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文档简介

机动目录上页下页返回结束 微分方程的幂级数解法 一 一阶微分方程问题 二 二阶齐次线性微分方程问题 微分方程解法 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容 本节内容 第十二章 一 一阶微分方程问题 幂级数解法 将其代入原方程 比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数 即为定解问题在收敛区间内的解 设所求解为 本质上是待定系数法 机动目录上页下页返回结束 例1 解 根据初始条件 设所求特解为 代入原方程 得 比较同次幂系数 得 故所求解的幂级数前几项为 机动目录上页下页返回结束 二 二阶齐次线性微分方程 定理 则在 R x R内方程 必有幂级数解 设P x Q x 在 R R 内可展成x的幂级数 证明略 此定理在数学物理方程及特殊函数中非常有用 很多 重要的特殊函数都是根据它从微分方程中得到的 机动目录上页下页返回结束 例2 的一个特解 解 设特解为 代入原方程整理得 比较系数得 可任意取值 因是求特解 故取 从而得 当n 4时 机动目录上页下页返回结束 因此 注意到 此题的上述特解即为 机动目录上页下页返回结束 定理目录上页下页返回结束 例3 解 求解勒让德 Legendre 方程 展成幂级数 满足定理条件 因其特点不用具体展开它 设方程的解为 代入 整理后得 比较系数 得 例如 机动目录上页下页返回结束 于是得勒让德方程的通解 上式中两个级数都在 1 1 内收敛 可以任意取 它们是方程的 两个线性无关
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