5第五章误差基本知识

第五章误差基本知识 5 1观测误差 5 2偶然误差的统计性质 5 3算术平均值 5 4观测值精度的衡量标准 5 5误差传播定律 5 6算术平均值的中误差 5 7权 5 1观测误差 观测误差 某未知量的真值与其观测值之差 一 产生观测误差的根源1 观测者误差 观测者的素质差异或感觉器官的鉴别能力的局限 例 估读误差2 仪器差 观测仪器存在结构缺陷和精度限制 例 水准仪的i角误差3 外界环境 气压 温度 湿度 风力 透明度和大气折光对仪器 视线产生影响 例 钢尺热胀冷缩因此 观测误差的产生是必然的 观测条件 观测者 仪器和外界环境等精度观测 指观测条件相同的各次观测 二 观测误差的分类 1 系统误差 在相同观测条件下作一系列的观测 若观测误差在大小 正负上表现出一致性 或按一定规律变化的误差2 偶然误差 在相同观测条件下作一系列第观测 若观测误差在大小 正负上表现出不一致性 即从单个误差上看 纯属偶然 没有规律性 但实际上服从一定的统计规律变化的误差3 粗差 测量中不小心出现的错误 例如 读错数 记错数 测错目标等为了提高观测成果的精度和可靠性 减弱偶然误差的影响 测量工作必须进行多余观测通过含有偶然误差的多余观测值 求出未知量的最或是值 并评定观测结果的精度 质量 是研究偶然误差的主要任务 5 2偶然误差的统计性质 取0 2 为一个误差区间 例 今测量了162个三角形的内角 现统计每个三角形的三个内角和与三角形的理论180 的差值 按 可计算出162个的 由题意可知 观测值为 真值为 偶然误差的统计规律性 从上表 可看出 1 绝对值有一定的限值 2 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 3 绝对值相等的正负误差出现的机会相等 4 算术平均值趋近于零 即 其横轴为误差区间的大小 纵轴为相对个数除以误差区间的大小 小方块的面积为误差出现的相对个数 注 中括号测量中用来表示求和 表述误差分布的情况 除了采用表格的形式外 还可以用图形和曲线来表示 5 3算术平均值 在相同观测条件下 对某量进行一系列的观测 设观测值为 根据这些观测值得算术平均值 定义式为 将上列等式两端相加 有 等式两端除以n 得 故 是X的最或是 然 值 5 4观测值精度的衡量标准 观测值的精度好坏 可以用一组误差接近于零的密集程度来表示 这可以用误差分布图来表示 也可用数字来表示 一 中误差1 观测值中误差的定义 在相同观测条件下 对某量进行了一系列的观测 其观测值为 相应的真误差为 则该组各个观测值得中误差m为 例1 在不同观测条件下的两组观测值 其真误差分别为 第一组 4 2 0 4 3 第二组 15 20 2 17 13 求它们相应的中误差m1 m2 解 利用定义式得m1 3 m2 15 精度是指在一定观测条件下对同一量进行多次观测得到的一组误差的密集和离散程度 求中误差时 应注意几点 1 各个观测值必须是等精度的 即 在相同观测条件下 如果观测值是不等精度的 则不能直接使用 5 4 式 2 观测值的真值必须可知 真误差才可求得 3 根号前的 号表示误差的偶然性质 所以不能省去 4 所谓 观测值 可以是直接观测值 也可以是由直接观测值推算出来的函数值 如一组观测值的平均值 在大多数测量中 未知量的真值是未知的 其观测结果一般采用算术平均值来表示 因此 对真值未知的未知量 其真误差是未知的 这时就不能直接用中误差的定义式来求定观测值的中误差 为此 必须找出未知量的算术平均值和其真值X的关系 定义观测值的改正数为 2 根据观测值改正数计算观测值的中误差 又 因此有 对上式两边分别自乘后相加 得 所以 又 有 最后得出 例2 根据观测值的改正数 求中误差 表5 2列出了5次距离丈量结果 试计算其算术平均值及观测值的中误差 求得观测值中误差 二 相对误差 有时用中误差来衡量精度还不能完全表达观测结果的好坏 例如 分别丈量了1000m 和80m的两段距离 观测值到中误差均为 2cm 若按中误差的定义 两者的精度相等 但这是不合理的 因为前者的距离为1000m 后者的距离是80m 为了比较两者的精度 这时须采用相对误差的概念 相对误差的形式为 式中M为整数 为观测量的最或是值 平差值 为相应的中误差 1000m 2cm 1 5000080m 2cm 1 4000 三 极限误差 5 5误差传播律 上节介绍了衡量多次直接观测值的精度问题 但在实际工作中 许多未知量经常不能直接测定 必须由直接观测值间接推算出来 例如 矩形的面积A 长 宽 直接观测量是长度和宽度 面积是根据长和宽计算出的 由于测量长和宽时有误差 因此 计算