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电磁学思考题和计算题 第二章习题： A P B、 如图所示，一平行板电容器充电后，、两极板上电荷的面密度分别为和。设为两板间任一点，略去边缘效应，求：（） 板上的电荷在点产生的电场强度；（） 板上的电荷在点产生的电场强度；（） 、两板上的电荷在点产生的电场强度；（） 若把板拿走，板上电荷分布如何？板上的电荷在点产生的电场强度为多少？解：略去边缘效应，两极板上的电荷是均匀分布的电荷，两极板间的电场是均匀电场。由对称性和高斯定理可得 （1）板上的电荷在点产生的电场强度 （A板法线方向上的单位矢量，指向B板）；（2） B板上的电荷在点产生的电场强度 （3） 、B两板上的电荷在点产生的电场强度（4） 板拿走后，板上电荷将均匀分布在两个表面上，面电荷密度减小为一半。在P点产生的场强为两个表面上电荷产生场强的叠加，1 2 3 42、证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，（） 相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；（） 相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。（） 若左导体板带电+3微库/米2，右导体板带电+7微库/米2，求四个表面上的电荷。1 2 3 41 23 4解：由对称性可知，在每个面上，电荷必定都是均匀分布的，在两板间和两板外的电场必定都是均匀电场，电场强度的方向都与板面垂直。（） 作柱形高斯面如图所示，由高斯定理得 （） 根据无限大带电平面均匀电荷产生电场强度的公式和电场强度的叠加原理，导体内任一点P的电场强度为 （） 应用前述结果及电荷守恒定律 解得：由此可知，当Q1=Q2时，相向的两面上无电荷分布，相背的两面上电荷等量同号； 当Q1=-Q2时，相背的两面上无电荷分布，相向的两面上电荷等量异号。3、两平行金属板分别带有等量的正负电荷。两板的电位差为120V，两板的面积都是3.6cm2,两板相距1.6mm。略去边缘效应，求两板间的电场强度和各板上所带的电量。解：（1）两板间电场看作均匀电场，两板的电势差为 电场强度的方向由电势高的板指向电势低的板。 （2）利用上题结果，相背的两面上没有电荷，相向的两面上电荷面密度大小相等而符号相反。板上的电量为4、两块带有等量异号电荷的金属板a和b，相距5.0mm，两板的面积均为150 cm2,电量的大小都是2.6610-8C,a板带正电并接地（接地与否对a板的有何影响？）。以地的电位为零，并略去边缘效应，问：1 2 3 41 23 4a b（） b板的电位是多少？（） a、b间离a板1.0mm处的电位是多少？解：a、b两板上的电荷都均匀分布在相向的两面上，(1) 两板间的电场强度为 b板的电位为 （） 两板之间离a板1.0mm处的电位是 5、三平行金属板A、B和C，面积都是200 cm2,AB相距4.0mm，AC相距2.0mm，BC两板都接地。如果使A板带正电3.010-7C，在略去边缘效应时，问B板和C板上感应电荷各是多少？以地的电位为零，问A板的电位是多少？解：（1）BC两板都接地，故两板上只有向着A的一面有感应电荷。由对称性和高斯定理得C A B2mm4mm （2）A板的电位为 注：A是一个等势体6、点电荷q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为R1和R2，求场强和电位的分布，并画出Er和Ur曲线。解：（1）由高斯定理得场强的分布为R1R2q （2）电位分布为 （3）Er和Ur曲线如图所示UrR1 R2ErR1 R2 7、在上题中，若q=4.010-10C,R1=2cm，R2=3cm，求：（） 导体球壳的电位；（） 离球心r=1cm处的电位；（） 把点电荷移开球心1cm，求导体球壳的电位。解：（1）导体球壳的电位为 （2）离球心为r处的电位为 （3）导体球壳的电位取决于球壳外表面电荷分布所激发的电场，与点电荷在球壳内的位置无关。因此导体球壳电位仍为300V。8、半径为R1的导体球带有电量q,球外有一个内、外半径分别R2、R3的同心导体球壳，壳上带有电荷Q。（） 求两球的电位U1和U2；R2R3qQR1（） 两球的电位差U；（） 以导线把球和壳连在一起后，U1、U2和U分别是多少？（） 在情形（1）、（2）中，若外球接地，U1、U2和U分别是多少？（） 设外球离地面很远，若内球接地，情况如何？解：（1）由对称性和高斯定理求得，各区域的电场强度和电位分别为 （2）两球的电位差为 （3）以导线连接内外球，所有电荷将分布于球壳的外表面上， （4）若外球接地，则情形（1）（2）中球壳内表面带电-q,外表面不带电 （5）内球电位为零。设其上所带电量为q, rR1 R2 R3UR1 R2 R3Er10、 设范德格喇夫起电机的球壳与传送带上喷射电荷的尖针之间的电位差为3.0106V,如果传送带迁移电荷到球壳上的速率为3.010-3C/s，则在仅考虑电力的情况下，必须用多大的功率来开动传送带？解：开动传送带的功率至少应等于迁移电荷作功的功率11、 德格喇夫起电机的球壳直径为1m。空气的击穿场强为30KV/cm。这起电机最多能达到多高的电位？解：对空间任一点P，球壳所带电荷产生的电场的场强和电位分别为 12、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的电位为U1，半径为R1，外圆柱体的电位为U2，内半径为R2，求其间离轴为r处（R1rR2）的电位。解：由高斯定理可解得内圆柱体和外圆柱体之间的电场强度为 设r处的电位为U，则注：学习处理方法13、 同轴传输线是由两个很长且彼此绝缘的同轴金属直圆柱体构成。设内圆柱体的半径为R1，外圆柱体的内半径为R2，两圆柱体的电位差为U。求其间离轴为r1和r2处（R1r1r2R2）的电位差。解：利用上题结果，离轴为r1和r2处（R1r1r2R2）的电位差为 14、 一很长直导线横截面的半径为a，这线外套有内半径为b的同轴导体圆筒，两者互相绝缘，外筒接地，它的电位为零。导线电位为U，求导线和筒间的电场强度分布。解：由高斯定理可求得arb区域内的电场强度为 导线相对于外筒的电位差为 -习题： 3、 面积都是2.0m2的两平行导体板放在空气中相距5.0mm，两板电位差为1000V，略去边缘效应，求：（） 电容C； （） 各板上的电量Q和电荷的面密度；（） 板间的电场强度E。解： 4、 如附图所示，三块平面金属板A、B、C彼此平行放置，AB之间的距离是BC之间距离的一半。用导线将外侧的两板A、C相联并接地，使中间导体板B带电3C，三个导体板的六个面上的电荷各为多少？AB C解：相当于两个电容器并联注：由于接地，5、 如附图所示，一电容器由三片面积都是6.0cm2的锡箔构成，相邻两箔间的距离都是0.10mm，外边两箔片联在一起成为一极，中间箔片作为另一极。（） 求电容C；（） 若在这电容器上加220V的电压，问各箔上电荷的面密度分别是多少？解： 6、 如附图所示，面积为1.0m2 的金属箔11张平行排列，相邻两箔间的距离都是5.0mm，奇数箔联在一起作为电容器的一极，偶数箔联在一起作为另一极。求电容C。解： 22个面中除最外侧的两个面外，其他的20个面，相当于十个相同的电容器并联。 7、 Sdt如附图所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚为t 的金属片。略去边缘效应，（） 求电容C；（） 金属片离极板的远近有无影响？解：相当于两个电容器串联。设金属板距上板距离为x当t 0时， 当t d时, C 或者：da8、 如附图所示，一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，两板不是严格平行，而是有一夹角。证明：当a),求单位长度的电容。dP解： 由高斯定理可求得两导线之间垂直连线上任意一点P的场强为 单位长度的电容为 10、 证明：同轴柱形电容器两极的半径相差很小（即RB-RARA）时，它的电容公式趋于平行板电容公式。证明：同轴柱形电容器的电容公式为 令RB-RA=d ,且d RA 相当于平行板电容器的电容公式11、 证明：同心球形电容器两极的半径相差很小（即RB-RARA）时，它的电容公式趋于平行板电容公式。RBRA证明：同心球形电容器的电容公式为 当RB-RARA时，RBRAR2，RB-RA=d 相当于平行板电容器的电容公式12、 一球形电容器内外两壳的半径分别为R1和R4，今在两壳之间放一个内外半径分别为R2和R3的同心导体球壳。（） 给内壳以电量Q，求R1和R4两壳的电位差；（） 求电容。解：（1）首先根据静电平衡分析电荷的分布，由对称性及高斯定理可得各区域场强分布为 （2）电容为 13、 收音机里用的可变电容如附图所示，其中共有n个面积为S的金属片，相邻两片的距离都是d,奇数片联在一起作为一极，它固定不动（叫做定片），偶数片联在一起作为另一极，它可以绕轴转动（叫做动片）。（） 什么动片转动时电容C会改变？转到什么位置时C最大？转到什么位置时C最小？（） 证明：略去边缘效应时，C的最大值为 解：（）电容大小由定片和动片间正对着的那部分面积决定。当动片转动时，正对面积变化，电容随之变化。当动片完全转到定片间时，达到最大，就达到最大；当动片完全转出定片时，达到最小。（）当动片完全转入时，相当于n-1 个电容器并联，总电容为1、收音机里用的可变电容如上题所示，其中共有n个金属片。每片形状如下图所示；相邻两片间的距离都是d，当动片转到两组片之间夹角为时，证明：当较大时，略去边缘效应，它的电容为解：由扇形面积公式，得两组片对着的面积为rr2式中是以弧度为单位，若以度为单位， 整个电容器可视为n-1个电容器并联而成、四个电容器的电容分别为、和，联接如图所示，分别求：（） 间；（）间；（）间的电容。解：（）间的电容为注:C4短路（）间的电容为（）间有导线接通（短路，UAE=0），相当于无穷大的电容。、四个电容器的电容都是，分别按图a和图b联接，求、间的电容。哪种接法总电容较大？aABbAB解： (a) ABC1 C2C3 C4ABC1 C2C3 C4ab(b) b接法总电容较大。、四个电容、和都已知，求图a、b两种联法时，间的电容。解：两种联法、间的电容分别为、（）求附图中、间的电容；（） 在、间加上的电压，求上的电荷和电压；（） 如果这时被击穿，问上的电荷和电压各是多少？ABC1 C2 C10F 5F 5F解：（）（）上的电荷和电压注：电容串联 电量相等 均为总电量？ 也可以先考虑串联分压（）被击穿时，短路，全部电压将加在上，、如附图，已知0.25F, 20.15F, 30.20F, 上的电压为。求。解：与并联后与！串联。Q1=Q2+Q3、有一些相同的电容器，每个电容都是.F，耐压都是。现在要用它们联接成耐压，（）电容.F和（）.F的电容器，问各需要这种电容器多少个？怎样联法？解：（）将个电容为.F，耐压的电容器串联.F，（）将个电容为.F，耐压的电容器串联为一组，再并联三组.F，注：首先考虑串联分压，然后考虑并联增加电容、两个电容器和，分别标明为：0000，：300900.把它们串联后，加上电压，是否会被击穿？解：串联后总电容为，总电量1.210-7C,加在和上的电压分别为，上的电压超过额定电压，首先被击穿。击穿后，电压全部加在上，也被击穿。注：可以从串联分压的角度考虑、四个电容器C1=C4= 0.20F，C2=C3=0.60F，联接如图所示。（） 分别求K断开和接通时的Cab;（） 当Uab=100V时，分别求K断开和接通时各电容上的电压。ab C23 C4解（）断开时接通时（）断开时100，30 每个电容器上15, U1=U4=Q/C1=75V, U2=U3=Q/C2=25V 接通时100，0.4F, 40C U1=50V, U2=50VU C1 C2K、如图所示，C1=20F，C2=5F，先用U=1000V把C1充电，然后把K拨到另一侧使C1与C2联接。求：（） C1和C2所带的电量；（） C1和C2两端的电压。解：（）C1和C2所带的电量为注：K拨到另一侧，并联（）C1和C2两端的电压为 C23 C电源、附图中的电容C1、C2、C3都是已知的，电容C是可以调节的。问当C调节到A、B两点的电位相等时，C的值是多少？解：设串联的电容和上的电量为q,和上的电量为q、两点等电位、把C1=1.0F和C2=2.0F并联后接到900V的直流电源上，（） 求每个电容器上的电压和电量；（） 去掉电源，并把C1和C2彼此断开，然后再把它们带异号电荷的极板分别接在一起，求每个电容器上的电压和电量。解：（）C1 、C2并联后接到900V的直流电源上，（）去掉电源后重新联接，两电容器互相充电，电量重新分配(并联)固定极板mx、静电天平的装置如图所示，一空气平行板电容器两极板的面积都是，间距为x，下板固定，上板接到天平的一头。当电容器不带电时，天平正好平衡。然后把电压加到电容器的两极上，则天平的另一头须加上质量为m的砝码，才能达到平衡。求所加的电压。解：加上电压后，极板所受的静电力为当天平平衡时，mg-习题：、 一平行板电容器两极板相距为2.0mm，电位差为，其间充满了介电常数为5.0的玻璃片。略去边缘效应，求玻璃表面上极化电荷的面密度。解： 注:此处的为总的场强； 也可由E求D再求面电荷密度、 一平行板电容器由面积都是cm2的两金属薄片贴在石腊纸上构成。已知石腊纸厚为0.10mm，.，略去边缘效应，问这电容器加上的电压时，极板上的电荷量是多少？解：由电位移的高斯定理可得介质中的D与极板上电荷量的面密度之间的关系为或者:、 面积为1.0m2的两平行金属板，带有等量异号电荷，其间充满了介电常数的均匀电介质。略去边缘效应，求介质内的电场强度和介质表面上的极化电荷面密度。解：介质内的电场强度为 极板上的极化电荷面密度为 、平行板电容器（极板面积为，间距为d）中间有两层厚度各为d1和d2(d1+d2=d),介电常数各为和的电介质层。试求：（） 电容；（） 当金属极板上带电面密度为0时，两层介质分界面上的极化电荷面密度；（） 极板间电位差；（） 两层介质中的电位移。解：（） 注：可视为C1 C2两个电容的串联 （） 或者（）（）、两平行导体板相距5.0mm，带有等量异号电荷，面密度为20m2,其间有两片电介质，一片厚2.0mm，13.0;另一片厚.0mm，1.0。略去边缘效应，求各介质内的、和介质表面的。解：由介质中的高斯定理得，两介质中电位移的大小为由可知与同方向，的大小分别为两介质表面的极化电荷面密度为或者 、一平行板电容器两极板的面积都是2.0m2, 相距为5.0mm，两极加上电压后，取去电源，再在其间充满两层介质，一层厚2.0mm，1.0;另一层厚.0mm，.0。略去边缘效应，求：（） 各介质中的电极化强度；（） 电容器靠近电介质的极板为负极板，将它接地，两介质接触面上的电位是多少？解：（）未放入介质时，加上电压后，电容器带电量为断开电源后，不变，也不变，两介质中的电位移为介质中的电场强度为介质中的极化强度为（）两介质接触面上的电位为、如图所示，一平行板电容器两极板相距为d,面积为，电位差为，其中放有一层厚为t的介质，介电常数为，介质两边都是空气，略去边缘效应，求：dt（） 介质中的电场强度、电位移和极化强度；（） 极板上的电荷量；（） 极板和介质间隙中的场强；（） 电容。解：（）由介质中的高斯定理得介质中的极化强度为（）极板上的电荷量为（）各区域的电场强度为（）电容为注:电容可视为串联，先求Q，再求 0 1 2 3 A + BXcm、平行板电容器两极板相距3.0cm，其间放有一层.0的介质，位置和厚度如图所示，已知极板上面电荷密度为=8.910-10C/m2，略去边缘效应，求：（） 极板间各处的P、E和D；（） 极板间各处的电位（设UA=0）；（） 画E-x、D-x、U-x曲线；（） 已知极板面积为0.11 m2，求电容C，并与不加介质时的电容C0比较。答：（1）由介质中的高斯定理可得 （2）以A板电位为零，各点的电位为 （3）E-x、D-x、U-x曲线分别为0 0.01 0.02 0.03 x/mU/V210 0.01 0.02 0.03 x/mD8.910-10C/m20 0.01 0.02 0.03 x/m10050E/V/m （4）电容为=30F 与真空时的电容相比较 C/C0=1.29、两块平行导体板带有同号电荷，面密度分别为1=3.310-10C/m2，2=6.610-10C/m2，两板相距为1.0cm。在其间平行地放有一块厚为5.0mm的均匀石腊板，.0。略去边缘效应，求：dd/2（） 石腊内的E内；（） 极板间石腊外的E外；（） 两极板的电位差；（） 石腊表面的极化面电荷密度。解：（1）两导体板所带电荷同号，由高斯定理及电荷守恒定律可知但考察两金属板之间的电场时，可以将每一金属板上的电荷看作整体。 （3）电位差 （4）石腊表面的极化面电荷密度为 1、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满介质，介质的介电常数是变化的，在一极板处为1，在另一极板处为2，其他处的介电常数与到1处成线性关系。略去边缘效应，求：（） 电容器的电容；（） 当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内的极化电荷体密度和表面上的极化电荷面密度。、一云母电容器是由张铝箔和片云母相间平行迭放而成，奇数铝箔接在一起作为一极，偶数铝箔接在一起作为另一极，如图所示。每张铝箔和每片云母的面积都是2.5cm2,每片云母的相对介电常数都是7.0，厚度都是0.15mm。略去边缘效应，求电容。解：可以看作九个电容器并联而成1、一平行板电容器两极板相距为d，其间充满了两部分介质，介电常数为1的介质所占面积为，介电常数为2的介质所占面积为。略去边缘效应，求电容。解：两个电容器并联而成、如图所示，一平行板电容器两极板的面积都是，相距为d。今在其间平行地插入厚度为t，介电常数为的均匀介质，其面积为。设两板分别带电荷和-。略去边缘效应，求：dt S/2 S/2（） 两极板电位差；（） 电容；（） 介质的极化电荷面密度。解：（）设未插入介质一侧极板上电荷的面密度为，另一侧为（）电容器的电容为（）极化电荷面密度为注：可以先利用定义求电容 解法一：根据电容器电容之定义求解。设极板左半部的自由电荷为Q01自由电荷面密度为其间电介质外的场强为，电介质内之场强为设极板右半部的自由电荷为Q02，自由电荷面密度为，其间场强为两极板间的电势差为 或 同一块板上的电势是相同的由、两式得 而 根据电容之定义 根据式代入上式整理后得解法二：利用电容器的串、并联关系求解。这个平行板电容器可看成由三个平行板电容器构成：电容器左半部看成是由面积为S/2，其间距分别是d-t（为真空）和t（为电介质）两个电容器C1，C2串联，然后和面积为、间距为d的电容器并联，如图所示。 而 ，联立求解上面式子得所得结果与解法一相同。（2）介质的极化电荷面密度将、两式代入上式解得在电介质的上、下两个表面分别分布有正、负极化电荷面密度。、一平行板电容器两极板的面积都是2.0m2，相距为5.0mm。当两极板之间是空气时，加上一万伏的电压后，取去电源，再在其间插入两平行介质层，一层厚2.0mm，1.0;另一层厚.0mm，.0。略去边缘效应，求：（） 介质内的和；（） 两极板的电位差；（） 电容。解：=/d 电源断开后，保持不变 D1=D2=Q/S=1.7810-5(C/m2)（）E0=U/d E1=E0/1 =4105(V/m) E2=E0/2 =1106(V/m) （）U=E1d+E2d=3800V（）C=Q/U=9.