洛比达法则.doc

洛必达法则教学目的：使学生能够用洛必达法则求不定式极限。教学重点：用洛必达法则求不定式极限。教学过程未定形：如下的函数极限都是未定形。 1、型： 如：型：2、型： 如：3、型： 如：4、型： 如：5、 型： 如：6、 型： 如：7、 型： 如：它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义。 1“”型不定式定理 （洛必达法则）设函数、满足：（1）；（2）在内，都存在，且；（3）（）。则 。 证明: 因为极限与f(a) 及g(a) 无关, 所以可以假定f(a) = g(a) = 0, 于是由条件(1)、(2)知, f(x) 及g(x) 在点 a 的某一邻域内是连续的。设x是这邻域内的一点, 那么在以x 及a为端点的区间上, 柯西中值定理的条件均满足, 因此有(在x与a之间). 令xa, 并对上式两端求极限, 注意到xa 时a, 再根据条件(3)便得要证明的结论。说明 此定理中的换成其它六种趋向过程仍成立。此定理的证明，利用到上节我们学习的柯西中值定理，有兴趣读者可以试一下，在此略去。下面通过几个例子熟悉洛必达法则的应用。 例， (b 0). 例，. 例， . 例，. 2、求“ ”型未定式的极限. 定理（洛必达法则）设函数、满足：（1）；（2）在内，都存在，且； （3）（）。则 。说明 同样此定理中的换成其它六种趋向过程仍成立。 例，. 例，= (n为正整数, 0).3. 其它类型未定式0、-、00、1 、0都可以转化为或型未定式来计算.（1）“”型设，则就构成了“”型不定式，它可以作如下转化：=（型）；或=（型）。例，。谁放分子，谁放分母是有讲究的，例如 =,就不能得到任何结果。（2）“”型这种形式的不定型可以通过通分等手段转化为型或型。例，。（3）“”型它可以通过如下转化：。例，计算极限。解：因为，而 ，所以 。例，计算极限。解：因为，而，所以 。例，计算极限。解：。 （）注意：（1）洛必达法则只能适用于“”和“”型的不定式，其它的不定式须先化简变形成“”或“”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则。连续多次使用罗比达法则时，每次都要检查是否满足定理条件。只有待定型才能用洛必达法则，否定会引导到荒谬的结果例如 . （极限不存在且不是待定型） 事实上 1；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要。因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在。例15 求极限。解 它是一个型的不定式，运用洛必达法则，得，如此反复下去，并不能解得结果。改用其它方法，得。 洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但最好能与其它求极限的方法结合使用. 例如能化简时应尽可能先化简, 可以应用等价无穷小替代或重要极限时, 应尽可能应用, 这样可以使运算简捷. 例，.例，求 解法1 （罗比达法则，无穷小代换） （罗比达法则）故 解法2 （无穷小代换） （罗比达法则，无穷小代换） 故 最后, 我们指出, 本节定理给出的是求未定式的一种方法. 当定理条件满足时, 所求的极限当然存在（或为）, 但定理条件不满足时, 所求极限却不一定不存在. 例，求. 解: 因为极限不存在, 所以不能用洛必达法则. . 问题1 下面的解法错在哪里？因为，则 问题2 下面的解法错在哪里？因为，则例，且，。求。解：问题3 以下解法对否？ 求极限的方法小结:（1）单调有界序列必有极限; （2）用夹逼定理; （3）用极限运算法则 （4）用函数的连续性; （5）用两个重要极限; （6）无穷小乘有界函数仍是无穷小; （7） 等价无穷小替换 （8）用洛必达法则; 补充例题: 例，=ln a -ln b = ln. (a0, b0). 例，= =. 例，= =3. 例，xln=2a=2a . (a 0). 例，求解：设=A, 则 lnA=l