北师大版九年级数学-第二章-一元二次方程知识点.doc

杨老师班一元二次方程单元学习密卷（共6页）知识点一：认识一元一次方程（一）一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元）并且未知数的次数是2（二次）的整式方程，这样的方程叫一元二次方程。（注意：一元二次方程必须满足以下三个条件：是整式方程；一元；二次）（二） 一元二次方程的一般形式：把（a、b、c为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式。其中a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。【例题】1、一元二次方程3x 25x1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。2、一元二次方程（x+1）(3x2)=10的一般形式是 。3、当m= 时，关于x的方程是一元二次方程。4、下列方程中不一定是一元二次方程的是( )A.(a-3)x2=8 (a3) B.ax2+bx+c=0 C.(x+3)(x-2)=x+5 D.知识点二：求解一元一次方程（一）一元二次方程的根定义：使得方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。【例题】例1、关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）A、 B、 C、或 D、（二）解一元二次方程的方法：1.配方法 配方法解一元二次方程的基本步骤：把方程化成一元二次方程的一般形式；将二次项系数化成1；把常数项移到方程的右边；两边加上一次项系数的一半的平方；把方程转化成的形式；两边开方求其根。【例题】例2 一元二次方程x2-8x-1=0配方后可变形为（）A（x+4）2=17B（x+4）2=15C（x-4）2=17D（x-4）2=15例3 用配方法解一元二次方程x2-6x-4=0，下列变形正确的是（）A（x-6）2=-4+36B（x-6）2=4+36C（x-3）2=-4+9D（x-3）2=4+9例4 x2-6x-4=0； x2-4x=1； x2-2x-2=0 2.公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）【例题】例5若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（）Aa1Ba4Ca1Da1例6 已知一元二次方程2x2-5x+3=0，则该方程根的情况是（）A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C两个根都是自然数D无实数根例7 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根3.分解因式法 把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）【例题】例8 一元二次方程x2-2x=0的解是（）A0B2C0，-2D0，2例9 方程3（x-5）2=2（x-5）的根是 例10 x2-3x+2=0； x2+2x=3； （x-1）2+2x（x-1）=0 知识点三：一元二次方程的根与系数的关系1.根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为x1、x2，则有：.2.一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2） 不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值。（3） 对比记忆以下公式： 其他能用或表达的代数式。（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程 的根【例题】例11 已知关于x的方程x2+2x+a-2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根例12 已知关于x的一元二次方程x2-4x+m=0（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值知识点四：应用一元一次方程在利用方程来解应用题时，主要分为两步：设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。【例题】例13 某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）Ax（x-11）=180B2x+2（x-11）=180Cx（x+11）=180D2x+2（x+11）=180例14 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？经典习题练题平台：（请认真审题，我一定行！）1、 填空题：1. 已知两个数的差等于4，积等于45。则这两个数为 和 。2. 当m 时，方程（m2-1）x2-mx+5=0不是一元二次方程。当当m 时，上述方程是一元二次方程。3. 用配方法解方程x2-4x-6=0，则x2-4x+ =6+ 。所以x1= ，x2= 。4. 如果x2-2（m+1）x+4是一个完全平方式，则m= 。5. 当 0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为 。6. 如果x1、x2是方程2x2-3x-6=0.那么x1+x2= ，x1x2= 。7. 若方程x2-3x+m=0有两个相等的实数根。则m= ，两根分别为 。8. 若方程kx2-9x+8=0的一个根为1，则k= ，另一个根为 。9. 以-3和7为根且二次项系数为1的一元二次方程是 。10. 关于x的一元二次方程mx2+x+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于 。 二、选择题： 1.下列方程中，一元二次方程是（ ） （A）. （B） ax2+bx （C）（x-1）（x+3）=1 （D）3x2-2xy-5y2=0 2. 方程（2x+3）（x-1）=1的解的情况是（ ）（A） 有两个不相等实数根 （B）没有实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有一个实数根 3.如果一元二次方程x2+（m+1）x+m=0的两个根是互为相反数，那么有（ ） （A）m=0 (B) m=-1 (C ) m=1 (D)以上结论都不对 4.已知x1，x2是方程x2=2x+1的两个根，则 的值为（ ） （A） （B）2 （C）-2 （D） 5.不解方程2x2+3x-1=0的两根的符号为（ ） （A） 同号 （B） 异号 （C）两根都为正 （D）不能确定 6.已知一元二次方程mx2+n=0 （m0），若方程有解，则必须（ ） （A）n=0 （B）mn同号 （C）n是m的整数倍 （D）mn异号 7.若a为方程x2+x-5=0的解，则a2+a+1的值为（ ） （A）12 （B） 6 （C）9 （D）16 8.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相等，则平均每月增长率为（ ）（A）10% （B）15% （C）20% （D）25%解 三、解下列方程 1. x2-5x+1=0 (用配方法解) 2. 3（x-2）2=x（x-2）3. 2x2-x-5=0 4. （y+2）2 = （3y-1）24、 当m为何值时，一元二次方程x2+（2m-3）x+（m2-3）=0有两个不相等的实数根？5、 不解方程，求作一个新的一元二次方程，使它的两个根分别是方程x2-7x=2的两根的 2倍。6、 已知方程x2+2（k-2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21， 求k的值。 七、解答题 1. 将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品