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I 目录目录 第一章第一章 函数与极限函数与极限 1 第二节 数列的极限 1 第三节 函数的极限 1 第四节 无穷小与无穷大 2 第五节 极限运算法则 2 第六节 极限存在准则 两个重要极限 3 第七节 无穷小的比较 4 第八节 函数的连续性与间断点 4 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 5 第十节 闭区间上连续函数的性质 5 第二章第二章 导数与积分导数与积分 6 第一节 导数概念 6 第二节 函数求导法则 7 第三节 高阶导数 7 第四节 隐函数及由参数方程所决定的函数的导数 相关变化率 8 第五节 函数的微分 8 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 9 第一节 微分中值定理 9 第二节 罗必达法则 9 第三节 泰勒公式 10 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 11 第五节 函数的极值与最大值和最小值 12 第七节 曲率 13 第四章第四章 不定积分不定积分 13 第一节 不定积分的概念和性质 13 第二节 换元积分法 14 第三节 分部积分法 15 第四节 有理函数的积分 15 第五章第五章 定积分定积分 16 第一节 定积分的概念与性质 16 第二节 微积分基本公式 17 第三节 定积分的换元法和分部积分法 17 第四节 反常积分 18 第六章第六章 定积分的应用定积分的应用 19 第二节 定积分在几何学上的应用 19 第三节 定积分在物理学上的应用 20 第七章第七章 微分方程微分方程 21 第一节 微分方程的基本概念 21 II 第二节 可分离变量的微分方程 21 第三节 齐次方程 21 第四节 一阶线性微分方程 22 第五节 可降阶的高阶微分方程 22 第六节 高阶线性微分方程 22 第七节 常系数齐次线性微分方程 23 第八节 常系数非齐次线性微分方程 24 第九章第九章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 24 第一节 多元函数的基本概念 24 第二节 偏导数 25 第三节 全微分 26 第四节 多元复合函数的求导法则 26 第五节 隐函数的求导法则 27 第八节 多元函数的极值及其求法 28 第十章第十章 重积分重积分 29 第一节 二重积分的概念与性质 29 第二节 二重积分的计算法 29 第四节 重积分的应用 30 第一章第一章 行列式行列式 32 第一节 二阶与三阶行列式 32 第三节 N阶行列式的定义 32 第五节 行列式的性质 32 第六节 行列式按行 列 展开 33 第七节 克拉默法则 34 第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 34 第一节 矩阵 34 第二节 矩阵的运算 35 第三节 逆矩阵 37 第四节 矩阵分块法 37 第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组 38 第一节 矩阵的初等变换 38 第二节 矩阵的秩 39 第三节 线性方程组的解 39 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 40 第一节 向量组及其线性组合 40 第二节 向量组的线性相关性 41 第三节 向量组的秩 41 第四节 线性方程组解的结构 41 第五节 向量空间 42 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 42 第一节 向量的内积 长度及正交性 42 III 第二节 方阵的特征值与特征向量 44 第三节 相似矩阵 44 第四节 对称矩阵的对角化 45 第五节 二次型及其标准形 45 第七节 正定二次型 45 常用公式常用公式 47 TGTG 49 1 第一章第一章 函数与极限函数与极限 第二节第二节 数列的极限数列的极限 数列的极限数列的极限 设为一数列 如果存在常数 对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在 n xa 正数 N 使得当时 不等式都成立 那么就称常数是数列的极限 或者称数列nN n xa a n x 收敛于 记为 或 n xalim n x xa n xa n 引入记号 表示 对于任意给定的 或 对于每一个 记号 表示 存在 收敛数列的性质收敛数列的性质 1 极限的唯一性 如果数列收敛 那么他的极限唯一 n x 2 收敛数列的有界性 如果数列收敛 那么数列一定有界 但有界函数却不一定收敛 n x n x 3 收敛数列的保号性 如果 且 或 那么存在正数 当时 都有lim n x xa 0a 0a 0N nN 或 推论 如果数列从某项起有 或 且 那么 或0 n x 0 n x n x0 n x 0 n x lim n x xa 0a 0a 4 收敛数列与其子数列间的关系 如果数列收敛于 那么它的任一子数列也收敛 且极限也 n xa 是 如果数列有两个子数列收敛于不同的极限 那么数列是发散的 a n x n x 定律定律 1 如果 则 lim n x ua lim n x ua 2 如果数列有极限 但数列不一定有极限 n x n x 第三节第三节 函数的极限函数的极限 自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 设函数在点的某一去心邻域内有定义 如果存在常数 A f x 0 x 对于任意给定的正数 不论它多么小 总存在正数 使得当满足不等式时 对应的函 x 0 0 xx 数值满足不等式 那么常数 A 就叫做函数当时的极限 记作或 f xA f x 0 xx 0 lim xx f xA 当 f xA 0 xx 左极限左极限 x 从的左侧趋于 记作 0 x 0 x 0 xx 右极限右极限 x 从的右侧趋于 记作 0 x 0 x 0 xx 时有没有极限 与在点是否有定义并无关系 0 xx f x f x 0 x 2 函数当时极限存在的充分必要条件是左极限有极限各自存在并且相等 即 f x 0 xx f xf x 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 设当大于某一正数时有定义 如果存在常数 A 对于任意 f xx 给定的正数 不论它多么小 总存在着正数 X 使得当满足不等式 那么常数 A 就叫做 x f xA 函数当时的极限 记作或 当 f xx lim x f xA f xA x 函数极限的性质函数极限的性质 1 函数极限的唯一性 如果存在 那么这极限唯一 0 lim xx f x 2 函数极限的局部有界性 如果 那么存在常数和 使得当时 0 lim xx f xA 0M 0 0 0 xx 有 f xM 3 函数极限的局部保号性 如果 且 或 那么存在常数 使得当 0 lim xx f xA 0A 0A 0 时 有 或 0 0 xx 0f x 0f x 推论推论 如果在的某一去心邻域内 或 且 那么 或 0 x 0f x 0f x 0 lim xx f xA 0A 0A 如果 那么就存在的某一去心邻域 当时 就有 0 lim xx f xA 0A 0 x 0 U x 0 xU x 2 A f x 第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 无穷小无穷小 如果函数当 或 时的极限为零 那么称函数为当 或 f x 0 xx x f x 0 xx 时的无穷小 x 定理定理 在自变量的同一变化过程 或 中 函数具有极值 A 的充分必要条件是 0 xx x f x 其中是无穷小 f xA 无穷大无穷大 设函数在点的某一去心邻域内有定义 或大于某一正数时有意义 如果对于任 f x 0 xx 意给定的正数 M 不论它多么大 总存在正数 或正数 X 只要适合不等式 或 x 0 0 xx 对应的函数值总满足不等式 那么称函数为当 或 时的无xX f x f xM f x 0 xx x 穷大 定理定理 在自变量的同一变化过程中 如果为无穷大 则为无穷小 反之 如果为无穷 f x 1 f x f x 小 且 则为无穷大 0f x 1 f x 3 第五节第五节 极限运算法则极限运算法则 1 有限个无穷小的和也是无穷小 2 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小 有限个无穷小的乘积 也是无穷小 3 如果 那么lim lim f xAg xB 1 lim lim lim f xg xf xg xAB 2 lim lim lim f xg xf xg xA B 3 若 则 0B lim lim lim f xf xA g xg xB 推论推论 如果存在 而是整数 则lim f xn lim lim nn f xf x 4 设有数列和 如果 那么 当 n x n ylim lim nn nn xAyB lim nn n xyAB lim nn n xyA B 且时 01 2 n yn 0B lim n n n xA yB 5 如果 而 那么 xx lim lim xaxb ab 若 则 1 01 nn n f xa xa xa 0 0 lim xx f xf x 若 则 0 0Q x 0 00 0 0 0 0 lim lim lim lim xx xxxx xx P x P xP x F xF x Q xQ xQ x 1 010 1 010 lim 0 mm m nn x n mn a xa xaa mn b xb xbb mn 当 当 当 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 函数是由函数与函数复合而成 在点 yf g x ug x yf u f g x 的去心邻域内有定义 若 且存在 当时 有 则 0 x 00 0 lim lim xxxx g xuf uA 0 0 00 xU x 0 g xu 00 lim lim xxxx f g xf uA 第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限 数列夹逼准则数列夹逼准则 如果数列 及满足下列条件 1 从某项起 即 当时 n x n y n z 0 nN 0 nn 有 2 那么数列的极限存在 且 nnn yxz lim lim nn xx yaza n xlim n x xa 4 函数夹逼准则函数夹逼准则 如果 1 当 或 时 2 0 xU x r xM g xf xh x 那么存在 且等于 A lim lim g xAh xA lim f x 定理定理 单调有界数列必有极限 定理定理 设函数在点的某个左邻域内单调并且有界 则在的左极限必定存在 f x 0 x f x 0 x 0 f x 柯西极限存在准则柯西极限存在准则 数列收敛的充分必要条件是 对于任意给定的正数 存在着这样的正整数 n x N 使得当时 就有 mN nN nm xx 两个重要极限两个重要极限 0 sin lim1 x x x 1 0 1 lim 1lim 1 x x xx xe x 第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较 两个无穷小之间的比较两个无穷小之间的比较 如果 就说是比高阶的无穷小 记作 lim0 o 如果 就说是比低阶的无穷小 lim 如果 就说与是同阶无穷小 lim0c 如果 就说是关于的阶无穷小 lim0 0 k ck k 如果 就说是的等价无穷小 记作 lim1 定理定理 与是等价无穷小的充分必要条件为 o 定理定理 设 且存在 则 lim limlim 常用等价无穷小 当常用等价无穷小 当时 时 0 x 以下所有的 x 都可以替换为 f x sin xx tan xx arcsin xx arctanxx 2 1 1 cos 2 xx ln x aa 1ln x axa 1 x ex log1 ln a x x a ln 1 xx 1xx 11 n x x n 0 0 x f t dtxf 第八节第八节 函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点 函数的增量函数的增量 00 yf xxf x 函数的连续性函数的连续性 设函数在点的某一邻域内有定义 如果 yf x 0 x 5 或 那么函数在点连续 00 00 limlim0 xx yf xxf x 0 0 lim xx f xf x yf x 0 x 左连续左连续 如果存在且等于 即 就说函数再点左连续 0 0 lim xx f xf x 0 f x 00 f xf x 0 x 右连续右连续 如果存在且等于 即 就说函数再点右连续 0 0 lim xx f xf x 0 f x 00 f xf x 0 x 区间上的连续函数区间上的连续函数 在区间上每一点都连续的函数 叫做在该区间上的连续函数 或者说函数在该 区间上连续 函数的间断点函数的间断点 如果函数有下列三种情形之一 1 在没有定义 2 虽在有定 f x 0 xx 0 xx 义 但不存在 3 虽在定义 且存在 但 则函数在点 0 lim xx f x 0 xx 0 lim xx f x 0 0 lim xx f xf x f x 为不连续 而点称为函数的不连续点或间断点 0 x 0 x f x 第一类间断点第一类间断点 如果是函数的间断点 但左极限和右极限都存在 那么称为函数的第一 0 x f x 0 x 列间断点 左右极限相等者称为可去间断点 不相等者称为跳跃间断点 第二类间断点第二类间断点 左右极限有一个不存在 或两个都不存在 无穷间断点和跳跃间断点 注意注意 间断点为 0 xx 第九节第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性 连续函数的和 差 积 商的连续性连续函数的和 差 积 商的连续性 设函数和在点连续 则它们的和 差 f x g x 0 xfg 积及商 当时 都在点连续 f g f g 0 0g x 0 x 反函数的连续性反函数的连续性 如果函数在区间上单调增加 或单调减少 且连续 那么他的反函数 yf x x I 也在对应的区间上单调增加 或单调减少 且连续 1 xfy yx Iy yf xxI 复合函数的连续性复合函数的连续性 设函数由函数与函数复合而成 若 yfg x ug x yf u 0f g U xD 而函数在连续 则或 0 0 lim xx g xu yf u 0 uu 00 0 limlim xxuu fg xf uf u 其中 00 limlim xxxx fg xfg x 0 0 lim xx g xu 0 0 lim uu f uf u 复合函数的连续复合函数的连续性 设函数由函数与函数复合而成 若 yfg x ug x yf u 0f g U xD 函数在连续 且 而函数在连续 则复合函数在 ug x 0 xx 00 g xu yf u 0 uu yfg x 也连续 0 xx 定理定理 一切初等函数在其定义区间都是连续的 定律定律 对于形如的函数 通常称为幂指数函数 如果 0 1 v x u xu xu x lim0u xa 6 那么 limv xb lim v x b u xa 第十节第十节 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 在闭区间上连续在闭区间上连续 如果函数在开区间内连续 在右端点 b 左连续 在左端点 a 右连续 那 f x a b 么函数就是在闭区间上连续的 f x a b 有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最 小值 零点定理零点定理 设函数在闭区间上连续 且与异号 即 那么在开 f x a b f a f b 0f af b 区间内至少有一点 使 a b 0f 介值定理介值定理 设函数在闭区间上连续 且在这区间的端点取不同的函数值及 f x a b f aA 那么 对于 A 与 B 之间的任意一个数 C 在开区间内至少有一点 使得 f bB a b fC ab 推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值 求求的渐近线的方法的渐近线的方法 yf x 1 垂直渐近线 是垂直渐近线或 xa lim xa f x lim xa f x 2 水平渐近线 时是水平渐近线 x xb limlim xx f xbf xb 3 斜渐近线 时是斜渐近线 x 0ykxb k lim0 x f x k x lim x f xkxb 2 若是连续的周期函数 周期为 T 则 f x 0 a TT a f x dxf x dx 0 a nTT a f x dxnf x dx 即在任何长度为 T 的区间上的积分值是相等的 3 以 T 为周期的充要条件是 0 x f t dt 0 0 T f t dt 4 设连续函数以 T 为周期 则的全体原函数以 T 为周期的充要条件是 f x f x 0 0 T f t dt 6 0 xa af x f t dt a af x 在为奇函数 当为偶函数时 在为偶函数 当为奇函数时 7 假定在为连续函数 则当为奇函数时 在的全体原函数均为偶函 f x a a f x f x a a 7 数 当为偶函数时 在只有唯一原函数为奇函数 f x f x a a 第二章第二章 导数与积分导数与积分 第一节第一节 导数概念导数概念 导数的定义导数的定义 设函数在点的某个邻域内有定义 当自变量 x 在处取得增量 点 yf x 0 x 0 xx 仍在该邻域内 时 相应的函数取得增量 如果与之比当时的 0 xx 00 yf xxf x y x 0 x 极限存在 则称函数在点处可导 并称这个极限为函数在点处的导数 记为 yf x 0 x yf x 0 x 即 也可记作 0 fx 0 00000 0 000 0 limlimlimlim xxhxx f xxf xf xhf xf xf xy fx xxhxx 或 0 x x y 0 x x dy dx 0 x x df x dx 导函数定义式导函数定义式 或 显然 函数在点处的 0 lim x f xxf x y x 0 lim h f xhf x fx h f x 0 x 导数就是导函数在点处的函数值 即 0 fx fx 0 xx 0 0 x x fxfx 函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在并相等 f x 0 x 0 fx 0 fx 如果函数在开区间内可导 且及都存在 就说在闭区间上可导 f x a b fa fb f x a b 导数的几何意义导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处 f x 0 x 0 fx yf x 00 M xf x 的切线的斜率 即 其中是切线的顷角 切线和 x 轴正方向的夹角 0 tanfx 切线方程切线方程 曲线在点处的切线方程为 yf x 00 M xy 000 yyfxxx 法线方程法线方程 曲线在点处的法线方程为 yf x 00 M xy 00 0 1 yyxx fx 定律定律 函数在点 x 处可导 则函数在该点必连续 反之 一个函数在某点连续却不一定在该点 f x 可导 定律定律 1 设在 I 上可导 若在 I 上为奇函数在 I 上为偶函数 若在 I 上为偶函数 f x f x fx f x 在 I 上为奇函数 fx 2 设在 X 上可导 以 T 为周期在 X 上也以 T 为周期 f x fx 3 设在可导 在连续而不可导 则 g xxa x xa F xg xx Fxgxx 8 在处 g xx xa g0 g0 a g aaa 不可导若 可导且导数为若 4 则先考察的点 这些点可能是不可导点 再考察这些点中的点 f xg x 0g x 0gx 这些点一定是不可导点 第二节第二节 函数求导法则函数求导法则 函数的和 差 积 商的求导法则函数的和 差 积 商的求导法则 设 都可导 则 uu x vv x uvuv CuCu uvu vuv 2 uu vuv vv 反函数的求导法则反函数的求导法则 设在区间内单调 可导且 则它的反函数在 xfy y I 0fy 1 yfx 内也可导 且或 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 xy If I 1 1 fx fy 1dy dx dx dy 复合函数求导法则复合函数求导法则 设 而且及都可导 则复合函数的导数 yf u ug x f u g x yfg x 为或 dydy du dxdu dx y xfugx 常用初等函数导数公式常用初等函数导数公式 0C 1 xx sincosxx cossinxx 2 tansecxx 2 cotcscxx secsec tanxxx csccsc cotxxx ln xx aaa xx ee 1 log ln ax xa 1 ln x x 1 ln x x 2 1 arcsin 1 x x 2 1 arccos 1 x x 2 1 arctan 1 x x 2 1 arccot 1 x x 第三节第三节 高阶导数高阶导数 二阶导数二阶导数 函数的导数仍然是 x 的导数 把的导数叫做函数的 yf x yfx yfx yf x 二阶导数 记作或 即或 n 阶导数 y 2 2 d y dx yy 2 2 d yddy dxdx dx n n d y dx 常用高阶导数常用高阶导数 9 sinsin 2 n n axbaaxbn coscos 2 n n axbaaxbn n xx ee n ax bnax b ea e n n xn 121 n n xnxn 11 n n n axbanaxb 1 1 ln 11 1 n n n n x x 11 ln11 n n n n axban axb 1 1 1 n n n n a n axb axb n nn uvuv 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 二项式定理 0 n n n kkk n k uvC uv 0 n n kn kk n k abC abnN 第四节第四节 隐函数及由参数方程所决定的函数的导数隐函数及由参数方程所决定的函数的导数 相关变化率相关变化率 隐函数的求导方法隐函数的求导方法 方程两边分别对 x 求导 并注意 yy x 幂指函数的求导方法幂指函数的求导方法 对于一般形式的幂指函数 则可以对方程两边取对数 即 0 v yuu 然后再求导 或将函数关系式表示为 lnlnyvu ln yu vuv yu lnvu ye 由参数方程所决定的函数的导数由参数方程所决定的函数的导数 若参数方程确定 y 与 x 之间的关系 则 xt yt dy tdy dt dx dxt dt 第五节第五节 函数的微分函数的微分 微分微分 设函数在某区间内有定义 及在这区间内 如果增量 yf x 0 x 0 xx 可表示为 其中 A 是不依赖于的常数 那么称函数在 00 yf xxf x yA xox x yf x 点是可微的 而叫做函数在点相应于自变增量的微分 记作 即 0 xA x yf x 0 xx dydyA x 函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导 f x 0 x 0 x 函数的微分函数的微分 函数在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作或 即 yf x dy df x dyfxx 自变量的微分自变量的微分 自变量 x 的增量称为自变量的微分 记作 即 于是函数的微x dxdxx yf x 分又可记作 从而有 dyfx dx dy fx dx 10 微分的几何意义微分的几何意义 对于可微函数而言 当是曲线上的点的纵坐标的增量时 yf x y yf x 就是曲线上的点的切线上点的纵坐标的相应增量 dy 函数和 差 积 商的求导法则 函数和 差 积 商的求导法则 d uvdudv d uvvduudvu vdxuv dx 2 uvduudv d vv 复合函数求导法则复合函数求导法则 设和都可导 则复合函数的微分为 yf u ug x dyfu dufu gx dx 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 费马引理费马引理 设函数在点的某领域内有定义 并且在处可导 如果对任意的 f x 0 x 0 U x 0 x 0 xU x 有 或 那么 0 f xf x 0 f xf x 0 0fx 驻点驻点 导数等于零的点为函数的驻点 驻点为 0 xx 罗而定理罗而定理 如果函数满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 3 在区间断 f x a b a b 点处的函数值相等 即 那么在内至少有一点 使得 f af b a b ab 0f 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 那 f x a b a b 么在内至少有一点 使等式成立 a b ab f bf afba 几何意义几何意义 如果连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线 那么这弧上至 yf x A AB 少有一点 C 使曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB 定理定理 如果函数在区间 I 上的导数恒为零 那么在区间 I 上是一个常数 f x f x 柯西中值定理柯西中值定理 如果函数及满足 1 在闭区间上连续 2 在开区间内可导 f x F x a b a b 3 对于任一 那么在内至少有一点 使等式 xa b 0Fx a b ab 成立 f bf af F bF aF 定理定理 1 设在连续 在n 阶可导 若在中有个不同的点取相同的函数值 则 f x a b a b a b1n 使得 a b 0 n f 11 2 设在连续 在n 阶可导 在无零点 则在至多有 n 个不 f x a b a b n fx a b f x a b 同的根 第二节第二节 罗必达法则罗必达法则 未定式未定式 如果当 或 时 两个函数与都趋于零或趋于无穷大 即或 xa x f x F x 0 0 那么极限可能存在 也可能不存在 通常把这种极限叫做未定式 lim f x F x 罗必达法则罗必达法则 设 1 当时 函数及都趋于零或都趋于无穷 2 在点 a 的某去心xa f x F x 邻域内 及都存在 且 3 存在 或为无穷大 那么 fx Fx 0Fx lim xa fx Fx limlim xaxa f xfx F xFx 罗必达法则罗必达法则 设 1 当时 函数及都趋于零或都趋于无穷 2 当时时 x f x F xxN 及都存在 且 3 存在 或为无穷大 那么 fx Fx 0Fx lim x fx Fx limlim xx f xfx F xFx 注意注意 如果不是未定式 就不能用罗必达法则 当存在或为无穷大时 也存在或 lim fx Fx lim f x F x 为无穷大 且等于 但反之不存在时 可能存在 lim fx Fx lim fx Fx lim f x F x 对于的形式 则 v yu ln y ye limlnlim ln lim yvu yee 第三节第三节 泰勒公式泰勒公式 泰勒中值定理泰勒中值定理 如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数 则对任意 f x 0 x a b 1n 有 xa b 2 00 00000 2 n n n fxfx f xf xfxxxxxxxRx n nn f xpxRx 2 00 00000 2 n n n fxfx pxf xfxxxxxxx n 12 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 这里是与 x 之间的某个值 0 x 其中称为函数按的幂展开的 n 阶泰勒多项式 式称为按的幂展开 n px f x 0 xx f x 0 xx 的带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式 称为拉格朗日余项 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 2 00 000000 2 n nn fxfx f xf xfxxxxxxxoxx n 上式为按的幂展开的带佩亚诺型余项的 n 阶泰勒公式 称为佩亚诺 f x 0 xx 0 n n Rxoxx 余项 迈克劳林公式迈克劳林公式 在泰勒公式中 取 0 0 x 2 00 00 2 n n n ff f xffxxxRx n 令 得到带有拉格朗日型余项的迈克劳林公式 01x 1 21 00 0001 2 1 nn nn fffx f xffxxxx nn 带有佩亚诺余项的迈克劳林公式 2 00 00 2 n nn ff f xffxxxo x n 常用泰勒公式常用泰勒公式 2 1 2 n x n xx exR n 1 1 x n n e Rxx n 0 n n Rxo xx 3521 1 2 sin1 3 5 21 n n n xxx xxR n 21 2 cos 1 21 n n n x Rxxx n 2 2 0 n n Rxo xx 2 24 21 11 cos11 2 4 2 n n n x xxxRx n 1 22 21 cos 1 22 n n n x Rxxx n 21 21 0 n n Rxo xx 1 23 111 ln 11 23 n n n xxxxxRx n 1 1 1 1 1 1 1 n n nn Rxxx nx 2 111 11 2 n n n xxxxRx n 13 1 1 11 1 1 1 1 n n n nn Rxxxx n 无穷小阶的运算无穷小阶的运算 1 nmn oxaoxaoxa nm xa 2 nmm n oxaoxaoxa xa 3 nmm n xaoxaoxa xa 4 其中在有界 nn f x oxaoxa f x0 xa 第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 定理定理 设函数在上连续 在内可导 那么 1 如果在内 那么函 yf x a b a b a b 0fx 数在上单调增加 2 如果在内 那么函数在上单调减少 yf x a b a b 0fx yf x a b 曲线凹凸性曲线凹凸性 设在区间 I 上连续如英国对 I 上任意的两点 恒有 f x 1 x 2 x 12 12 22 f xf xxx f 那么称在 I 上的图形是 向上 凹的 或凹弧 如果恒有 那么称 f x 12 12 22 f xf xxx f 在 I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 f x 定理定理 设在上连续 在内具有一阶和二阶导数 那么 1 若在内 f x a b a b a b 0fx 则在上的图形是凹的 2 若在内 则在上的图形是凸的 f x a b a b 0fx f x a b 拐点拐点 如果曲线在经过点时 曲线的凹凸性改变了 或的符号改变了 那 yf x 00 xf x fx 么就称点为这曲线的拐点 00 xf x 注意注意 拐点是 间断点和极值点为 的点和不存在的点都可能是 00 xf x 0 xx 0fx fx 的拐点 对于这两种情况都要分别判断在左右两侧的符号 符号不同时 才是 f x fx 0 x 00 xf x 的拐点 符号相同 则不是的拐点 f x 00 xf x f x 第五节第五节 函数的极值与最大值和最小值函数的极值与最大值和最小值 极大值 极小值 极大值 极小值 设函数在点的某邻域内有定义 如果对于去心邻域内的任 f x 0 x 0 U x 0 U x 14 一 x 有 或 那么就称是函数的一个极大值 或极小值 0 f xx 0 f xx 0 f x f x 定理定理 设函数在可导 且在处取得极值 那么 但的地方 不一定取 f x 0 x 0 x 0 0fx 0 0fx 得极值 定理定理 设函数在处连续 且在的某去心邻域内可导 那么 1 若时 f x 0 x 0 x 0 U x 00 xxx 而时 则在处取得极大值 2 若时 0fx 00 xx x 0fx f x 0 x 00 xxx 而时 则在处取得极小值 3 若时 的符 0fx 00 xx x 0fx f x 0 x 0 xU x fx 号保持不变 则在处没有极值 f x 0 x 定理定理 设函数在处具有二阶导数且 那么 1 当时 函数 f x 0 x 0 0fx 0 0fx 0 0fx 在处取得极大值 2 当时 函数在处取得极小值 f x 0 x 0 0fx f x 0 x 注意注意 闭区间上的最大值或最小值可能是驻点 不可导点或端点值 第七节第七节 曲率曲率 弧弧 s 与与 x 的关系的关系 s 的绝对值等于这段弧的长度 ss x 弧微分公式弧微分公式 2 1dsy dx 曲率曲率 表示弧的弯曲程度 对于圆来说 半径越小 曲率越大 弯曲得越厉害 d K ds 直角坐标方程直角坐标方程的曲率的曲率 yf x 3 2 2 1 y K y 参数方程参数方程的曲率的曲率 xt yt 3 22 2 tttt K tt 曲率半径曲率半径 1 K 第四章第四章 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 原函数原函数 如果在区间 I 上 可导函数的导数为 即对任意 都有或 F x f xxI Fxf x 那么函数就称为 或 在区间 I 上的原函数 dF xf x dx F x f x f x dx 15 原函数存在定理原函数存在定理 如果函数在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 对任一 f x F x 都有 简单的说 就是连续函数一定有原函数 xI Fxf x 注意注意 如果 I 上有第一类间断点 则在 I 上一定不存在原函数 如果 I 上有第二类间断点 则 f x 在 I 上可能存在原函数 比如 在存在间断点 f x 1 y x 0 x 不定积分不定积分 在区间 I 上 函数的带有任意常数项的原函数称为 或 在区间 I 上的 f x f x f x dx 不定积分 记作 其中记号称为积分号 称为被积函数 称为被积表达式 x 称 f x dx f x f x dx 为积分变量 定律定律 不定积分可以表示的任意一个原函数 f x dx f x f x dxF xC 积分曲线积分曲线 函数的原函数的图形称为的积分曲线 f x f x d f x dxf x dx df x dxf x dx f x dxf x df xfx dx Fx dxF xC dF xF xC 记号与 d 连在一起时 或者抵消 或者抵消后差一个常数 基本积分表基本积分表 kdxkxC 1 1 x x dxC ln dx xC x 2 arctan 1 dx xC x 2 arcsin 1 dx xC x cossinxdxxC sincosxdxxC 2 2 sectan cos dx xdxxC x 2 2 csccot sin dx xdxxC x sec tansecxxdxxC csc cotcscxxdxxC xx e dxeC ln x x a a dxC a tanln cosxdxxC cotln sinxdxxC secln sectanxdxxxC cscln csccotxdcxxC 22 1 arctan dxx C axaa 22 1 ln 2 dxxa C xaaxa 22 1 ln 2 dxxa C axaxa 22 arcsin dxx C a ax 22 22 ln dx xxaC xa 22 22 ln dx xxaC xa 2 dx dx x 23 222 22 1 arctan 22 dxxx C aaaxa xa 2 222222 ln 22 xa xa dxxaxxaC 16 112 2222222 23 21 21 nnn dxxndx na xanaxaxa 不定积分的性质不定积分的性质 f xg xdxf x dxg x dx f x dxg x dxf x dxg x dxf xg x 第二节第二节 换元积分法换元积分法 第一类换元法第一类换元法 设具有原函数 可导 则有换元公式 f u ux ux fxx dxf u du 对于积分 总可作变换 把它化为 f axb dx uaxb 11 u ax b f axb dxaxb d axbf u du aa 对于或型函数的积分 总可依次作变换或 求得结果 21 sincos kn xx 21 sincos nk xx cosux sinux 对于型函数 总可利用三角恒等式 化成 22 sincos kl xx 2 1 sin1 cos2 2 xx 2 1 cos1cos2 2 xx 的多项式 然后求解 cos2x 第二类换元法第二类换元法 设是单调的 可导的函数 并且 又设具有原函数 xt 0t ftt 则有换元公式 其中是的反函数 1 tx f x dxftt dt 1 x xt 三角替换三角替换 1 则 22 ax sinxat 22 t 2 则 22 ax tanxat 22 t 3 则 22 xa secxat 0t 2 t 4 则可配方成上述形式 再进行替换 2 axbxc 第三节第三节 分部积分法分部积分法 分部积分法分部积分法 或uv dxuvu vdx udvuvvdu 选取选取 u 和和 dv 要注意要注意 1 v 要容易求出 2 要比容易求出vdu udv 17 分部积分常见形式分部积分常见形式 进行 n 次分部积分 每次均取 为 x n P x e sin n P xx cos n P xx x e sinx cosx v x 多项式部分为 u x 取为 等为 分 ln n P xx arcsin n P xx arctan n P xx n P x v x ln xarcsin xarctan x u x 部积分一次后被积函数的形式发生变化 两部分都可做 但是最好用做 sin x ex cos x ex v x x e v x 第四节第四节 有理函数的积分有理函数的积分 有理函数有理函数 两个多项式的商称为有理函数 当分子多项式的次数小于分母多项式的 P x Q x P x Q x 次数时 称这有理函数为真分式 否则称为假分式 把真分式化为部分分式之和把真分式化为部分分式之和 对于真分式 如果分母可分解为两个多项式的乘积 P x Q x Q x 且与没有公因式 那么它可拆分为两个真分式之和 这个 12 Q x Qx 1 Q x 2 Qx 12 12 P xP xP x Q xQ xQx 步骤叫做把真分式或为部分分式之和 利用多项式的除法总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式 如果被积函数中含有简单根式或 可以令这个简单根式为 u n axb n axb cxd 第五章第五章 定积分定积分 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质 在在上的定积分上的定积分 其中叫做被积函数 叫做被积表达式 x 叫做积分 f x a b b a f x dx f x f x dx 变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 叫做积分区间 a b 定积分几何意义定积分几何意义 定积分在几何上表示曲线 两条直线 与 x 轴所围成 b a f x dx yf x xa xb 的曲边梯形的面积 在上即取得正直又取得负值时 定积分表示在 x 轴上方图 f x a b b a f x dx f x 形面积减去 x 轴下方图形面积所得之差 定理定理 1 设在区间上连续 则在上可积 f x a b f x a b 18 2 设在区间上有界 且只有有限个间断点 则在上可积 f x a b f x a b 3 若在上有界 则在上有定积分 若在上无界 则在 f x a b f x a b f x a b f x 上没有定积分 a b 4 在上有积分 但是不一定有原函数 只有当在上连续时才有原函数 f x a b f x a b 定积分的性质定积分的性质 1 当时 当时 ab 0 b a f x dx ab ba ab f x dxf x dx 2 bbb aaa f xg xdxf x dxg x dx 3 bb aa kf x dxkf x dx 4 设 则 acb bcb aac f x dxf x dxf x dx 5 如果在区间上 则 a b 1f x 1 bb aa dxdxba 6 如果在区间上 则 a b 0f x 0 b a f x 7 如果在区间上 则 a b f xg x bb aa f x dxg x dx 8 bb aa f x dxf x dx 6 设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值和最小值 则 f x a b b a m baf x dxM ba 即 bbb aaa mdxf x dxMdx 7 定积分中值定理定积分中值定理 如果函数在积分区间上连续 则在上至少存在一个点 使 f x a b a b 下式成立 其中称为在区间上的平均值 b a f x dxfba 1 b a ff x dx ba f x a b 8 00 aa f x dxf ax dx 定理定理 1 若在上连续且为偶函数 则 若在上连续且为奇 f x a a 0 2 aa a f x dxf x dx f x a a 函数 则 0 a a f x dx 2 若是连续的周期函数 周期为 T 则 f x 0 a TT a f x dxf x dx 0 a nTT a f x dxnf x dx 即在任何长度为 T 的区间上的积分值是相等的 3 以 T 为周期的充要条件是 0 x f t dt 0 0 T f t dt 19 4 设连续函数以 T 为周期 则的全体原函数以 T 为周期的充要条件是 f x f x 0 0 T f t dt 5 其中 22 00 sincosfx dxfx dx 22 00 1 sincos nn n xdxxdxI n 1 2 n I n 为奇数 为偶数 6 0 xa af x f t dt a af x 在为奇函数 当为偶函数时 在为偶函数 当为奇函数时 7 假定在为连续函数 则当为奇函数时 在的全体原函数均为偶函 f x a a f x f x a a 数 当为偶函数时 在只有唯一原函数为奇函数 f x f x a a 第二节第二节 微积分基本公式微积分基本公式 定理定理 如果函数在区间上连续 则积分上限函数在上可导 并且它 f x a b x a xf t dt a b 的导数 x a d xf t dtf xaxb dx 注意注意 定积分是连续函数的一个原函数 而不定积分是的任意一个原函数 x f x f x 定理定理 如果函数在区间上连续 则函数就是在区间上的一个原 f x a b x a xf t dt f x a b 函数 牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数 则 F x f x a b 这个公式也叫微分基本公式 b a f x dxF bF a 变限积分的求导方法变限积分的求导方法 x a f t dtfxx x x f t dtfxxfxx 若 则 00 xu F xf t dt du 0 x Fxf t dt 第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 定积分的换元法定积分的换元法 假设函数在区间上连续 函数满足条件 1 f x a b xt a 2 在 或 上具有连续导数 且其值域 则有 b t Ra b 定积分的换元公式 b a f x dxftt dt 应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意 1 用把原来变量 x 代换成新变量 t 时 积分限也要换成相应于新 xt 20 变量 t 的积分限 2 求出的一个原函数后 不必像计算不定积分那样再把变换成 ftt t t 原来变量 x 的函数 而只要把新变量 t 的上下限分别代入中然后相减就行了 t 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 或 bb b a aa uv dxuvvu dx bb b a aa udvuvvdu 第四节第四节 反常积分反常积分 无穷限的反常积分无穷限的反常积分 1 函数函数在无穷区间在无穷区间上的反常积分上的反常积分 设函数在区间上连续 取 如果 f x a f x a ta 极限存在 则称此极限为函数在无穷区间