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关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想唐跃志研究领域：统计学，数量经济学，微观经济学；：(027)62589359；E-mail：tangyz_；联系地址：武汉市华中科技大学经济学院；邮政编码：430074。华中科技大学经济学院，武汉，430074 摘要：本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间里考察，则“投票悖论”可以解决。本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这种可能性。以及如何利用模型，求“Edgeworth 盒”的契约曲线及无差异函数。关键词：效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型引言1951年，阿罗(Arrow,K.J)发表并证明了著名的“不可能性定理”。阿罗用公理化方法和5个著名的公理证明了，经济学上的效用函数(utility function)是不存在的。这个定理给从那以后的经济学，带来了极大的困难 甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观调控。再如在政治上搞“两党制”。许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功 Debreu等人证明了：定义在商品空间Rl 的非负卦限Rl+上的偏好关系，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调性，则存在表达这个偏好关系的效用函数u: Rl Rl+。Debreu本人也因此获得诺贝尔经济学奖。但是传递性会导致“投票悖论”；所以，我们认为：Debreu等人的结论，还不能从根本上否定“Arrow不可能定理”。我们总结了前人的经验。并注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：第一，是因为公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。第二，是因为 “投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。而“投票悖论”又与阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在 由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论证效用函数的存在性。如Sen(1977,1979,1986,1992,1996)，Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的“不可能性”问题。“投票悖论”公理化方法“传递性公理”“A优于B,B优于C,那么A必定优于C”效用函数不存在!图01 “Arrow不可能定理”的内在逻辑关系由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。但“投票悖论”是怎样产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A优于B,B优于C,那么一定A优于C”。因此， “传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“AB,BC,那么一定AC” 等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形的呢？或者说，选择的公理是否就是要求，“如果A优于B,B优于C，就一定必须有A优于C!”？如果换成非欧几何， “阿罗定理”在非欧条件“AB,BC,不一定AC”下还会成立吗？！基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，但在非欧条件却可能不成立！而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒了，“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理！而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧条件下得到印证。本文的第一部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，是本文研究的一个延伸，即如何求“Edgeworth盒”上的契约曲线及无差异函数。 1，公理化方法与几何公理1.1，公理化方法所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出所需的命题（定理）来。这里的“推导”是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理体系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。因此，“猜想”的正确与否，与公理的构成有很大关系。同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不同。数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。数的公理，有Peano数公理、代数公理；形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛卡尔(R.Descartes)的思想，都可化为数的公理和形的公理R.Descartes的思想，现在被归纳为关系映射反演原则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。联系数、形公理的桥梁，是坐标空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。阿罗公理作为一个代数公理，应与形的公理同态同构。1.2，几何公理的构成本节的五组公理，其内容与D.Hibert原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点、线、面的公理表达。 按希尔伯特(D.Hilbert)的划分，几何公理的组成如下：几何公理结构几何公理欧氏几何罗氏几何黎氏几何公理关联公理关联公理关联公理公理顺序公理顺序公理分隔公理公理合同公理合同公理运动合同公理公理欧氏公设罗氏公设黎氏公设公理连续公理连续公理连续公理欧氏几何和罗氏几何的区别，是第公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了第公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。关于第公设，是众所周知的：欧氏第公设：又称平行公理。过直线L外一点A，至多可作一条直线与L不相交。它的等价描述是，内角和等于。罗氏第公设：过直线L外一点A，至少有两条直线与L共面而不相交。它是欧氏平行公理的矛盾命题。它的等价描述是，内角和小于。 黎氏第公设：过直线L外一点A的所有直线，都与L相交。它的等价描述是，内角和大于。对于其它公理，了解它们是必要的。关联公理 公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏面”。并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则关联公理就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。：也叫结合(从属)公理。过A,B两点，有且至多有一直线L；直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点A,B,C，必有且至多有一平面S；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面S上，则该直线的每一点都在S上。SSBD图11 顺序公理与分隔公理黎氏分隔公理ACBACBCAACB欧氏/罗氏顺序公理顺序公理：也称次序公理。若C在A,B之间，则A,B,C三点共线，且C在B,A之间；对于A,B两点，至少存在点C，使C在A,B之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点之间。分隔公理 “直线”上每一点都在平面S内，都具有相同的“面序”；在“直线” 上诸点的 “面序”都相同的基础上，比较该“直线”上诸点的序关系，是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件。：若A,B,C为直线上任意三点，存在D，A,B点分隔C,D；若A,B分隔C,D，则B,A分隔C,D，C,D分隔A,B；共线四点A,B,C,D，则A,B分隔C,D，A,C分隔B,D，A,D分隔B,C，三种关系恰有一种关系成立；若A,B分隔C,D，A,D分隔B,E，A,B则分隔C,E。合同公理：也叫全合 (全等)公理。若A,B为L上的点，A是L上的点，则在L上A的一侧，恰有点B，使得AB=AB；若AB=AB, A”B”=AB，则AB=A”B”；若B在A,C之间，B在A,C之间，并且有AB=AB,BC=BC，则AC=AC。 运动合同公理：也叫等效公理。对两个几何体K、K，通过运动变换F，可以由K得到K，并且保持K、K共有的特征性质不变。图12 运动合同过程KKBA0FA0B由合同或者运动合同公理，可导出： 自反性：AB=BA；对称性：若AB=AB， 则AB=AB；传递性：若AB=AB,AB=A”B”，则AB=A”B”。 同样，由顺序/分隔公理，可定义出：反对称：AB=-BA； 非对称：AB-BA。以上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。决定非自反、反/非对称的因素，是关联公理和顺序/分隔公理。在同一构造空间里，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系满足自反性、对称性、传递性的几何关系，是一种等价关系，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，是一种弱/强序。序有点序、线序、面序之分。三种不同的公理，构造了三种不同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏几何 对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。；封闭的序，则代表黎氏几何 封闭的序关系，与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。不同的几何，将导致不同的几何定理。比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称AB=-BA，于是如果CB,AC，则AB。而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称AB-BA或者反对称AB=-BA，如果是反对称AB=-BA，则CB,AC，一定有AB；如果是非对称AB-BA，则CB,AC，不一定是AB，而可能是BA。关于连续公理，则从略。1.3，数与形的统一考虑一个数序对(x, y)，并引入坐标系0;1,i；则这个数序对(x ,y)，可看成复平面上的一个点Z(x ,y)；这个点通过坐标关系，可构造一个数z = x1 + yi；则有点Z与数z的对应关系Z(x ,y) . z = x1 + yi.同时，Z的运动Z(x ,y) Z(x+dx, y+dy)，将构成线段ZZ，并且有dz2=(dx1+dyi)2= dx212+2dxdy1i +dy2i2.于是，有线段ZZ与数dz2的对应关系ZZ . dz2 = dx212+2dxdy1i +dy2i2.i1图13 数与形的对应关系和“线”的几何关系0yxZdzZOdx1dyi1iyZ(x,y)=x1+yi0x因为，数z 、dz是基元(1, i)上的一个线性表示；数dz2是基元(1, i)的二次正定型；所以当1i =0时，有dz2 = (dx1)2 +(dyi)2，它表示引入的坐标系为直角坐标系；数dz2的形式，则忠实地反映了直角DZOZ的“勾股弦”关系；并且，这种“勾股弦”关系，在任何直角三角形中都严格成立。显然，dz2为线段ZZ长度的平方，dz = |ZZ|；(dx1)2为线段ZO长度的平方，(dx1) = |ZO|；(dyi)2为线段OZ长度的平方，(dyi) = |OZ|；但是，当i2 =-1时，却有dz2 = (dx1)2 +(dyi)2= dx2 - dy2. 点Z的运动是弯曲的双曲线，其“线段ZZ”的几何为双曲几何 点Z与点Z的运动，为一相对运动。在这个相对运动中，“线段ZZ”的运动，则是保dz2不变的运动。因此，观察dz2的组成形式，就可知道ZZ的运动几何属于哪一种几何。从几何的分类上，双曲几何从属于罗氏几何。而当i2 =0时，dz2 = (dx1)2 +(dyi)2 =dx2.点Z的运动是平直的直线，其“线段ZZ”的几何为抛物几何。抛物几何从属于欧氏几何。当i2 =+1时，dz2 = (dx1)2 +(dyi)2= dx2 + dy2.点Z的运动是弯曲的椭圆线，其“线段ZZ”的几何为椭圆几何。 椭圆几何从属于黎曼几何。可见，在保证ABC“勾股弦”关系不变的前提下，基元(1, i)性质的变化，将使 的几何形态发生较大的扭曲。而且其“内角和定理”也被修正为A+B+C=+KS，其中：K为空间曲率，S 为ABC面积。显然有罗氏几何：等dz 的运动轨迹BA为双曲线，K0，有A+B+C0，有A+B+C；图14 罗氏几何、欧氏几何、黎曼几何的三角形内角和定理dydx0CBACdydx0ABdydx0ACB所以，坐标基(1, i)的性质，对点、线的空间形态影响很大；基元(1, i)的性质，是区分空间几何类型的重要标志。通常，基元(1, i)的确定与基元(1, i)的算法，称为一个变换群。这种变换群，在正交面上共有三种 平面上的几何，实际有9种。在坐标系0;m,i中，dz2 = dx2m2+2dxdymi +dy2i2.，m2=-1,0,+1，i2=-1,0,+1。；每一种变换群对应着一种几何 变换群与几何的对应关系、几何按变换群分类的理论，已由M.Klein建立。变换群的具体确定，与公理的构成有关。每一种公理构成，隐含着一种变换群；同时也就隐含着一种几何结构。“”算法与几何关系双曲几何抛物几何椭圆几何1i1i1i110110110i0-1i00i01由于已经证明，阿罗公理体系是一个效用数序对；因此，阿罗公理必属于欧氏几何与非欧几何中的一种。1.4，AB,BC,不一定AC!几何“猜想命题”的“真伪”，与几何公理性质密切相关。它严密地证明了，仅凭直觉而没有通过逻辑证明的“东西”，是靠不住的。许多在欧氏条件下，看起来直观而平凡的“真理”，在非欧条件下就有可能成为“谬误”。比如，“内角和等于”这样一个“猜想”。该“猜想”只在欧氏几何条件下成立；在罗氏、黎曼几何条件下不成立。反之，如果“猜想”换成“内角和不等于”，那么“猜想”在罗氏、黎曼条件下是成立的；而在欧氏条件下不成立。再如“如果AB,BC,那么一定AC”之“猜想”，在欧氏几何、罗氏几何条件下是严格成立的；而在黎曼几何条件下不成立。类似的例子还可以举出许多。所以，在不同的条件下，几何的基本元素和基本关系，不论是几何形态还是几何计量，都要发生根本性的改变。我们不能再用主观的思维，去推论一些“想当然”东西。了解这些，是解决“不可能定理”和“投票悖论”的基础。而且应该记住的是，“点” 应严格区分“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”分“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”应分“欧氏面，罗氏面，黎氏面”；由“点、线、面”等基本元素支撑起来的空间，有“欧氏空间，罗氏空间，黎氏空间”。其几何要素在空间里的表现，除 “点”外，“欧氏线/面”在三维欧氏空间里是平直的，而“罗氏线/面，黎氏线/面” 在三维欧氏空间里却是弯曲的。“线，面”在三维欧氏空间里是否弯曲，是欧氏几何与非欧几何的根本区别。而“黎氏线”则是“黎氏球面”上的“大圆”，它是一个封闭的“线元”；它通常也叫“测地线”。xxxyyyzzz000yyyxxx000欧氏点罗氏点黎氏点欧氏线直线/抛物线罗氏线双曲线/拟圆黎氏线圆/椭圆图16 欧氏几何、非欧几何在常曲率条件下的空间表现欧氏面平面/抛物面罗氏面双曲面/拟球黎氏面球面/椭球2，阿罗公理，“投票悖论”与不可能定理2.1，阿罗公理关于阿罗公理，各种文献的表述不一，有政治学的表述，有经济学的表述，也有对策研究表述。本文采用的是经济学的表述。 对于备择对象x和y，考虑一种偏好序关系“”；“”可看成符号“”，或者一个算符“”；用“xy”表示“x优于y”；x和y经“”作用后化成函数u(x)和u(y)）；如果xy，则u(x)u(y)。“”满足： 公理1,连通且自反性 严格的说，阿罗的定义及这个公理只是定义了一种联络关系。它包扩无差异的等价关系和有差异的序关系。有差异的优于关系是序关系，无差异的等价关系不是序关系，两者之间是有很大区别的。由于篇幅的关系，本文没有在此展开。对任意的x与y，有xy或yx；且二者必居其一。 公理2,传递性。对任意的x,y和z，xy与yz，则必有xz。 公理3,一致性。若社会所有成员都认为，某种备选方案优于另一种，那么社会亦应如此认为。公理4,独立性。比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两名候选人的偏好序，不应受新添候选人的影响。公理5,非独裁性。即不应使个人的偏好总是自动成为社会偏好，而不管其他人的偏好与他是如何地不同。 其中：公理1, 2为自然的理性基本条件 Arrow 的“完全理性” 假设，曾经导致质疑者强烈的批评。公共选择学派创始人J.M.Buchanan认为，完全理性假设是“（将）个体特性的荒谬移植（至群）”，从而导致“整个Arrow框架的分析错误”。Sen，Gibbard、Satterthwaite等人也持相同的观点。他们从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。如Sen等人的建立了“在个人主权基础上的社会选择机制”，Gibbard-Satterthwaite 等人则建立了“在防御策略基础上的社会选择机制”。Sen等人的方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；Gibbard、Satterthwaite等人则是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是他们这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生了新的“不可能性”问题。如“Sen个人主权不可能性定理”，“Gibbard-Satterthwaite防御策略不可能性定理”。；公理3,4,5是阿罗及其支持者，为达合理要求所加的限制性条件，它最直接的结果，是形成“少数服从多数”规则。2.2，不可能性定理与“投票悖论”不可能性定理：阿罗认为，五个公理是不相容的，不可能存在满足上述五个条件的效用函数；如果有的话，只可能是外界强加的或者是独裁的。阿罗用公理化逻辑，论证了他的论点。给予他强烈支持的证据，是下面的“投票悖论”。BC图21 封闭的循环序关系AABCA假设由甲、乙、丙三人组成的一个群体，必须在A,B,C三个方案中，进行排序与选择。达成群体偏好尺度的自然方法，是少数服从多数；如果群体中的大多数认为“第一方案第二个”，那么群体就认为“第一方案第二个”。假定：若甲认为“AB，BC”，根据传递性原则，从而有“AC”；乙认为“BC，CA”，从而“BA”；丙认为“CA，AB”，从而“CB”。因为有两票的多数(甲，丙；甲，乙)认为“AB，BC”，根据传递性原则，应有群体序“AC”。但是，综合观察甲、乙、丙三个独立的序，发现也同时存在两票的多数(乙，丙)认为“CA”。显然，由传递性原则导出的 “AC”，与由少数服从多数推出的 “CA”，两者是相互矛盾的。要消除这种矛盾，只能在矛盾的序关系中两中择一。如果群体选择“AC”，由于这也是甲的观点，所以等同于甲“独裁”；如果群体选择“CA”，则只能是“外界强加的”，因为它必须否定序的基本原则传递性。于是，“投票悖论”导出了一种封闭的序循环关系：ABCA 它与“测地线”拓扑同构 我们后面将给出一个效用的“测地线”方程。这个“测地线”方程是封闭的。它与“投票悖论”拓扑同构。阿罗还罗列了，利用个人效用构造社会效用函数时，可有多种不同数学表达式的例子，来佐证社会效用函数存在的“不可能性”。关于阿罗证明的过程从略。但其思想逻辑，已基本反映在“投票悖论”中。2.3，不可能定理在逻辑上的问题 ，判断一个函数存在与否？数学上只要两个条件。一是函数是连续的，用集的语言叫连通且自反；二是自变量与因变量一一对应，用公理表达就是，自(因)变量必须满足关联、顺序、合同以及连续公理中的阿基米德公理。价值、效用、序关系，作为不定义的概念，就象平凡几何中的点、线、面一样，都是不证而自明的要素。其函数都由这些要素构成。它们均满足上述的两个条件。因此，从这个意义上说，效用函数是肯定存在的 Ven Neumaan Morgenstem在1945年用公理化方法严格证明了效用函数的存在。随后，Debreu在1954年 、Rader在1963年也先后证明了效用函数的存在性。更早的工作是Eilenberg做出来的，Eilenberg在1941年就证明了类似的结果。尽管效用函数，可能存在多种数学表达式甚至没有表达式，但都不是效用函数不存在的理由著名数学家辛钦也持相同的观点，见辛钦的数学八讲。 。因为社会是“经济人”群体，“经济人”懂得如何在多种表达式中选择最优。至于最优的表达式是什么，只与经济系统的结构有关，而与存在多少种表达式无关。，“AB和BC，从而AC”，只在欧氏条件下是成立的；而在黎曼条件下不成立。推而广之，“效用函数不存在”作为一个“猜想”，在欧氏条件下是成立的，但不等于在黎曼条件下也成立。关键是看效用所在的空间是否弯曲。按笛卡尔的思想，任何公理都可以化为几何公理；阿罗公理当然也不能例外。阿罗传递性公理，其实就是欧氏顺序公理基础上的合同公理。阿罗公理与欧氏几何公理同态同构。我们唯一需要证明的是，选择的公理，应该是非欧的而不应是欧几里德的。即，在理想的情况下是罗巴切夫斯基几何，在大多数情况下是黎曼几何。CCA图22 封闭的序关系与“独裁”的序关系封闭的序关系+“社会独裁”=传递性公理ABB，在黎曼几何条件下，任何序关系都是封闭的，“投票悖论”序拓扑结构，正是这种封闭序关系的真实反映。在黎曼几何条件下，阿罗传递性（顺序）公理已经失效，要确定A,B,C三者关系，只能通过分隔公理来确认。根据分隔公理，必须首先确定A,B的关系，然后再确定C是在A,B 之间还是A,B之外。具体地说，就是一要统一确定A,B,C序的方向，二是统一确定A,B,C序的起点和终点。可以认为，“投票悖论”封闭序的产生，其原因就是没有“统一的效用观，统一的起点和方向”所致。而“一致性公理”，则是序关系统一之后的另一种表现。这种统一序的方向、起点和终点的方法，其实就是“独裁”。但要注意的是，这种“独裁”，是“社会独裁”而非“个人独裁”。 ，阿罗把“投票悖论”中的“社会独裁”，直接等同于“一个人说了算的独裁”，而没有注意两者间的区别。他颠倒了原因与结果的因果关系。一般而言，“社会独裁”是群体协商的结果，是一种协商后的“社会准则，法规”；而“个人独裁”，则完全是“一个人说了算的个人强权”；两者是不一样的。古语云：“鹤蚌相争，渔翁得利”。“投票悖论”中的“二择一”，其实是一种“得利”的表现，它是一个“社会独裁”，只不过它与“某个人的意愿”巧合而已。 ，当一种序的基本规则已定时，那么选择只能服从规则，而不能反过来甚至否定规则。归纳起来，阿罗公理的矛盾，是“传递性”与“少数服从多数” 的矛盾。“传递性”与“少数服从多数”，作为两个规则，在选择中应有优先次序。其优先次序的确定，应具体问题具体分析。一般而言，如果“传递性”是公理的基本规则，那么在选择中应处于绝对优先地位；“少数服从多数”作为一个辅助规则，则只能处于次要位置。不能因为某种结果，而对它们的次序和地位进行任意曲解。一个很好的例子，是“关于时间的确定”。大堂里挂着三个钟，三个钟都用统一的原理计量时间，三个钟均没有误差，其中一个指住“9:00”，其余两个指住“10:00”。但此时能不能按“少数服从多数”确定，当地时间一定是“10:00”而非“9:00”？显然是不能的。因为，指住“9:00”的可能是“当地北京时间”，指住“10:00”的是“东京时间”。从时间的数值上说，三个钟均没有指错。只不过“时间的起点”不一样。但是，这种“少数”钟的“独裁”，并不是由“它”自己“专制”决定。它只能由当地的“环境，法规”决定。由社会的选择决定。3，我们的猜测3.1，几何猜想由于，阿罗颠倒了问题的因果关系；因此，“不可能定理”可能并不是经济学的“有效”定理！同时，效用函数存在性(猜想)是否与常理相悖，关键是看效用所在的空间是否弯曲。于是，我们猜测：如果效用是空间里的待定函数的话；那么由效用u与交换价值v张成的“曲面S”，应能嵌在具有坐标(x1,x2,x3)的欧氏三维空间里，并且满足同时x1、x2、x3对u，v可微。于是，在某个r投影变换下，“S曲面”应映照成一个“Edgeworth盒D”。“盒D”的对角线AB，是交换的契约曲线；契约曲线AB，是“S曲面”的“测地线AB”在“D”上的投影；“测地线AB”，是“曲面S”上的最短直线；AB既与u,v的空间有关，同时也与uv的空间有关 传统的教科书认为，契约曲线是无差异曲线切出来的。我们认为，它存在逻辑上的矛盾。；AB上的每一点，都是一个“帕累托最优”；而AB的方向，则反映了无差异交换的传播过程根据L.Euler在1736年所证明的一个定理。可以推断，在无外部作用时，无差异交换的传播，必定是沿测地线AB运动的。r(v,u)x2图31 E3中的曲面S在r映射下为E2 中的“Edgeworth 盒”0x3x1su曲线v曲线S曲面AB(v, u).(x1(v, u),x2(v, u),x3(v, u).uBr(v,u)AvrDD平面 3.2，模型由于，市场是一个u与v的相互转换， “S面”是一个u,v的组合； “S面” 就代表市场，市场就是“S面”；u,v满足AB曲线最短传播要求。因此，市场问题，就是一个几何问题。它是AB曲线在“S”约束下求极值，是AB在“S”约束下求最优路径。它是AB在“S”约束下求“测地线”。但由于，“S面”是嵌在E3空间里的，曲面上AB长度而ds2=|dr|2=dx12+dx22+dx32。又由于x1、x2、x3是u，v的可微函数，ds2=|dr|2， 因此，也有ds2=|dr|2=|dr|dr|=| rudu+ rvdv| rudu+ rvdv|=rurudu2+2rurv dudv+ rv rv dv2.令guu=ruru，guv=rurv，gvv=rvrv，则ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2.于是，也有因此，SAB便是定义在集u(v)上的一个泛函。则AB的最优路径问题，将转化为求SAB在“Edgeworth盒”内的变分具有ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式的“S面”，通常叫黎曼面。黎曼面上的v,u坐标，叫曲坐标。ds2叫黎曼距离。ds2是u,v在“S”约束下的拉格朗日函数。ds2应有极值。保ds2不变的几何，叫黎曼几何。guu、guv、gvv叫空间度规系数。空间度规系数，决定曲面“S”的性质。如果guu、guv、gvv是u，v的函数，则“S”就是曲面。 “S”为曲面，效用的空间就是弯曲的。如果guu、guv、gvv是与u，v无关的常数，则“S”为平面。“S”为平面，效用的空间就是平直的。平面是曲面的特殊形式。guv =0，表示u，v正交。因此，市场问题，就是一个纯粹的黎曼几何问题。它是SAB在“S”约束下求极值，是AB在“S”约束下求最优路径。是AB在“S”约束下求“测地线”。它是SAB在“Edgeworth盒”内的变分。关于模型的解，见本文的第五、六、七部分。 4，效用空间的非欧性证明在20世纪初，德国数学家A.E.Noether曾经证明了一个非常有用的定理。这个非常有用的定理，就是Noether对称。A.E.Noether证明了：在一个相互作用的力学系统里，有多少个守恒量，就有多少个守恒律，守恒量与守恒律是高度对称的，对称性导致相互作用律。这里，守恒量也叫不变元，对称性也叫对称性规则。Noether对称的思想，可用图41表达。图41 Noether对称与相互作用律几何图形对称性坐标变换不变性守恒定律不变元由于，交换是一个买者与卖者的博弈，交换过程是一个u与v的相互转换；因此，市场也是一个相互作用的力学系统。在这个力学系统里，Noether对称也是成立的。根据Noether定理，我们可以考虑一个由u与v张成的“S面”的运动。看看这个“S面”的运动过程中，存在什么样的不变元，以及跟这个不变元有关的变换是什么？如果这个守恒元与欧氏几何有关，则效用的空间就是平直的；如果这个守恒元与非欧几何有关，则效用的空间就是弯曲的。4.1，经济系统对称，等效律或无差异守恒律，ds、ds2；经济系统对称的存在，取决于我们对规律的本质认识。如果我们能从规律的本质出发，那么，经济系统的对称性是能够证明的。从本质上，所谓规律，就是与时间地点变化无关的现象；因此，市场的交换规律，应与坐标系的运动（价值观的变化）无关；与采用什么坐标系（价值体系）无关；其运动的方向（价值体系的演变），都是等效 这里的等效，不是指经济效用相等，而是指在运动合同公理下的效果相同；运动合同公理也叫等效公理。等效公理在Hilbert划分中为公理；至于其他公理的组成，我们下面的证明，是将其归纳为确定空间i的性质。的或无差异的；。只有满足这些要求的，才是规律；否则，就不是规律。那么，满足规律要求的运动变换是什么呢？我们先观察“规律与坐标系的运动无关；其运动的方向，都是等效的或无差异的。”。看看满足这一要求的几何变换是什么？考虑坐标系K0;v,uK0; v,u 的运动；跟这个运动相对应的变换为A。ds图42 运动合同过程KKi1KuvA0ds1iKu0v在K0;v,u中，存在复数ds与标积ds2， ds= dv1+dui. ，ds2=12dv2+2dvdu1i +i2du2；在K0; v,u 中，存在复数ds 与标积ds2 ，ds= dv1+dui.，ds2=12dv2+2dvdu1i +i2du2。由于 KK与 KK的过程是等效的；所以有ds=Ads ；dz=Ads ；于是ds=Ads =AAds=A2ds ；从而A2=1。当A=-1时，几何变换为反演变换；而当A=+1时，几何变换为对称变换。由于在平面上，对称变换可以定义为一个平移加一个旋转；而反演过程是一个1800的旋转；因此，A2=1，证明了对称性的存在。同时，等效的过程，带来反演对称规则；ds=1ds，dv=1dv，du=1du，；并同时带来 “保距”要求；ds2= ds2 。 ds2, ds2，就是跟对称性对应的守恒元；ds=1ds，表示运动的无差异律；A=+1，表示无差异律在任意的系统里都是一样的；ds=+1ds是现实的无差异律的数学表示；ds2= ds2，代表无差异交换的形式不变，是一个等效交换律；守恒元与守恒律高度对称；对称性决定守恒律；ds2, ds2的形式，则决定交换的空间类型。因此，在设计公理的构成时，必须保持系统的对称。图43 经济系统对称与等效、无差异律经济系统对称性坐标变换不变性等效、无差异定律不变元ds2、ds满足“保距ds2= ds2”要求的变换A，是反演、平移与旋转。从运动合同的要求上，可以将平面内直角坐标系KK的运动，定义为其中： 1，i代表任意的复空间，i =-1,0,+1；y为旋转角，y与空间i的选择有关，a,b为平移常数。KK，是1，i空间加在v,u实轴上的平移与旋转过程。整个过程，保证空间1，i的性质不变。ds图44 等效的保距过程ds2= ds2，但ds dsdsydudu0yydv0dvi1dudvds但是，当将i = j，j2=-1的空间加在v,u实轴上时，却有也就是ds(j)=dv+j du=(dvcosy-dusiny)+j(dvsiny+ducosy)=(cosy+j siny) dv+ (j cosy - siny) du=(cosy+j siny) dv+ (j cosy+j2 siny) du=(cosy+j siny) dv+ j (cosy+ j siny) du=(cosy+j siny)(dv+ j du) = ejy ds(j).可见：保ds2= ds2运动，并不一定有ds= ds，而是ds ds；特别是当将i2=-1的空间加在v,u实轴上时，ds= eiy ds，ds、ds之间相差y角。y的决定，与i的选择有关。4.2，规律与坐标系的运动无关，与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关。我们前面考虑了坐标之间的运动，现在考虑坐标自身的变化。由于规律在任意的坐标系里，都是等效的或无差异的。因此，坐标自身的变化，不应该影响规律的性质；坐标自身的变化，也应是运动合同等效的，也应该具有坐标运动的一切性质。于是，可假设：K 0;v,u为一个直角坐标系，K0; v,u 为一个非直角坐标系；如果K K, K K是等效的话，则KK的运动，也将由一个平移与一个旋转组成。它除了保持ds2= ds2外，还必须保持ds= ds。于是，旋转矩阵应该可以对角化，运动可以写成l1,l2应是旋转矩阵B的特征根。解特征方程得l=ejy或e-jy。j2=-1。图45 等效的自变过程, ds2= ds2，ds=ds.0duduyydv0dvAi1du0dvdsds=ds这实际上是确定了复平面的性质。即i=j，j2=-1。显然，当l1=ejy,l2=e-jy时，运动v v是正方向旋转y角，u u是反方向旋转y角；而当l1= e-jy ,l2= ejy时，运动v v是反方向旋转y角，u u是正方向旋转y角；图46 平面上的两种分角行为yydu0dvyydudv0dvdududv但不论哪一种情况，其ds2= ds2， ds= ds的联合运动，为复平面内分角。其所分角y为复角。旋转y是复平面内转动了角jy。它等同于做了变换ij，yjy ，vv， vv，iuju，iuju。因此，将复角jy代入旋转角，有分角变换利用cosh y=cos jy，j sinh y=sin jy，i=j，j2=-1，则v,u实轴的变换就是它是数序对(v,u)附予i2=-1空间后的普遍变换形式。它充分反映了交换几何的现实。它是个市场变换，但却是个双曲旋转。这个双曲旋转变换，有恒等式dv2-du2. = dv2-du2.及dvdu.= dvdu.。但是，dv2 -du2是K 直角坐标系的ds2=dv2+i2du2在i2=-1时结果；由于ds2= ds2，于是也有ds2=dv2-du2。由于ds2、ds2，既是K、K的不变元，同时又都具有双曲线的特征。因此，在平面内要求“规律与坐标系的运动无关，且与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关”，则必然带来复平面内的“ds2= ds2， ds= ds”要求；而 “距ds2、ds2”的形式都为双曲线，都与非欧几何有关；因此，交换的空间必为非欧几何。特别是ds2=dv2-du2=0时，有dv=du.，及v= u+b；b为积分常数，常取为0。从“帕累托最优”的定义上衡量，ds代表无差异律；ds2 =0满足无差异的最优要求。它是“Edgeworth盒”的450对角线。而当ds2 0时，“帕累托最优”则与450线产生了偏移。图47 平面上的“帕累托最优”模型dudv0A450Bdudv0A450Bds0ds=04.3，坐标变换，黎曼几何在曲面内，继续推广 “规律与坐标系的运动无关，而且与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关” 要求；看看能不能通过坐标变换，将一个曲坐标化为一个平面坐标，或者将一个平面坐标化为一个曲坐标，或者将一个曲坐标化为一个新的曲坐标，；如果能够，就意味着平直空间里发生的交换，与真实的黎曼空间里的规律，是一致的；就意味着可以通过坐标变换，将复杂的空间里的规律，化为简单的双曲模型进行研究；就意味着我们在平面内所导得的结论，具有高度的普适性。可以证明，这种推广是成立的。直观的例子，是世界地图的形成。它是将球面上的陆地经纬度坐标，共形投影到平面上，形成所需要的世界地图。假设：K 0;v,u为平面坐标系，具有ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式，guu=-1，guv=0，gvv=1；K0; v,u 为曲坐标系，具有ds2=guudu2+2guvdudv+gvvdv2形式，guu、guv、gvv为v,u的函数。如果v= v(v,u)， u= u(v,u)；并且可逆，则只要就一定有ds2= ds2。于是，K K, K K的运动，就一定是等效的。证明完毕。既然u,v张成的“S面”，普遍具有黎曼面的形式；那么，效用的空间必是弯曲的。效用的空间几何必是非欧几何。5，效用方程，效用的传递特征，及“独裁”的数学解释5.1，效用方程由于市场问题，是SAB在“S”约束下求极值或求“测地线AB”。但在“Edgeworth盒”中， SAB是ds在AB路径上的积分，其结果与AB过程有关，SAB是u,v的函数；因此，SAB极值或“测地线AB”可由S(u,v)的变分求出；即可通过dSAB= dds=0.求出效用方程。令du=dui，dv=duk，guu= gii，gvv= gkk，guv= gik，且u,v互换，则ds2可缩并成ds2= gik duiduk. 则有 因此，第二项等于零，因为在积分限上，。且l=i,k。在积分号内的第二项中，可用l来代替k。由于在积分限上，亦有任意的，由变分法引理 F(x)h(x)dx.=0.的条件是：在积分的边界上h(x).=0时，F(x).0。，可有 注意到第三项可以写成以下形式：引入克里斯托非尔符号则得 乘以，并注意到 这里代表Kronecker的d记号，当i=m时，=1，im时，=0。和，m= i,k.，便得效用方程 l= i,k；且i,k可互换。其中，s是质点的空间运动轨迹，它既是一条过v,u交点的测地线，同时也是u, v之间的关系函数；是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关 是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关。从经济学意义上讲