2017届湖南省益阳市高三9月调研考试数学(理)试题

理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若为纯虚数，其中，则等于（ ）A B C1 D1或2.设，是两个集合，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分又不必要条件3.设，则，的大小关系是（ ）A B C D4.从一个边长为2的等边三角形的中心、各边中点及三个顶点这7个点中任取两个点，则这两点间的距离小于1的概率是（ ）A B C D5.在等差数列中，已知，则（ ）A12 B18 C24 D306.已知的二项展开式中含项的系数为，则的值是（ ）A B C D27.三角函数的振幅和最小正周期分别是（ ）A， B， C， D，8.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B2 C4 D69.给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的值与输出的值相等，则这样的值的个数是（ ）A5 B4 C3 D210.已知，分别是椭圆的左，右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点，若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（ ）A B C D11.设，其中、为实数，若，则的取值范围是（ ）A B.-6,1 C-1,6 D4,812.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ ）A BC D第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 若过点（0,2）的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是_.14.已知变量，满足约束条件，则的最大值是_.15.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是_.16.已知三棱锥的顶点都在球的球面上，是边长为2的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为_.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知是半径为2的圆的内接三角形，内角，的对边分别为、，且.（）求；（）若，求的面积.18. （本小题满分12分）某班50位学生在2016年中考中的数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：,.（）求图中的值；（）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，这2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在直二面角中，四边形是矩形，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，.（）证明：面；（）求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.（）求线段的中点的轨迹方程；（）求面积的最小值；（）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.21. （本小题满分12分）设函数.（）求的单调区间；（）求的零点个数；（）证明：曲线没有经过原点的切线.请考生在22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是半圆的直径，垂足为，与、分别交于点、.（）证明：；（）证明：.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）若点是曲线上一动点，求点到直线（为参数，）的最短距离.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（）当时，求不等式的解集；（）若时恒有，求的取值范围.益阳市2017届高三9月调研考试理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8 9. 10. 11. 12.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 14.9 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.解（）由正弦定理得：，由（）得.，.12分18.解：（）由，得.4分（）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分（含90分）以上的学生有3人，随机变量的可能取值有0,1,2；，.12分19.解：（）证明：由题意知：，.,.平面平面，平面平面，平面，平面.平面，.，平面.5分（）由（）知、两两互相垂直，以为原点，方向为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，.，.设是平面的法向量，则，取得平面的一个法向量，又平面的一个法向量，设二面角的平面角为，由题中条件可知，则，二面角的余弦值为.12分20.解：（）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为,.联立，得.设，则，.线段的中点的轨迹方程为：.4分（）由（）知：.同理，设，则.,，因此.当且仅当，即时，取到最小值4.8分（）当时，由（）知直线的斜率为：，所以直线的方程为: ,即，（*）当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.当时，直线的方程为：，也过点.所以直线恒过定点.12分21.解：（）的定义域为，.令，得.当，即时，在内单调递增.当，即时，由解得，且，在区间及内，在内，在区间及内单调递增，在内单调递减.3分（）由（）可知，当时，在内单调递增，最多只有一个零点.又，当且时，；当且时，故有且仅有一个零点.当时，在及内单调递增，在内单调递减，且，而，（），由此知，又当且时，故在内有且仅有一个零点.综上所述，当时，有且仅有一个零点.7分（）假设曲线在点处的切线经过原点，则有，即，化简得：.（*）记，则，令，解得.当时，当时，是的最小值，即当时，.由此说明方程（*）无解，曲线没有经过原点的切线.12分22.解：（1）连接，点是的中点，.是的直径， ，.5分（2）在与中，由（1）知，又，于是.在与中，由于，.10分