《金榜1号》二轮总复习文科数学：专题一第3讲 函数与方程及函数实际应用

专题一集合 常用逻辑用语 函数与导数 第三讲函数与方程及函数的实际应用 考点整合 函数零点的确定与应用问题 考纲点击 1 结合二次函数的图象 了解函数的零点与方程根的联系 2 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 基础梳理 一 函数的零点与方程的根1 函数的零点 1 定义 对于函数y f x 方程 的实根叫做函数的零点 函数的零点是一个 而不是一个点 2 性质 对于任意函数 只要它的图象是连接不断的 其函数的零点具有下列性质 当它通过零点 不是偶次零点 时函数值变号 相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 2 函数的零点与方程的根的关系函数F x f x g x 的零点就是方程f x g x 的 即函数y f x 的图象与函数y g x 的图象 3 函数有零点的判定如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有 那么函数y f x 在区间 内有零点 即存在c a b 使得 这个c也就是方程f x 0的根 答案 1 1 f x 0实数2 实根交点的横坐标3 f a f b 0 a b f c 0 整合训练 1 2009年佛山模拟 函数y x2 6x 5的零点为 A 1或5B 1或5C 1或 5D 1或 5 答案 A 考纲点击 用二分法求函数零点的近似值问题 根据具体函数的图象 能够用二分法求相应方程的近似解 基础梳理 二 二分法1 二分法定义对于在区间 a b 上连接不断 且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点 进而得到零点的 的方法 叫做二分法 2 用二分法求函数零点的近似值的步骤 1 确定区间 a b 验证f a f b 0 给定精确度 2 求 x1 3 计算f x1 当f x1 0 则x1就是函数的零点 若 则令b x1 此时零点x0 a x1 若 则令a x1 此时零点x0 x1 b 4 判断是否达到其精确度 即 a b 则得零点近似值a 或b 否则重复以上步骤 答案 1 一分为二逐渐逼近零点近似值2 2 区间 a b 的中点 3 f a f x1 0 f x1 f b 0 整合训练 2 1 2009年广州模拟 函数y lnx 2x 6的零点 必定位于如下哪一个区间 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 4 5 2 2010年天津卷 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 答案 1 B 2 C 考纲点击 函数的实际应用问题 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 基础梳理 三 三种增长型函数模型的关系1 三种增长型函数模型的性质 2 三种增长型函数模型的增长速度比较y ax a 1 y logax a 1 与y xn n 0 尽管都是增函数 但由于它们增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 因此在 0 上随x的增大 总会存在一个x0 当x x0 有 四 建立函数模型解函数应用题的过程 答案 1 增函数增函数增函数y轴x轴2 ax xn logax 整合训练 3 2010年浙江卷 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元 预测六月份销售额为500万元 七月份销售额比六月份递增x 八月份销售额比七月份递增x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达7000万元 则 x的最小值 答案 20 高分突破 函数零点的确定与应用问题 设函数y x3与的图象的交点为 x0 y0 则x0所在的区间是 A 0 1 B 1 2 C 2 3 D 3 4 思路点拨 本题可以在同一坐标系中分别画出y x3与的图象进行观察 亦可以转化为函数f x x3 的零点x0存在区间的判断 跟踪训练 则函数h x f x g x 的零点个数是 A 4B 3C 2D 1 答案 B 用二分法求函数零点的近似值问题 借助计算器或计算机用二分法求方程lnx x 3 0在 2 3 内的根 精确到0 1 思路点拨 本题可以利用二分法求函数零点的步骤 然后确定函数的零点 解析 令f x lnx x 3 即求函数f x 0在 2 3 内的零点 f 2 ln2 1 0 f 3 ln3 0 f x 在 2 3 上存在零点 可取 2 3 作为初始区间 用二分法列表如下 2 1875 2 2 2 21875 2 2 所求方程的根为2 2 精确到0 1 跟踪训练 2 若将例2中精确到0 1改为精确度为0 1 那又如何求解呢 解析 由例2解析中的表知 2 25 2 1875 0 0625 0 1 函数在 2 3 上的零点是2 1875 函数的实际应用问题 2009年湖南卷 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 跟踪训练 描述学习某学科知识的掌握程度 其中x表示某学科知识的学习次数 x N f x 表示对该学科知识的掌握程度 正实数a与学科知识有关 1 证明