5-曲线和曲面

1 第四章 Curve Surface曲线和曲面 曲线和曲面 概述Hermite曲线三次样条曲线Bezier曲线B样条曲线曲面 概述 曲线曲面的表示 常用曲线 曲面的表示方法 插值方法 Interpolations 逼近方法 Approximations 拟合方法光顺 拉格朗日插值曲线 拟合曲线 样条曲线 概述 曲线曲面的数学描述 参数方程 表达式 特点 可以快速计算x y z坐标 隐式方程 表达式 特点 可以清晰地表达几何关系 平面曲线 曲面空间曲线 曲面 概述 与坐标系无关具有更大的控制自由度避免斜率无穷大的情况自变量和因变量相分离规格化的参数变量 参数化曲线 曲面的优点 Hermite曲线 三次Hermite曲线 特点 三次样条拟合的曲线能精确地通过给定的离散点具有连续的二阶导数拟合光顺初始条件 起点 终点坐标及切线方向 Hermite曲线 Hermite曲线数学表达 曲线上的点 共有12个未知数 需12个方程求解 Hermite曲线 曲线起点 曲线终点 曲线起点切线方向 曲线终点切线方向 注意这里共有12个方程 Hermite曲线 Hermite曲线数学表达 P1 P4 R4 R1 虽然起点 终点以及切线的方向均相同 当时切线矢量的模不同 其相对应的曲线也不同 Hermite曲线 Hermite曲线的连接 R0 R2 R3 R4 第一段 起点终点 切矢切矢 第一段 第一段 起点终点 切矢切矢 第二段 起点终点 切矢切矢 第三段 起点终点 切矢切矢 第四段 起点终点 第二段 第三段 第四段 各曲线段首尾相连 所以曲线是连续的 而且在连接处的一阶导数相等 故曲线是光滑的 三次样条曲线 过指定点的连续样条曲线 初始条件 指定N 1个端点起点 终点切矢 分成N段 每段用Hermite曲线表示 每段Hermite曲线缺少一个切矢方向 补充条件 前一段曲线终点处的二阶导数等于后一段曲线起点处的二阶导数 三次样条曲线 切矢的求解 样条曲线参数方程 曲线光顺条件 根据 于是 令 得到 三次样条曲线 切矢的求解 曲线光顺条件 首末端点初始条件 根据这个条件可计算出个段曲线的另一个切矢 三次样条曲线 计算步骤 将给出的有序离散点坐标值编号给定边界端点条件 按衔接为连续条件求中间各点出的切矢根据各段端点坐标和切矢 列出各段内三次样条曲线的计算公式由参数变量求各小段内插值点的坐标 Bezier曲线 由法国雷诺汽车的车身设计师P Bezier提出的一种参数曲线表示法首次引入控制顶点概念通过调整控制顶点 可精确控制曲线的形状 Bezier曲线 N阶Bezier曲线表达式 N 1个控制顶点矢量 Bernstein基函数 其中 Bezier曲线 Bezier曲线的性质 端点特性 曲线通过给定型值点的首末端点曲线首末与特征多表形相切几何不变性对称性凸包性整体控制性Bezier曲线次数为控制顶点数减1若控制顶点较多 可由多段Bezier曲线表示 Bezier曲线 特征多边形 通过首末端点 始终与特征多边形相切 修改控制顶点可以改变曲线的形状 几何不变性 Bezier曲线 三次Bezier曲线 其中 基函数图形 Bezier曲线 用矩阵形式 可表达为 控制顶点 X Y分量 B样条曲线 Bezier曲线的缺陷 不能作局部修改 改变某一控制点 将改变整个曲线 灵活性差当n较大时 特征多边形的边数较多 则多边形对曲线的控制的能力减弱 几何不变性给定了控制多边形的顶点数n 1 则曲线的阶数为n 这是不大方便的 若要使用分段三次Bezier曲线 还需增加一些附加条件 使用起来不灵活 B样条曲线 B样条曲线 保持了Bezier曲线的直观性和凸包性等优点可进行局部控制曲线的次数与控制顶点数无关更好的逼近效果 改变控制顶点 B样条曲线 N次B样条曲线数学表达式 其中 三次B样条曲线 B样条曲线 用矩阵形式 可表达为 V0 V1 V2 V3 V4 V5 B样条曲线 B样条几何意义 P0在 P0P1P2的中线P1M1上距P1的三分之一处 该点切矢P 0 平行于 P0P1P2的底边P0P2 长度为其一半 该点二阶导数P 0 等于中线矢量P1M1的两倍 B样条曲线 B样条通过首末顶点的条件 重节点法 顶点共线法 B样条曲线 反求控制顶点 原因 B样条曲线由控制顶点定义通常用户需要曲线通过给定的型值点 反求控制顶点 由给定的型值点反求通过这些点曲线的控制顶点反求控制顶点的算法 B样条曲线 反求控制顶点的算法 设已知n个有序型值点 求控制多边形顶点 初始条件 由三次样条曲线方程可得 上式包含n个方程 但有n 2个未知量 B样条曲线 方法1 给出两端切矢条件 联立消去得 联立消去得 联立得 B样条曲线 方法2 自由端点条件 取代入 得 曲面 曲线 曲面 一个参数 两个参数 曲面 旋转曲面 曲面 扫描曲面 曲面 自由曲面 参数曲线Bezier曲面B样条曲面 曲面 Bezier曲面 曲面 B样条曲面 附加作业 画出经过下列端点的曲线 2 3 4 3 1 5 4 2 6 3 4 3 2 6 0 5 7 5 三次样条曲线三次Bezie