§2[1].4.2_抛物线的简单几何性质(1)

2 4 2抛物线的简单几何性质 1 一 定义 在平面内 与一个定点F和一条定直线l l不经过点F 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 一 温故知新 MF d 准线 焦点 d 二 抛物线的标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 1 p的几何意义 焦点到准线的距离 抛物线的特征 2 对称轴 由一次项的变量决定 3 开口方向 由一次项系数的正负决定 练习 1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 2 根据下列条件写出抛物线的标准方程 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 一 求抛物线的方程 坐标轴 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 2 若点M到点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离少1 求点M的轨迹方程 3 如图 一个动圆M与一个定圆C外切 且与定直线l相切 则圆心M的轨迹是什么 以点C为焦点的抛物线 4 一种卫星接收天线的轴截面如图所示 卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线 经反射聚集到焦点处 已知接收天线的口径 直径 为4 8m 深度为0 5m 试建立适当的坐标系 求抛物线的标准方程和焦点坐标 方程 y2 11 52x焦点 2 88 0 A 0 5 2 4 5 求准线平行于x轴 且截直线y x 1所得的弦长为的抛物线的标准方程 x2 5y或x2 y x O y y x 1 A B y2 2 x 1 由抛物线y2 2px p 0 所以抛物线的范围为 二 探索新知 如何研究抛物线y2 2px p 0 的几何性质 抛物线在y轴的右侧 当x的值增大时 y 也增大 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 即点 x y 也在抛物线上 故抛物线y2 2px p 0 关于x轴对称 则 y 2 2px 若点 x y 在抛物线上 即满足y2 2px 定义 抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点 y2 2px p 0 中 令y 0 则x 0 即 抛物线y2 2px p 0 的顶点 0 0 注 这与椭圆有四个顶点 双曲线有两个顶点不同 抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比 叫做抛物线的离心率 由定义知 抛物线y2 2px p 0 的离心率为e 1 下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质 二 归纳 抛物线的几何性质 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0y R x 0y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 思考 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 补充 1 通径 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 F P 通径的长度 2P P越大 开口越开阔 2 焦半径 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径 焦半径公式 标准方程中2p的几何意义 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图 因为抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 解 所以设方程为 因此所求抛物线标准方程为 例 已知抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 并且经过点M 求它的标准方程 一 求抛物线的方程 坐标轴 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 例3 抛物线上有一点M的横坐标为 它到焦点的距离为10 求此抛物线方程和点M的坐标 二 焦半径公式的应用 例3 已知抛物线 过焦点F的弦为AB 且 AB 8 求AB中点M的横坐标 3 过抛物线的焦点 作倾斜角为1的直线 则被抛物线截得的弦长为 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径长是 2 已知点A 2 3 与抛物线的焦点的距离是5 则P 4 y2 8x 三 直线与抛物线的方程 例3 斜率为1的直线经过抛物线的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 四 归纳总结 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它也可以无限延伸 但没有渐近线 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 抛物线的离心率是确定的 等于 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 抛物线的通径为2P 2p越大 抛物线的张口越大 1 范围 2 对称性 3 顶点 4 离心率 5 通径 再见 1 已知M为抛物线上一动点 F为抛物线的焦点 定点P 3 1 则的最小值为 A 3 B 4 C 5 D 6 B 例3 图中是抛物线形拱桥 当水面在l时 拱顶离水面2米 水面宽4米 水下降1米后 水面宽多少 o A 思考题 2 B A 2 2 x2 2y B 1 y y 0 5 B到水面的距离为1 5米 不能安全通过 y 3代入得 例题3 探照灯 汽车前灯的反光曲面 手电筒的反光镜面 太阳灶的镜面都是抛物镜面 抛物镜面 抛物线