动力学普遍定理的综合应用

动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法 但在求解比较复杂的动力学问题时 往往不可能仅用一个定理解决全部问题 需要综合应用几个定理来求解 动量定理和动量矩定理是矢量形式 应用时常取投影式 并只需考虑质点系所受的外力作用 质心运动定理常用于分析质点系受力与质心运动的关系 动能定理是标量形式 在许多实际问题中约束反力又不作功 因而应用动能定理分析系统的速度和加速度较为方便 动力学普遍定理的综合应用 一般性原则 1 求解速度 角速度问题往往首先考虑应用动能定理的积分形式 且尽可能以整个系统为研究对象 避免拆开系统 2 应用动能定理的积分形式 如果末位置的速度或角速度是任意位置的函数 则可求时间导数来得到加速度或角加速度 仅求加速度 角加速度 的问题 应用动能定理的微分形式也很方便 3 对于既要求运动又要求约束力的问题 因为应用动能定理不能求出无功约束力 此时往往先求运动 然后再应用质心运动定理或动量矩定理来求约束力 4 当系统由作平动 定轴转动 平面运动的刚体组合而成时 一种比较直观的求解办法就是将系统拆开成单个刚体 分别列出相应的动力学微分方程 然后联立求解 5 注意动量 动量矩守恒问题 特别是仅在某一方向上的守恒 P325页 11 11题 求角加速度 解 1 应用动能定理的积分形式 当为任意夹角时 由 式中 为变量 两边对时间求导数 当 0时 例1 图示机构中 已知 作纯滚动的匀质轮A质量为m1 半径为R 物B质量为m2 滑轮C 绳子的质量及轴承处的摩擦不计 与轮A相连绳段与水平面平行 试求 1 重物B下降为s时圆盘质心的速度和加速度 2 绳子的拉力和地面作用于轮A的摩擦力 解 应用动能定理的积分形式 设B下降为变量l 由 式中l为变量 当l s时 式中l为变量 两边对时间求导数 例2 图示机构中 已知 斜面光滑 滑块A和纯滚动圆盘B质量均为m 圆盘半径为R 弹簧弹性系数为k 滑块A沿斜面下滑 初始时弹簧为原长 求滑块A下滑s长时 1 滑块A的加速度 2 绳子的拉力 3 地面作用于圆盘B的摩擦力 A O C B k a 解 1 应用动能定理的积分形式 设弹簧伸长为任意长度l时 由 式中l为变量 两边对时间求导数 则 当l s时 2 求绳子的拉力 研究滑块A A a T 3 求地面的摩擦力F 研究圆盘B C B k T F 由质心运动定理 A O C B k a A a T C B k T F a 解二 应用平面运动微分方程 解三 应用动静法求解 例4 均质杆OA l可在水平面上绕O自由转动 并驱动杆前的小球C 杆与小球的质量相同 若初始时刻C靠近O 杆以某一角速度旋转 不计摩擦 试求C脱离A端时 其绝对速度与杆的夹角 O A C z 解 杆和小球所组成的系统在运动过程中对Oz轴的动量矩守恒 能量守恒 设初始时刻杆的角速度为 1 小球离开A端瞬间杆的角速度为 2 杆和小球的质量均为m 在初始时刻小球的速度为零 故 以小球为动点 杆为动系 则小球的绝对速度 v vr ve 速度合成图 离开A端时 如下图所