优化方案必修2第六章第四节万有引力理论的成就

第四节万有引力理论的成就 学习目标 1 了解万有引力定律在天文学上的重要应用 2 会用万有引力定律计算天体的质量和密度 3 了解发现海王星和冥王星的方法 重点难点 1 利用万有引力定律对天体进行有关计算 2 万有引力定律与牛顿第二定律综合解决圆周运动问题 易错问题 混淆轨道半径与星球半径 基础知识梳理 一 地球质量的计算1 若不考虑地球自转的影响 地面上质量为m的物体所受的重力近似等于地球对物体的 引力 2 公式 mg 由此式可得出地球的质量为 M 二 计算天体的质量1 将行星 或卫星 的运动近似看作 运动 行星 或卫星 的向心力由 提供 2 公式 F万 F向即由此式可得出太阳或行星的质量为 M 匀速圆周 万有引力 三 发现未知天体1 18世纪 人们观测到太阳系第七个行星 天王星的轨道和用万有引力定律计算出来的轨道有一些偏差 2 根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道 如 和 就是这样发现的 海王星 冥王星 3 海王星和冥王星的轨道与计算结果不完全符合 因此人们猜测在冥王星外侧还有未发现的大行星 注意 海王星和哈雷彗星的 按时回归 最终确立了万有引力定律的地位 核心要点突破 一 天体质量的估算 以地球质量的计算为例 1 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T 半径为r 2 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和运行的线速度v 则由 3 已知卫星的线速度v和运行周期T 则由 4 已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g 则由 特别提醒计算天体的质量的方法不仅适用于地球 也适用于其他任何星体 注意方法的拓展应用 明确计算出的是中心天体的质量 二 天体密度的估算1 密度公式只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度 2 计算天体密度的两种常用方法 1 由天体表面的重力加速度g和半径R求此天体的密度 2 若天体的某个卫星的轨道半径为r 周期为T 则由 特别提醒要注意R r的区分 R指中心天体的半径 r指行星或卫星的轨道半径 若绕近地轨道运行 则有R r 三 应用万有引力定律计算天体运动的几个有关问题1 解决天体问题的两条思路 1 万有引力提供向心力 2 重力近似等于万有引力 m在M的表面附近 不考虑自转影响 2 解决天体问题时应注意的问题 1 在用万有引力等于向心力列式求天体的质量时 只能测出中心天体的质量 而环绕天体的质量在方程式中被消掉了 2 应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件 如地球公转一周是365天 自转一周是24小时 其表面的重力加速度约为9 8m s2等 3 由可以得到 GM gR2 由于G和M 地球质量 这两个参数往往不易记住 而g和R容易记住 所以粗略计算时 一般都采用上述代换 这就避开了引力常量G值和地球的质量M值 方便多了 课堂互动讲练 为了研究太阳演化进程 需知道目前太阳的质量M 已知地球半径R 6 4 106m 地球质量m 6 1024kg 日地中心的距离r 1 5 1011m 地球表面处的重力加速度g 10m s2 1年约为3 2 107s 试估算目前太阳的质量M 保留一位有效数字 引力常量未知 解析 法一 设T为地球绕太阳运动的周期 则由万有引力定律和动力学知识得对地球表面物体m 有 两式联立 得代入数据得M 2 1030kg 法二 从和地球表面重力加速度 消除引力常量G有 代入数据得M 2 1030kg 答案 2 1030kg 点评 求天体质量的方法主要有两大类 一类是利用此天体的一个卫星 或行星 绕它做匀速圆周运动的有关规律来求 另一类是利用天体表面处的重力加速度来求 这两类方法本质上都是对万有引力定律的应用 1 2010年合肥高一检测 如果我们能测出月球表面的加速度g 月球的半径R和月球绕地球运转的周期T 就能根据万有引力定律 称量 月球的质量了 已知引力常量G 用M表示月球的质量 关于月球质量 下列各式正确的是 解析 选A 根据月球表面物体的重力和万有引力相等 可得月球质量所以A对 B错 由月球和地球间的万有引力提供月球绕地球运转的向心力即 其中r为地月距离 可求中心天体地球的质量所以C D均错 假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星 若它贴近天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1 已知引力常量为G 则该天体的密度是多少 若这颗卫星距该天体表面的高度为h 测得在该处做圆周运动的周期为T2 则该天体的密度又是多少 解析 设卫星的质量为m 天体的质量为M 卫星贴近表面运动时有根据数学知识可知星球的体积 故该星球密度卫星距天体表面距离为h时有 答案 点评 利用公式计算出天体的质量 再利用计算天体的密度 注意r指天体运动的轨道半径 而R指中心天体的半径 只有贴近中心天体运行时才有r R 2 2010年太原模拟考试 某星球可视为球体 其自转周期为T 在它的两极处用弹簧秤测得某物体重为P 在它的赤道上用弹簧秤测得同一物体重为0 9P 星球的平均密度是多少 解析 设被测物体的质量为m 星球的质量为M 半径为R 在两极处 物体的重力等于万有引力即 在赤道上因星球自转 物体随星球做匀速圆周运动 星球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力即 由 两式可得星球的质量根据密度定义式 可得星球的平均密度为 质量分别为m1和m2的两个星球 绕同一圆心做匀速圆周运动 它们之间的距离恒为l 不考虑其他星体的影响 两颗星的轨道半径和周期各是多少 思路点拨 本题的关键是弄清双星问题中两星做匀速圆周运动的向心力由彼此间的引力提供 即F向大小相等 且 相同 再由牛顿第二定律分别对两星列方程求解 解析 如图6 4 1所示 双星绕同一圆心O做匀速圆周运动 所需要的向心力由双星间彼此相互吸引的万有引力提供 故 图6 4 1 设m1的轨道半径为R1 m2的轨道半径为R2 R1 R2 l 由于它们之间的距离恒定 因此双星在空间的绕向一定相同 同时角速度和周期也都相同 由向心力公式可得 由 式可得 m1R1 m2R2 又 R1 R2 l将 2 T 代入 式可得 答案 见解析 点评 解决双星模型的问题时 要注意以下几点 1 两星之间的万有引力提供各自所需要的向心力 2 双星具有共同的角速度 3 双星始终与它们共同的圆心在同一条直线上 3 2010年高考重庆理综卷 月球与地球质量之比约为1 80 有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统 它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动 据此观点 可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为 A 1 6400B