(b-a);f2=func(a2);m=m+1;cout第m次迭代endl;cout新的区间：(a,b)endl;cout第m+1此迭代endl;if(f1f2)amin=a1;fmin=f1;cout最优解a*=amin 最优值func*=fminendl;elseamin=a2;fmin=f2;cout最优解a*=amin 最优值func*=fminendl;return 0;float func(float x)return x*(x+2);输出结果：第1此迭代新的区间：(-3,1.944)第2此迭代新的区间：(-3,0.056)第3此迭代新的区间：(-1.83261,0.056)第4此迭代新的区间：(-1.83261,-0.665448)第5此迭代新的区间：(-1.38675,-0.665448)第6此迭代新的区间：(-1.11139,-0.665448)第7此迭代新的区间：(-1.11139,-0.835799)第8此迭代新的区间：(-1.11139,-0.940987)第9此迭代新的区间：(-1.0463,-0.940987)第10此迭代新的区间：(-1.0463,-0.981215)第11此迭代最优解a*=-1.00612 最优值func*=-0.999963讨论：共迭代十一次，得出最优结果。编程计算结果与手算结果基本一致。迭代次数一致。3-2、求函数的极小值，初始点为-2，2T，误差不大于0.001。解：见大作业第一题第四章练习题4-1用单纯型法求解以下线性规划：Find Min St 解：引入非负松弛变量，化不等式约束为等式约束：构造单纯型表：X1X2X3X4X5X6X7X8di(1)02/301000035(2)08/152/50100070(3)02/153/50010070(4)3/47/121/40001090(5)1/45/123/40000190(6)-1-1-1000000第一轮迭代：（1）检查目标行，前三列均为-1。（2）选第一列为进基，检查：显见最小为120，因此q=4。（3）以为轴进行高斯消元得新表：运算X1X2X3X4X5X6X7X8di(7)(1)02/301000035(8)(2)08/152/50100070(9)(3)02/153/50010070(10)(4)*4/319/71/30004/30120(11)(5)-(10)*1/402/92/3000-1/3160(12)(6)+(10)0-2/9-2/30004/30120第二轮迭代：（1）检查目标行，第三列最小，p=3，x3进基。（2）计算：由最小者决定q=5。（3）以为轴进行高斯消元的新表：运算X1X2X3X4X5X6X7X8di(13)(7)02/301000035(14)(8)-(17)*2/502/500101/5-3/534(15)(9)-(17)*3/50-1/1500013/10-1/1016(16)(10)-(17)*1/312/300003/2-1/290(17)(11)*3/201/31000-1/23/290(18)(12)+(17)*2/300000011180目标行已无非基本变量系数，故的最优解：第五章练习题5-1、见大作业第二题第七章练习题7-1、为什么说满应力法是感性准则法？答：力学准则法是从力学概念出发建立一些准则，以为结构满足了这些准则的可用设计就是最优设计，或近似最优设计。满应力准则就是使结构使用时最大应力均达到其允许值。满应力优化设计方法是对结构布局已定的构件尺寸优化，其目的是使结构体积最小（重量最轻），主要是针对杆系结构，尤其是桁架结构。在一个或多个荷载条件下，使各个杆件的最大工作应力均达到材料的极限强度（即满应力），结构的重量必定是最轻的。这是一种仅仅出于直觉的准则设计。将满应力的概念进一步推广，应用于超静定系统，即使在一种荷载情况下，要使所有杆件达到满应力的设计也是不可能实现的。这是因为全部杆件满应力与变形协调间发生了矛盾。所以说它是感性准则法。7-2、为什么说导重准则法克服了虚功准则法不可克服的缺陷？答： 虚功准则法认为外载荷不随设计变量变化，这对外载荷包括自重及惯性载荷的航空航天结构、精密机械结构是不成立的。不能考虑载荷对设计变量的导数，这是虚功准则法无法克服的缺陷。因此，虚功准则法有如下局限：（1）对于航空航天、精密机械等惯性载荷结构，虚功准则法具有先天缺陷，准则不准，最优解不优。（2）不能对一般混合结构（含非杆、板单元）进行结构优化。（3）不能进行几何变量优化，设计变量xi不能是坐标。（4）不能进行动力特性优化。导重准则法克服了虚功准则法的缺陷失因为：（1）导重准则法考虑了设计变量变化引起的载荷变化。用于优化对自重等惯性载荷为主的航空航天结构、精密机械结构，效果显著。可保证求得最优解。（2）借助于线性互补问题的克莱姆算法求解多个不等式约束的库恩-塔克乘子，自动而有效的区分了临界约束与非临界约束。（3）设计变量除构件尺寸外，还可包括节点坐标。7-3、导重的意义是什么？单约束与多约束导重法是如何实现不等式约束的？答：设计变量导重的意义：以为例说明导重的意义：当时，说明随增加，目标函数可得到改善（下降），所以该杆截面应当增加；当时，说明随增加，目标函数可会变怀（上升），所以该杆截面应当减小。在下式中：当与同号时，必能使导重越大的截面积通过迭代越是增加，反复迭代直至各构件重量与相应导重成正比时，结构最优。可见导重确实起到引导各组构件重量分配，使结构趋于最优化的作用。这就是导重的意义。不等式约束的实现：对于不等式约束：，可通过控制的正负来实现。（1）时，说明增加，这使减小，但约束限制不能再增加，这时，满足K-T条件。(2) ，不满足K-T条件之，它对应减少，方可使改善的情况。而原不等式约束是允许W下降的，即设计点X可离开约束面，向可行域内的无约束极值点X*方向移动，直至X*=X*时，这样就使K-T条件得到满足，结构重量小于给定指标，目标函数反而更优，这可称之为“优重设计”。具体做法：当 时，在迭代公式右端乘以重量消减因子，采用迭代公式：既可通过迭代使增加趋于0，W下降，改善，从而实现了不等式约束和K-T条件及。这样不等式约束极值条件得以实现。7-4、导重法的特点、优点是什么？有什么地方应与改进？答：导重法的特点、优点如下：（1）导重准则法克服虚功准则法的先天缺陷，是严密推导的数学准则法，可保证求得最优解，尤其是对自重等惯性载荷为