人教A版必修1第二章基本初等函数教学设计.doc

人教A版数学必修1第二章及基本初等函数（I）教学设计一、教材分析指数函数、对数函数和幂函数是描述现实中某些变化规律的重要的数学模型，是高中阶段学习的三类重要且常用的基本初等函数，也是进一步学习数学的基础。本章中，学生将在第一章学习函数概念的基础上，通过三个具体的基本初等函数的学习，进一步理解函数的概念与性质，学习用函数模型研究和解决一些实际问题的方法。1本单元教学内容的范围21 指数函数22 对数函数 23 幂函数本章知识结构如下： 基本初等函数2.本单元教学内容在模块体系中的地位和作用：通过指数函数、对数函数等具体的基本初等函数的学习，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活与社会中的简单问题。利用计算器或计算机，研究性学习数学建模的方法，数形结合，培养分析解决实际问题的能力，由特殊到一般发现归纳函数的规律和性质。3 本单元教学内容的总体目标本章主要学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的概念和性质。通过本单元的学习，应使学生达到以下的学习目标： （1）指数函数通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用碳14的衰减，药物在人体内残量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。（2）对数函数理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用。通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数（a 0, a1）。（3）幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x, y=x2, y=x3, y=1/x, y=x1/2 的图象，了解它们的变化情况。4本单元教学内容重点与难点分析：教学重点：（1） 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的概念和性质。（2） 初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质。教学难点：（1）用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数与对数函数的概念和性质。（2）指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0，且a1）。5其它相关问题(1)本单元内容课标与大纲的变化之处内容课程标准教学大纲区别指 数 函 数1通过具体实例（如细胞分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。2理解有理函数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调型与特殊点。4在解决实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。理解分数值数的概念，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数概念，图象和性质。1课标要求学生了解无理指数幂的意义，感受拥有理指数幂逼进无理指数幂的过程。大纲只要求掌握有理指数幂的运算。2大纲对信息技术在教学中的运用不作要求；而课标明确了注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器或计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持。对 数 函 数1理解对数函数的概念及其运算性质，知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发展历史以及对简化运算的作用。2通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，并探索了解对数函数的单调性与特殊点。3知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0,a1）.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数概念，图象和性质。1课标要求知道换底公式。大纲只把换底公式作为一道课后习题，不作要求。2课标对反函数不作要求，只提出知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数（a0,a1）.大纲要求了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。3课标更加强调了对对数函数的应用意识，重视用具体、实际的问题来体现数学的思想方法和应用价值。幂 函 数通过实例，了解幂函数的概念，结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解他们的变化情况。大纲对幂函数不作要求。（2）初、高中衔接问题知识方面删除的内容含有字母的方程；根式的分母有理化、最简根式，根式化简。降低要求的内容 有理数混合运算强调最多三步；根式运算要求低。学习习惯及能力方面本届高一学生是初中课标版教材的第一届学生，与使用传统教材的学生比较，使用新课标教材的学生更习惯于有背景的数学教学环境和信息技术支持下的数学探究活动。他们比较乐于合作、交流的学习方式。相对于传统教学及要求，他们的笔算、口算、心算等能力有待提高。二教学方式概述讲授启发式、自主探究式（1） 利用丰富的背景实例创设问题情境引导学生建模和理解抽象的函数。（2） 重视数形结合等数学思想方法的渗透，体现数学的文化价值。（3） 提供积极思考，自主探索的空间，使学生主动地学习。（4） 重视信息技术的使用，和研究性学习探索指数函数与对数函数的变化规律。三教学资源概述1教材、教参、光盘，尺规，计算器，计算机等多媒体或实物投影仪2几何画板，TI图形计算器等资源。3人教社网（/gzsx/）等网络资源。四课时建议:（1）全章分为三节，和三个选学内容，教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）21 指数函数 约6课时22 对数函数 约6课时23 幂函数 约1课时小结约1课时（2）说明与建议：指数幂的教学，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础，通过具体实例，引入有理指数幂及其运算，以及实数指数幂的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并且可以让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程。指数函数、对数函数的教学，建议列表描点绘图或信息技术绘图，引导学生观察图象，发现归纳指数函数、对数函数的性质。在解决实际问题的过程中，体会指数函数、对数函数是一类重要的函数模型。反函数的处理，不要求一般的讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数，只要求以具体函数为例进行解释和直观理解。第一三学时 指数函数及其性质一、学习目标 （1）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系。 （2）理解指数函数模型的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 （3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等。二、重点、难点 重点：指数函数的概念和性质。 难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。三、教学内容安排1关于指数函数定义及其图象的教学内容 （1）创设问题情境问题1：GDP增长模型问题2：碳14含量模型 引导学生从函数定义出发探讨两个变量之间的依赖关系，提炼出函数模型，为得出指数函数的概念做好准备。 （2）引出定义 根据学生归纳，教师引导学生把解析式概括到的形式。 深化概念：在上前面有理指数幂运算的基础上，引导学生探讨的取值范围。 得出定义：强调函数结构特征及的取值范围。 (3)巩固定义概念辨析：练习1尝试解决，学生交流：练习2教材58页练习第3题(4)研究指数函数图象的画法引导学生类比讨论函数性质时的思路，研究函数图象。用描点法画出函数与的图象。 引导学生探究两图象在坐标系中的位置关系。 启发联想：能否从其中一个函数图象得到另一个函数图象。 直观感知，归纳性质：借助各种媒体作出一组函数图象，引导学生观察共同特征，学生自主探究相互交流，形成共识，归纳指数函数的性质。 (5)应用举例 师生共同研究例6，理解确定一个指数函数的条件，明确底数是确定指数函数的要素。2关于指数函数及其性质的教学内容 (1)复习定义，回顾图象，再现指数函数性质（2）基本性质的巩固：通过例1进一步体会指数函数定义域的确定通过例2认识指数函数底的变化趋势与图象的对应关系通过例3例4初步掌握利用指数函数的单调性比较大小（3）通过例5探讨复合型指数函数的单调性（4）探究与提高：通过实际问题例6，学生自主探究、共同交流，抽象出指数函数模型，并用指数函数性质解决问题。3关于指数函数及其应用的教学内容复习：指数函数定义：实例探究 ：教材57页的例8问题1：由该问题能得到怎样的函数解析式？问题2：该解析式在结构特征上与指数函数有什么样的区别？由此得出指数型函数的概念。师生共同探究例8： 通过本题理解指数型函数的概念； 学生分组探究教材58页探究问题，巩固指数型函数的应用。以指数函数为载体，研究一组函数图象的画法，通过函数图象理解对称变换和平移变换，并运用函数图象理解和研究函数的性质。四、教学资源建议电脑和几何画板软件（画图并演示函数的性质）实物投影仪（演示学生所画图像，激发学生兴趣） TI图形计算器（探索指数函数性质）五、教学方法与学习指导策略建议通过简单易懂的问题情景引入指数函数的定义，引导学生通过对现实问题的观察分析，得出抽象的数学模型，在学习过程中让学生经历具体感知到理论认识的基本过程。在学习指数函数的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，为后续学习对数函数打下基础。根据学生情况及其本节知识特点建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法。根据教学内容让学生选择自主探讨，小组讨论，合作交流等方式学习，突出学生的主体作用，教师起到引领作用，同时引导学生归纳总结，提高学习兴趣。附：部分例题及习题第一课时练习1：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （1，且）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.第二课时例1求下列函数的定义域： 例2：右图是指数函数；的图象，则与1的大小关系是（ ） 例3：比较下列各组题中两个幂的值的大小 （1） （2） （3） 例4：指出下列各题中的取值范围：（1） （2） （3）例5：若函数在上单调递减，则得取值范围是：（ ）讨论函数的增减性。例6：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年这种物质的剩余量是原来的84%，请用计算机或计算器探究：经过多少年后，这种物质的剩余量是原来的一半（结果保留1位有效数字）。第三课时 例7：教材57页的例8 例8：函数是指数函数，则有（ ）或 例9:教材58页的探究 例10：利用函数的图象，作出下列各函数的图象：（1） （2） （3） （4） （5）练习：如右图所示，某池塘中的浮萍蔓延的面积与时间（月）的关系：，有以下叙述，其中正确的是（ ）这个指数函数的底数为2；第5个月时，浮萍面积就会超过30；浮萍从4蔓延到12需要经过1.5个月；浮萍每月增加的面积都相等；若浮萍蔓延到2，3，6所经过的时间分别为，则； 第七学时第十二学时一、学习目标1、 对数与对数运算（）理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系，通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题。（）通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质.。（）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质，在学习过程中培养学生探究的意识.让学生理解事物之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力，培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度，让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性。、对数函数及其性质（）对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律，掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题，了解反函数的概念，加深对函数思想的理解。（）让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质，学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异。（）培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；培养学生严谨的科学态度，进一步领悟数形结合的思想。二、重点难点、对数及其运算（）重点是对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用。（）难点是对数的意义、符号，正确使用对数的运算性质。、对数函数及其性质（）重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质，指数函数与对数函数内在联系。（）难点是底数a对图象的影响及对数函数性质的作用，反函数概念的理解。三、教学内容安排、对数与对数运算（一）（）引入通过书上思考，让学生体会对数丰富的实际背景（）概念的引入和形成从实际问题引出对数的概念。通过指数加深对对数的理解；了解常用对数和自然对数。（）对数的性质通过对数与指数间的关系得出对数的三个基本性质。（）概念的应用通过例题进一步熟悉对数式和指数式的互化；通过例题加深对数式中各字母的理解。、对数与对数运算（二）（） 引入从指数对数的关系以及指数的运算性质，得出相应的对数运算性质（） 探究根据对数的定义，对数运算有相应的运算性质吗？如果有，它们的运算性质会和指数幂的运算性质之间有什么联系？师生合作探究，得出对数运算的三个性质。（） 概念理解 利用对数运算的性质，各字母的取值范围有什么性质？（）对数运算性质的应用通过例题、例题熟悉对数的运算性质，了解简单对数的运算及对数式的化简。、对数与对数运算（三）（）引入遇到对数底数不相同怎么办？（）探究探究换底公式，明确换底公式的意义和作用。（）换底公式的应用 通过附加例题利用换底公式进行简单的化简求值（）对数的应用问题通过例题、例题了解对数实际应用4、对数函数及其性质（一）（）引入通过实际问题引入对数的函数模型（）探究通过考古史上的实践问题探究引出对数函数的概念（）深入理解对数函数的概念为什么对数函数的定义域是？对数函数和指数函数的定义域和值域之间有什么关系？（）探究对数函数的图像和性质用描点法能在直角坐标系中画出简单的对数函数图像；借助计算机或计算器在同一坐标系中画出一些简单的对数函数的图像；探究：选取底数0，且1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？探究出对数函数的性质并进行简单的应用。、对数函数及其性质（二）（） 探究通过让学生自己给出对数函数中字母a的取值，并描点画出相应的函数图象，通过图象找出其中的规律。（） 借助多媒体或图形计算器演示底数大于1和大于0小于1两种类型的对数图象。学生讨论给出函数的性质。（） 通过例7，例8加深对对数函数性质的理解。（） 通过例9，学生体会对数函数在实际生活中的应用。、对数函数及其性质（三）（1）引入复习指数式对数式的互化，引导学生画出y=与的图像。（）探究在指数函数y=中，x为自变量，y为因变量。如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由。给出反函数概念（）探究你能发现这两个图像有什么对称关系？在y=的图像上取几个点，求出它们关于的对称点，它们在的图像上吗？为什么？由上述探究过程可以得到什么结论？四、教学资源建议教材与教参，与教材相关的课件，与内容相关的发展史，相关教学网站，多媒体，实物投影仪五、教学方法和学习指导策略、根据学生情况及本节知识特点建议采取启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法。、对于对数及其运算的探索过程，首先应充分利用指数及其运算的性质，通过对比加深对数的形成过程。、对对数函数的图像的探索过程，让学生根据研究指数函数的图像和性质的方法和过程，进行自主探索。、数学思想方法：归纳思想、数形结合思想、类比思想等。2.2.2对数函数及其性质（第十、十一课时）一教学目标1知识技能对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2过程与方法让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3情感、态度与价值观培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；培养学生严谨的科学态度.二学法与教学用具1学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；2教学手段：多媒体计算机辅助教学三教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.四教学过程 1设置情境在221的例6中，考古学家利用估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P，通过关系式，都有唯一确定的年代与之对应同理，对于每一个对数式中的，任取一个正的实数值，均有唯一的值与之对应，所以的函数2探索新知 一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）提问：（1）在函数的定义中，为什么要限定0且1（2）为什么对数函数（0且1）的定义域是（0，+）组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：根据对数与指数式的关系，知可化为，由指数的概念，要使有意义，必须规定0且1因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，0，所以例：求下列函数的定义域（1） （2） （0且1）分析：由对数函数的定义知：0；0，解出不等式就可求出定义域解：（1）因为0，即0，所以函数的定义域为.（2）因为0，即4，所以函数的定义域为.下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P70表23，并根据此表用描点法或用电脑画出函数 再利用电脑软件画出 12468121610122.5833.584yx 注意到：，若点的图象上，则点的图象上. 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图象与的图象关于轴对称 . 所以，由此我们可以画出的图象 . 先由学生自己画出的图象，再由电脑软件画出与的图象.探究：选取底数0，且1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象观察图象，你能发现它们有哪些特征吗？.作法：用多媒体再画出，和0提问：通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？函数的图象有何特征，性质又如何？先由学生讨论、交流，教师引导总结出函数的性质. (投影)图象的特征函数的性质（1）图象都在轴的右边（1）定义域是（0，+）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当1时，图象逐渐上升，当01时，图象逐渐下降 .（3）当1时，是增函数，当01时，是减函数.（4）当1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当01时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 .（4）当1时 1，则0 01，0当01时 1，则0 01，0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：101图象性质（1）定义域（0，+）；（2）值域R；（3）过点（1，0），即当=1，=0；（4）在（0，+）上是增函数在（0，+）是上减函数例8：比较下列各组数中的两个值大小（1） （2）（3） （0，且1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，解法2：由函数+上是单调增函数，且3.48.5，所以.解法3：直接用计算器计算得：，（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当1时，在（0，）上是增函数，且5.15.9.所以，当1时，在（0，）上是减函数，且5.15.9.所以，解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，令 令 则当1时，在R上是增函数，且5.15.9所以，即当01时，在R上是减函数，且5.15.9所以，即说明：先画图象，由数形结合方法解答例：溶液酸碱度的测量。（题目见课本）想一想：酸碱度在我们现实生活中的作用和重要性？课堂练习：练习第，题补充练习1已知函数的定义域为-1，1，则函数的定义域为 2求函数的值域.3已知0，按大小顺序排列m, n, 0, 14已知01, b1, ab1. 比较归纳小结： 对数函数的概念必要性与重要性;对数函数的性质，列表展现.2.2.2对数函数及其性质（第十二课时）一教学目标：1知识与技能了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.2过程与方法学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数在性质上的异同点.3. 情感、态度、价值观（1）体会指数函数与对数函数之间的联系，知道用联系的观点分析、解决问题； （2）进一步领悟数形结合的思想。二重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系难点：反函数概念的理解三学法与教具：学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系.教具：多媒体四教学过程：1复习（1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出的函数图象.2讲授新知3210123124832101231248图象如下： y 0x探究：在指数函数中，为自变量，为因变量，如果把当成自变量，当成因变量，那么是的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数中，是自变量， 是的函数（），而且其在R上是单调递增函数. 过轴正半轴上任意一点作轴的平行线，与的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系，即对于每一个，在关系式的作用之下，都有唯一的确定的值和它对应，所以，可以把作为自变量，作为的函数，我们说.从我们的列表中知道，是同一个函数图象.3引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如的反函数，但习惯上，通常以表示自变量，表示函数，对调中的，这样是指数函数的反函数.以后，我们所说的反函数是对调后的函数，如的反函数是.同理，1）的反函数是0且.课堂练习：求下列函数的反函数（1） （2）归纳小结： 1. 今天我们主要学习了什么？ 2你怎样理解反函数？课后思考：（供学有余力的学生练习） 我们知道0与对数函数0且互为反函数，探索下列问题. 1在同一平面直角坐标系中，画出的图象，你能发现这两个函数有什么样的对称性吗？ 2取图象上的几个点，写出它们关于直线的对称点坐标，并判断它们是否在的图象上吗？为什么？ 3由上述探究你能得出什么结论，此结论对于0成立吗？第十三学时：幂函数一、学习目标1理解幂函数的概念；通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。 2类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质。 3进一步渗透数形结合与类比的思想方法；体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称。二、重点、难点 重点：从五个具体的幂函数中认识概念和性质 。 难点：画五个幂函数图象并从