第1章 静止电荷电场

大学物理学II刘鸿鹏电mail hpliu 公共邮箱 caucwulikejian2011 密码 wulikejian 电磁学 电学 磁学 电磁感应学时比例 2 3 近代物理 狭义相对论 光的波粒二象性 量子力学学时比例 1 3 掌握 理解 了解 属较高要求 对要求掌握的内容 包括定律 定理 原理等内容 物理意义及适用条件 都应比较透彻地接受 并能熟练地用以分析和计算相应水平的有关问题 对于那些由基本定律导出的定理要求会推导 属一般要求 对要求理解的内容应有明确的认识 并能用以分析和计算相应水平的有关问题 对于那些由基本定律导出的定理不要求会推导 属较低要求 对要求了解的内容应该知道所涉及问题的现象和有关实验 并能对它们作定性的解释 还应知道与问题直接有关的物理量和公式等的物理意义 在近代物理的了解部分一般不要求作定量计算 在经典物理的了解部分要求能作代公式性质的计算 第一章静止电荷的电场 ElectricFieldofRestCharges 本章主要内容 1 1电荷 1 2Coulomb定律 1 3电场和电场强度 1 4静止点电荷的电场及其叠加 1 5电场线和电通量 1 6Gauss定理 1 7利用Gauss定理求静电场分布 第一章静止电荷的电场 第一章静止电荷的电场 电磁学是研究电场和磁场的规律 及电磁场与电荷 电流和实物物质相互作用的学科 电磁现象普遍存在于自然界 它涉及的方面十分广泛 从宏观到微观 从物理学本身到几乎所有自然科学领域 从日常生活和工作到尖端的科学研究 因此 电磁学是 大学物理学 的重要部分之一 电磁现象的定量理论研究 是从1785年Coulomb的静止点电荷相互作用的研究开始的 本章介绍电磁现象中最基本的概念 静电场 及其在真空中表现出的规律 1 1电荷 Charges 1 1电荷 电荷相互作用的特征是 同性相斥 异性相吸 最初 人们把物体产生电现象归结为物体带上了电荷 带电 因此 电荷是物质带电的属性 带电的属性越强 认为带电越多 并引入电量来定量表述 电量即电荷的量值 q Q 通过对电荷的相互作用的研究 人们认识到电荷有两种类型 正电荷和负电荷 或称两种极性 positive negativecharge charge electricquantity 电荷及其种类 宏观物体带电荷 是指组成物质的微观带电粒子中 带正电和带负电的电量不相等 有电荷就有质量 光子无静止质量 电荷的量子化quantization 实验证明 电荷总是一个基本单位量e的整数倍 q Ne进一步的实验测得 Millikan油滴实验 1913 e 1 602177 10 19C 正是电子 质子的电量大小 1 1电荷 电荷的代数和不变 意味着电荷可以产生和消失 只是要等量的异性电荷同时产生或消失 如 正负电子对的产生和湮灭 在实验中已被证实 宏观电荷一般可认为是连续的 因为q Ne 宏观带电体的N足够大 q e 电荷守恒定律 对于一个封闭的带电系统 电荷的代数和保持不变 这是大量实验总结出的结论 电荷守恒定律 电荷的相对论不变性 pairproduction pairannihilation 在不同的参照系中观察同一带电系统 电荷的电量不变 1 2Coulomb定律 CoulombLaw 1 2Coulomb定律 点电荷是一种理想模型 即忽略形状和大小的带电体 把带电体看作带电的点 点电荷 点电荷模型是相对的 当带电体的线度比所研究的问题中涉及的距离小得多时 就可以把该带电体当作点电荷 否则点电荷模型就不适用 Coulomb定律 1785年 法C A Coulomb 扭秤实验 定律 惯性系 真空中两个静止点电荷的相互作用力 其大小与电荷电量大小的乘积成正比 与它们距离的平方成反比 作用力的方向沿着两电荷的连线 且同性相斥 异性相吸 1 2Coulomb定律 说明 Coulomb定律的适用条件 真空中静止于惯性系的点电荷 空气中近似成立 静止电荷的相互作用力 无论是斥力还是引力 统称为库仑力或静电力 库仑力服从牛顿第三定律 库仑力是电磁相互作用的一种形式 它是作用力程为无穷远的长程力 实验给出比例常数 k 8 9880 109N m2 C2 国际单位制将k表示成 例 比较氢原子中的质子和电子间的库仑力和万有引力 库仑力 引力 强力 电磁力 弱力 引力 原子核中的核子 质子 中子 靠强力吸引 库仑排斥很弱 宏观物体靠分子 原子间的库仑力维系 1 2Coulomb定律 实验表明 两个点电荷的作用力 不因第三个电荷的存在而受到影响 因此 库仑力满足叠加原理 库仑力服从叠加原理 当一个点电荷同时受到多个点电荷作用时 该点电荷的受力等于其他各个点电荷单独存在时对它作用的力的矢量和 返回 1 3电场和电场强度 ElectricFieldandElectricFieldIntensity 1 3电场和电场强度 库仑力是长程力 电荷与电荷的相互作用靠什么传递 历史上有 超距作用 以太 ether 等观点 近代物理的理论认为 传递相互作用的是一种物质 并提出 电荷之间的相互作用是靠一种特殊形态的物质 电场来传递的 而且 电场的存在和它的物质性已为实验所证实 1 电场 静电场 静止电荷产生的电场 electrostaticfield 实际上 不仅电荷可以激发电场 变化的磁场也可以激发电场 非静电场 场的性质有所不同 电场对电荷的作用力统称为电场力 库仑力 静电场力 1 3电场和电场强度 无论是哪一种电场 都具有一个共同的特性 即对电荷施加作用力 利用此特性可以引入一个定量描述电场的物理量 2 电场强度 实验表明 在空间确定点 F q0 即F q0与q0大小无关 的方向也与q0无关 q0符号不变 源 点 场点 因此 完全决定于电场本身的特性 于是定义 电场强度 单位正检验电荷在电场中所受的力 即 1 3电场和电场强度 电场强度 单位正检验电荷在电场中所受的力 说明 电场强度 场强 是矢量 方向为正电荷的受力方向 电场力也是空间的函数 场强是空间的矢量函数 即同一q0在不同的场点受力的大小和方向不同 对静电场 产生场的源电荷通常也有空间分布 场强的定义不仅适用于静电场 对任何电场普遍适用 1 4静止点电荷的电场及其叠加 ElectricFieldofaRestPointChargeanditsSuperposition 1 4静止点电荷的电场及其叠加 1 静止点电荷的电场 由场强的定义 得 场源为点电荷q 位于原点O 任意场点P的位矢为 则q在P点产生的场强为 由Coulomb定律 P点的检验电荷q0受力为 点电荷的场强具有球对称性 相同半径球面上的场强大小相等 场强的方向沿半径 或背离球心 或指向球心 1 4静止点电荷的电场及其叠加 2 场强叠加原理及其应用 电场中某点的总场强等于各点电荷单独存在时对该点产生的场强的矢量和 库仑力的叠加原理 如果场源为多个点电荷q1 q2 qn构成的点电荷系 应用静电力的叠加原理 可以导出场强叠加原理 应用场强叠加原理 原则上可以求解任意带电体所产生的场强 1 4静止点电荷的电场及其叠加 对连续分布的带电体 可将其分割成许多可近似当作点电荷的小块 各块电量分别为Dq1 Dq2 Dqn 则 连续分布电荷的电场 库仑定律 电场叠加原理 完备描述静电场 例 求电偶极子中垂线上任何一点的场强 电偶极子 Electricdipole 靠得很近的等量异号点电荷对 电偶极矩 Dipolemoment 例1 求电偶极子中垂线上任何一点的场强 矢量 解 正 负电荷单独在P点产生的场强分别为 由对称性可知 利用l r 并考虑场强的方向 得 类似地 可计算电偶极子延长线上的场强 例2 求电偶极子在均匀电场中所受的力矩 解 正 负电荷受力分别为 和等值反向 形成力偶 计算对O点的力矩 考虑方向 有 大小为 q 和两矢量正向的夹角 注 一般l很小 在以它为线度区域里 电场可以看作是均匀的 计算关于任意一点O的力矩 例3 一根均匀带电的直线 横截面尺寸比长度小得多的带电直棒 线电荷密度为l 求线外任一点P的场强 P点位置如图所示 解 考虑位于y处长度为dy的一段电荷dq ldy对P点场强的贡献 于是 注意到y r q三者只有一个是独立的 且有 讨论 P在中垂线上 q2 p q1 带电直线无限长 q2 p q1 且q1 0 带电直线为半无限长 q1 p 2 q2 p P在中垂线上 且带电直线长度L x 点电荷 例4 一均匀带电细圆环 半径为R 所带电量为q 求轴线上任一点的场强 解 考虑圆环上长度为dl的一段电荷dq ldl对P点场强的贡献 由于P是轴线上的点 环上任何一段dl的电荷对场强贡献大小相等 且都与x轴有相同的夹角a 故有 讨论 当R x时 有 即为点电荷 例5 一均匀带电薄圆盘 半径为R 面电荷密度为s 求轴线上任一点的场强 解 考虑与圆盘同心圆的 半径为r r dr的圆环带 它的电荷dq s2prdr对P点场强的贡献 当x R时 有 即为点电荷 讨论 当x R时 有 即为无限大均匀带电平面 1 5电场线和电通量 ElectricFieldLinesandElectricFlux 1 5电场线和电通量 1 电场线 为了形象地描述电场在空间的分布 引入电场线 按照下列规定绘出一系列假想的有向曲线 1 5电场线和电通量 总是起始于正电荷 终止于负电荷 不可能在无电荷处发出或消失 用Gauss定理证明 电场线的性质 不可能相交 也不可能相切 静电场的电场线不可能闭合 用环路定理证明 举例 孤立正点电荷等量异号电荷 证 若相交 交点处的方向不确定 若相切 切点处为无限大 一对等量正点电荷 一对异号不等量点电荷 平板电容器 站在雷雨中的高地 1 5电场线和电通量 在物理中dFe具有深刻的意义 它就是下面要定义的电通量 即 通过任意截面的电场线数与该截面的电通量成正比 2 电通量 通过单位垂直截面的电场线数对应场强大小 那么 通过任意截面的电场线数对应什么 考察电场中的任意一个面元 其法线方向为 引入面元矢量 通过的电场强度通量 电通量 为 即 1 5电场线和电通量 1 通过任意有限曲面S的电通量为 2 对于闭合曲面 通常约定面元的法线方向由里向外 这个电通量正比于穿过该面的电场线数 如果电场线从面内穿出 穿出位置处面元的电通量为正 如果从面外穿入 则为负 通过闭合面的总电通量正比于净穿出的电场线数 例1 计算一个电量为q的点电荷产生的电场 通过以它为中心 半径为r的球面S的电通量 解 结果与球面半径r无关 例2 计算一个电偶极子所产生的电场 通过以它为中心 半径为r的球面S的电通量 已知电偶极子的场强分布为 球坐标表示 解 球面上每一点有 1 6Gauss定理 GaussTheorem 1 6Gauss定理 Gauss定理给出了场强对任意闭合面的通量与该闭合面内部电荷的关系 它是静电场性质的一种体现 Gauss定理 在真空中的静电场里 通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合面所包围电荷电量的代数和的1 e0倍 其中S为任意闭合曲面 高斯面 1 E是曲面上的某点处的场强 是由全部电荷 面S内 外 共同产生的 注意 2 只有闭合曲面内部的电荷 才对总通量有贡献 定理的证明 1 通过包围点电荷q的同心球面的电通量为q 0 2 通过包围点电荷q的任意闭合曲面的电通量为q 0 立体角的概念 1 6Gauss定理 从电荷所在位置向闭合面S引切线 所有的切点把闭合面分为S1的S2两部分 3 任意闭合曲面外的点电荷通过该曲面的电通量为零 选取S1上任一面元 总可以在S2上找到一个对应的面元 每一对面元的通量相加等于零 故总电通量为 1 6Gauss定理 利用场强叠加原理 故 4 多个点电荷的电通量等于它们单独存在时电通量的和 场叠加原理 q1 q2 qn qn 1 qn 2 qN 1 6Gauss定理 Gauss定理是普遍规律 不仅仅适用于静电场 而且是电场的重要的性质之一 也说明静电场是有源场 说明 定理中的场强是面内 外所有电荷产生的总场 但通过闭合面的电通量只决定于面内所包围的电荷 或者说仅面内电荷的场对面的通量有贡献 积分时场强取面上的值 高斯面是数学曲面 电荷或在面内 或在面外 不可能位于其上 电场线的性质 起始于正电荷 终止于负电荷 不可能在无电荷出发出或消失 可以用Gauss定理证明 做一个足够小的 包围电场线端点的高斯面 因有电场线穿出 入 该面 则由G定理 面内必包有正 负 电荷 1 7利用Gauss定理求静电场分布 SolutiontoDistributionofanElectrostaticFieldbyGaussTheorem 1 7利用Gauss定理求静电场分布 一般地 已知电荷分布用Coulomb定律可求场分布 已知场分布用Gauss定理可求电荷分布 当电荷分布有特殊对称性时 也可以用Gauss定理求场分布 只有以下三种对称性存在时 才能求解电场 电荷分布为球对称 r r r 场强沿径向且E E r 电荷分布为轴对称 r r r 场强沿垂直