8 空间问题的解答my

第八章空间问题的解答 1 取u v w为基本未知函数 2 将应变用位移来表示 可以引用几何方程 将应力先用应变表示 应用物理方程 再代入几何方程 也用位移来表示 在直角坐标系中 按位移求解空间问题 与平面问题相似 即 8 1按位移求解空间问题 其中体积应变 将几何方程代入物理方程 得出用位移分量表示应力分量的弹性方程如下 其中拉普拉斯算子 3 将弹性方程 8 1 代入平衡微分方程 得按位移求解空间问题的基本微分方程 4 将式 8 1 代入应力边界条件 得用位移分量表示的应力边界条件 位移边界条件仍为 2 上的应力边界条件 3 上的位移边界条件 小结 按位移求解空间问题 位移u v w必须满足 这些条件也是校核位移是否正确的全部条件 1 V内的平衡微分方程 在空间问题中 按位移求解方法尤为重要 3 近似解法中 按位移法求解得到广泛的应用 2 未知函数及方程的数目少 而按应力求解时 没有普遍性的应力函数存在 1 能适用于各种边界条件 按位移求解空间轴对称问题 在柱坐标中 可以作相似的推导 将几何方程代入物理方程 得出弹性方程 将式 8 3 代入平衡微分方程 7 15 得到按位移求解空间轴对称问题时的基本微分方程 轴对称的拉普拉斯算子为 由于轴对称问题中的边界面多为坐标面 位移和应力边界条件都较简单 而应力边界条件同样可以通过式 8 3 用位移分量来表示 设有半空间体 受自重体力及边界的均布压力q 8 2半空间体受重力及均布压力 采用按位移求解 位移u v w应满足平衡微分方程及边界条件 考虑对称性 本题的任何x面和y面均为对称面 可设 1 将位移 a 代入平衡微分方程 前两式自然满足 第三式成为 积分两次 得 简化以后得到 根据边界条件确定常数A和B 将上面各式代入弹性方程 8 1 得 2 在z 0的负z面 应力边界条件为 可求出A q g 得应力解答为 由式 d 可得到铅直位移为 其中B为z向刚体平移 须由约束条件确定 若z h为刚性层 则由可以确定B 若为半无限大空间体 则没有约束条件可以确定B 将A和B代入式 g 得到 最大位移发生在边界上 侧面压力与铅直压力之比 称为侧压力系数 即 这个比值在土力学中称为侧压力系数 设有半空间体 在o点受有法向集中力F 本题为空间轴对称问题 应用柱坐标求解 位移而和应满足 8 3半空间体在边界上受法向集中力 1 平衡微分方程 其中 2 在z 0的边界上 除原点o以外的应力边界条件为 3 由于z 0边界上o点有集中力F的作用 取出z 0至z z的平板脱离体 应用圣维南原理 考虑此脱离体的平衡条件 由于轴对称 其余的5个平衡条件均自然满足 布辛奈斯克得出满足上述全部条件的解答为 其中 应力特征 3 水平截面上的全应力 都指向集中力F的作用点o 2 水平截面上的应力与弹性常数无关 1 当当即在离开集中力作用点非常远处 应力非常小 在靠近集中力作用点处 应力非常大 有了上述半空间体在边界上受法向集中力时的解答 就可以用叠加法求得由法向分布力引起的位移和应力 由上式可见 边界面上任一点的沉陷为 若单位力均匀分布在的矩形面积上 其沉陷解为 将F代之为 对积分 便得到书上公式 8 4按应力求解空间问题 按应力求解空间问题的方法 形变可以通过物理方程用应力表示 位移要通过对几何方程的积分 才能用形变或应力表示 其中会出现待定的积分函数 2 其他未知函数用应力表示 1 取 x yz 为基本未知函数 因此 位移边界条件等用应力表示时 既复杂又难以求解 所以按应力求解通常只解全部为应力边界条件的问题 3 在V内导出求应力的方程 从几何方程消去位移 导出六个相容方程 2 相容方程 六个 1 平衡微分方程 三个 8 10 8 11 将物理方程 7 12 代入相容方程 8 10 和 8 11 导出用应力表示的相容方程为 利用平衡微分方程 7 1 可以简化上列各式 得出米歇尔导出的相容方程 称为米歇尔相容方程 在体力为零或常量的情况下 方程 8 12 简化为贝尔特拉米导出的相容方程 称为贝尔特拉米相容方程 1 弹性体V内的三个平衡微分方程 其中 1 3 是静力平衡条件 2 4 是位移连续条件 按应力求解归纳为 应力分量应满足 4 对于多连体 还应满足位移单值条件 3 边界上的三个应力边界条件 假设全部为应力边界条件 2 V内的六个相容方程 由于位移边界条件难以用应力分量及其导数来表示 因此 位移边界和混合边界问题一般都不能按应力求解而得出精确的函数式解答 在按应力求解空间问题中 力学家提出了几种应力函数 用来表示应力并简化求解的方程 应用这些应力函数 也已求出了一些空间问题的解 但这些应力函数不具有普遍性 不是普遍存在的 材料力学解决了圆截面直杆的扭转问题 但对非圆截面杆的扭转问题却无法分析 对于任意截面杆的扭转 这本是一个较简单的空间问题 根据问题的特点 本章首先给出了求解扭转问题的应力函数所应满足的微分方程和边界条件 其次 为了求解相对复杂截面杆的扭转问题 介绍了薄膜比拟方法 1 28 第九章扭转 9 1等截面直杆的扭转 9 2椭圆截面杆的扭转 9 3薄膜比拟 9 4矩形截面杆的扭转 9 5开口薄壁杆件的扭转 扭转 2 8 5等截面直杆的扭转 一应力函数 设有等截面直杆 体力不计 在两端平面内受扭矩M作用 取杆的一端平面为xy面 如图 假设横截面上除了切应力 zx zy以外 其余的应力分量为零 将应力分量及体力fx fy fz 0代入平衡方程 得 根据前两方程可见 zx zy只是x和y的函数 与z无关 由第三式 注 空间问题平衡微分方程 根据微分方程理论 一定存在一个函数 x y 使得 函数 x y 称为扭转问题的应力函数 8 15 注 体力为零时 空间问题应力分量表示的相容方程 将应力分量代入不计体力的相容方程 可见 前三式及最后一式总能满足 其余二式要求 即 8 16 二边界条件 在杆的侧面上 将n 0 及面力分量为零代入边界条件 7 5 可见前两式总能满足 而第三式要求 注 空间问题应力边界条件 于是有 在杆的任一端 剪应力合成为扭矩 分步积分 并注意 在边界上为零 最后得到 8 18 三位移公式 根据应力 应变 位移的关系可以得到 积分后得到 其中K表示杆的单位长度内的扭转角 不计刚体位移 代入前面右边前两式 上两式可用来求出位移分量w 8 19 8 20 上两式分别对y和x求导 再相减 得 可见前面公式 8 16 中 的C 2GK 显然 为了求得扭转问题的解 只须寻出应力函数 使它满足方程 8 16 8 17 和 8 18 然后由 8 15 式求出应力分量 并可得出位移分量的值 8 7椭圆截面杆的扭转 椭圆的半轴分别为a和b 其边界方程为 应力函数在边界上应等于零 故取 代入 b a 回代入 b 式得 由 可得 于是得 最后得 f 最后得到解答 于是由 横截面上任意一点的合剪应力是 8 6扭转问题的薄膜比拟 由上节的例子可以看出 对于椭圆形这种简单等截面直杆 我们给出了横截面上剪应力的计算表达式 但却没有指出截面最大剪应力的位置及其方向 而对于矩形 薄壁杆件这些截面并不复杂的柱体 要求出其精确解都是相当困难的 更不用说较复杂截面的杆件了 为了解决较复杂截面杆件的扭转问题 特提出薄膜比拟法 该方法是建立在柱体扭转问题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜之间数学关系相似的基础上 设有一块均匀薄膜 张在与扭转杆件截面相同或成比例的边界上 当在侧面上受着微小的均匀压力时 在薄膜内部将产生均匀的张力 薄膜的各点将发生图示z方向微小的垂度 取薄膜的一个微小部分abcd图示 它在xy面上的投影是一个矩形 矩形的边长分别是dx和dy 设薄膜单位宽度上的拉力为FT 则由z方向的平衡条件得 简化后得 即 此外 薄膜在边界上的垂度显然等于零 即 而扭杆应力函数所满足的微分方程和边界条件为 可见 如果使薄膜的q FT相当于扭杆的2GK 则薄膜的垂度z就相当于扭杆的应力函数 设薄膜及其边界平面之间的体积为V 并注意到扭杆横截面上的扭矩是 则有 可见 为了使薄膜的垂度z相当于扭杆的应力函数 也可使薄膜与边界平面之间的体积的2倍相当于扭矩 在扭杆横截面上 切应力为 薄膜的斜率为 可见 扭杆横截面上沿x向的切应力相当于薄膜沿y向的斜率 可得出如下结论 1 扭杆的应力函数 等于薄膜的垂度z 2 扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间的体积的两倍 3 扭杆横截面上某一点处的 沿任意方向的切应力 就等于该薄膜在对应点处的 沿垂直方向的斜率 由此可见 椭圆截面扭杆横截面上的最大剪应力发生在短轴的两端点处 方向平行于长轴 z向的位移为可见横截面不保持为平面 只有当a b的圆截面时 w 0 横截面才保持为平面 薄膜比拟的应用 3 通过薄膜比拟 提出扭转应力函数的假设 2 通过薄膜比拟 直接求解薄壁杆件的扭转问题 1 通过薄膜比拟试验 求解扭转问题 8 8矩形截面杆的扭转 一狭长矩形截面杆的扭转 设矩形截面的边长为a和b 若a b 图示 则称为狭长矩形 由薄膜比拟可以推断 应力函数 在绝大部分横截面上几乎不随x变化 于是有 则 成为 应力分量为 由薄膜比拟可知 最大剪应力发生在矩形截面的长边上 方向平行于x轴 其大小为 代入微分方程 并使 满足边界条件 得到 将上式右边在y b 2 b 2 区间展为的级数 然后比较两边的系数 得 将Am代入 得确定的应力函数 由薄膜比拟可以推断 最大剪应力发生在矩形截面长边的中点 若a b 其中扭角K由 求得 8 9开口薄壁杆件的扭转 实际工程上经常遇到开口薄壁杆件 例如角钢 槽钢 工字钢等 这些薄壁件其横截面大都是由等宽的狭矩形组成 无论是直的还是曲的 根据薄膜比拟 只要狭矩形具有相同的长度和宽度 则两个扭杆的扭矩及其横截面剪应力没有多大差别 设ai及bi分别表示扭杆横截面的第i个狭矩形的长度和宽度 Mi表示该矩形截面上承受的扭矩 M表示整个横截面上的扭矩 i代表该矩形长边中点附近的剪应力 k代表扭杆的扭角 则由狭矩形的结果 得 由后一式得 而 故有 从而有 值得注意的是 由上述公式给出的狭矩形长边中点的剪应力已相当精确 然而 由于应力集中的存在 两个狭矩形的连接处 可能存在远大于此的局部剪应力 练习1有一根高为a的等边三角形截面扭杆 坐标如图所示 三角形三条边AB OA OB的方程分别为 试证应力函数 能满足一切条件 并求出最大剪应力及扭角 解 将代入相容方程 得 即 o x y B A a 故 扭杆无孔洞 显然满足侧面边界条件 由杆端部边界条件 得 从而得 剪应力 对于等边三角形 由薄膜比拟法知 最大剪应力发生在 处 即 单位长度上的扭角 解 引用 弹性力学简明教程学习指导 8 2中关于空间位移势函数的解法 应满足泊松方程 例题1试证明位移势函数能解任意弹性体受均布压力q的问题 及边界条件 取满足泊松方程 由式 8 8 从求出应力分量 在边界面上 设法线的方向余弦为l m n 则面力分量是将应力代入三个边界条件 并求出 由此 得解答对于多连体 还应从应力求出位移 并校核多连体中的位移单值条件是否满足 显然 位移单值条件是满足的 设有无限大弹性体 空间体 在体内一小洞中受有集中力F的作用 如图 a 试用拉甫位移函数求解应力分量 其中 例题2 及边界条件 将 代入方程 显然是满足的 再将 代入应力公式 8 16 求出应力分量 解 引用 弹性力学简明教程学习指导 8 3中关于拉甫位移函数 的解法 应满足重调和方程 为了校核小洞中受集中力的边界条件 在点o附近切出一薄板 图 b 应用圣维南原理来考虑此薄板的平衡条件 由于应力分量都是轴对称的 且对于z 0的面又是反对称的 只须考虑下列平衡条件 而 从而得出各应力分量为 代入后得 其中而均为调和函数 满足 例题3用代入法证明 下列的位移表达式是无体力时平衡微分方程的解答 由于都是调和函数 代入无体力的平衡方程均能满足 H Neuber等曾用这一形式的解答求出一批回转体的解 解 当无体力时 平衡微分方程是 其中体积应变 例题4平面应力解答的近似性 试从空间问题按应力求解的方法 来导出和考察平面应变问题和平面应力问题的基本理论 解 1 对于平面应变问题 在常截面的很长柱体 可以假设为无限长 只有x y方向的体力 面力和约束且沿z方向不变的条件下 由于任一横截面 z面 均为对称面 可以推论出 从式可以得出 在式中 表示等式左边的物理量仅为x y的函数 将式代入空间问题的平衡微分方程 相容方程 应力和位移边界条件 可以得出平面应变问题的全部方程和条件 而其余的方程和条件均为自然满足 例如 将式代入空间问题的相容方程 书中式 8 10 8 11 得出 而其余五式全部自然满足 因此 从空间问题的基本理论 可以导出平面应变问题的理论 2 对于平面应力问题 在很薄的板 只受x y方向的体力 面力和约束 且不沿板厚方向 z向 变化 又在板面上无任何面力的条件下 由板面的边界条件 假设在弹性体内因此 只有平面应力和 并进一步假设这就是平面应力问题 由上两式 还可得出 将式代入空间问题的相容方程 书中式 除了得出式外 还得出 在一般的情况下 由式得出的显然不能满足相容方程 由此可见 平面应力问题的假设不能保证所有的相容条件都得到满足 因此 平面应力问题的理论是近似性的 但是Clebsch A 证明 在条件下从空间问题理论得出满足所有相容方程的精确解答 是一般平面应力问题 假设的解答 再补充一个沿板厚抛物线变化的修正解 与成正比 对于充分薄的板 因此 平面应力问题的解答 显然不能满足所有的相容条件 但对薄板却仍是一个很好的近似解 读者可参阅 8 4的详细证明 修正解远小于第一部分平面应力问题的解 且只影响边界附近的局部区域 8 2提示 同上题 应力应满足平衡微分方程 相容方程及应力边界条件 设若为多连体 还应满足位移单值条件 8 1提示 应力应满足平衡微分方程 相容方程及应力边界条件 设 柱体的侧面 在 x y 平面上应考虑为任意形状的边界 n 0 l m为任意的 并应用一般的应力边界条件 第八章习题的提示和答案 由于空间体为任意形状 因此 应考虑一般的应力边界条件 7 5 法线的方向余弦为l m n 边界面为任意斜面 受到法向压力q作用 为了考虑多连体中的位移单值条件 应由应力求出对应的位移 然后再检查是否满足单值条件 8 3见 8 2的讨论 8 4从书中式 8 2 和 8 12 可以导出 由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性 8 5为了求o点以下h处的位移 取出书中式 8 6 的 并作如下代换Z h R 2 a2 F dF q2 dp 然后从o a对积分 8 6引用布西内斯克解答 在z 0的表面上的沉陷是 1 求矩形中心点的沉陷 采用图8 9 a 的坐标系 代入并积分 再应用部分积分得到 a 2 a 2 b 2 b 2 o dx dy x y y x b a dy dx a b 2 求矩形角点处的沉陷 采用图8 9 b 的坐标系 8 8题中能满足两个圆弧处的边界条件 然后 相似于上题进行求式解 的两倍 8 7题中已满足边界条件再由便可求出切应力及扭角等 8 9分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答 和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答 并由 得出代入后进行比较即可得出 8 10参见 8 8的讨论 一 本章的学习重点及要求1 本章介绍空间问题的位移法和应力法 其思路和步骤与平面问题相似 读者可对照平面问题来学习和理解 2 空间问题的位移法比应力法尤为重要 一是因为位移法可以适用于各种边界条件的问题 二是位移法的未知函数数目比应力法少 而在空间问题中 又没有如 第八章教学参考资料 平面问题那样 有普遍性的应力函数存在 在近似解法中 位移法得到广泛的应用 3 为了便于空间问题的求解 力学家和数学家提出了一些应力函数 位移势函数和位移函数等来表示应力或位移 使相应的微分方程得到简化 并从而得出了一些解答 但读者应注意 这些函数都是人为假定的和有局限性的 并不能作为空间问题的一般解 因为并不能保证这些函数在任何情况下都存在 4 扭转问题是空间问题中的一个专门问题 扭转问题的理论 是从空间问题的基本方程出发 考虑扭转问题的特性而建立起来的 扭转问题的应力函数 x y 是x y坐标变量的函数 所以仍然是二维问题 二 本章的内容提要1 在直角坐标系 x y z 中 按位移求解一般的空间问题时 取u v w为基本未知函数 它们应满足 1 用位移表示的平衡微分方程 2 用位移表示的应力边界条件 其中 2 在柱坐标系中 按位移求解空间轴对称问题时 取为基本未知函数 它们仅为的函数 应满足 1 用位移表示的平衡微分方程 3 位移边界条件 3 在直角坐标系中 按应力求解一般的空间问题时 取为基本未知函数 它们应满足 1 区域v内的平衡微分方程 2 用位移表示的应力边界条件 3 位移边界条件 3 在边界上的应力边界条件 假设全部为应力边界条件 其中 2 区域V内的相容方程 4 若为多连体 还应满足位移单值条件 4 对于常截面杆的扭转问题 可归结为求解一个扭转应力函数它应满 1 截面区域A内的泊松方程 式中K为单位长度柱体的扭角 切应力公式是 2 边界条件 以下 三 七 均参见 弹性力学简明教程学习指导 三 空间问题的位移势函数和位移函数按位移求解空间问题 也可以引用位移势函数和位移函数 以简化求解的方法 读者同样应注意 这些人为假定的位移势函数或位移函数 不具有普遍性 只能用来解决某些问题 但作为解决问题的思路和方法 是值得我们参考和借鉴的 1 用位移势函数求解空间问题假设位移u v w是有势的函数 它们可以 式 a 可以归并为 将上式代入用位移表示的平衡微分方程 8 2 若不计体力 则得 分别用位移势函数 x y z 的导数来表示 即 求解的方法是 1 由求出势函数 2 由求位移 式 8 6 及应力 式 8 8 将式 8 6 代入应力公式 8 1 则应力也可以用位移势函数表示为 其中C为任意常数 若取C 0 则上式成为拉普拉斯方程 为调和函数 即 3 使位移和应力满足和上的边界条件 位移势函数的局限性是 是人为假定的 且体积应变因此 它只适用于弹性体内各点均无体积应变的情形 如纯剪切问题 2 用伽辽金位移函数求解空间问题伽辽金假定位移可以表示为如下形式 其中 均为x y z函数 由于 x y z 具有对等性 上式也用对等的公式表示 将位移表达式 8 9 代入用位移表示的平衡微分方程 8 2 若不计体力 则得 式 8 10 是 应满足的方程 可见它们都是重调和函数 应力也可以用位移函数来表示 于是 求解空间问题的位移u v w就化为求解 函数的问题 它们都应满足重调和方程 8 10 并在边界上满足相应的边界条件 引用这种位移函数 其未知函 数的数目并没有减少 但使它们应满足的方程简化了 力学家曾应用上述位移势函数和位移函数解出一些空间问题的解答 有时还采用二者组合的方式来解 代入用位移表示的空间轴对称问题的平衡微分方程 书中式 a 若不计体力 得 四 空间轴对称问题的位移势函数和位移函数1 对于空间轴对称问题 当不计体力时 位移分量可以用位移势能数 z 表示为 相应于式 8 11 的应力分量为 这两式可归结为 2 C 若取C 0 则位移势函数应满足拉普拉斯方程 2 引用拉甫位移函数求解空间轴对称问题拉甫引用位移函数 z 来表示位移分量 于是 按位移势函数 求解时 应满足拉普拉斯方程 8 12 并在边界上满足位移或应力的边界条件 采用位移势函数的局限性 如同平面问题中的位移势函数一样 仍然是体积应变为零 即 代入用位移表示