02-第二章 序列Z变换与傅里叶变换

第二章序列的Z变换与傅里叶变换 2 本章目录 序列的Z变换 序列的傅里叶变换 序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换 傅里叶变换的关系 Matlab实现 3 2 1引言 信号与系统的分析方法 时域分析变换域分析 连续时间信号与系统信号用时间t的函数表示系统用微分方程描述 离散时间信号与系统信号用序列表示系统用差分方程描述 4 时域与频域分析 傅里叶变换 时间域 频率域 复频域 拉普拉斯变换 推广 傅里叶变换 时间域 频率域 复频域 Z变换 推广 连续时间信号与系统 离散时间信号与系统 5 本章主要内容 序列的Z变换 Z变换的主要性质 序列的傅里叶变换 傅里叶变换的主要性质 6 2 2序列的Z变换 Z变换及其收敛域的定义几种序列的Z变换及其收敛域逆Z变换Z变换的性质和定理利用Z变换求解差分方程 7 2 2 1Z变换及其收敛域的定义 序列的Z变换定义双边Z变换 单边Z变换 因果序列的Z变换 单边Z变换可以看成因果序列情况下的双边Z变换 8 Z平面与单位圆 变量z的极坐标形式 Z平面 Z变换定义式中z所在的复平面 z是一个连续复变量 具有实部和虚部 单位圆 在Z平面上 z 1为半径的圆单位圆上的参数可表示为 9 例 求序列的Z变换 例2 1求序列的Z变换 解 序列x n 是因果序列 根据Z变换的定义 分析收敛性 X z 是无穷项幂级数 X z 可用封闭形式 即解析函数形式表示为 当 z a时级数发散 当 z a 时级数收敛 10 Z变换的收敛域 根据级数理论 式 2 1 收敛的充分必要条件是满足绝对可和条件 即 收敛域 对于给定的任意序列x n 使其Z变换收敛的所有z值的集合组成的区域 根据罗朗级数性质 收敛域一般是某个环域 收敛半径Rx 可以小到0 Rx 可以大到 收敛域以原点为中心 Rx 和Rx 为半径的环域 11 2 2 2几种序列的Z变换及其收敛域 序列x n 的性质决定了X z 的收敛域 不同形式的序列其收敛域不同 有限长序列 0 z 或0 z 右边序列 Rx z 左边序列 0 z Rx 双边序列 Rx z Rx 12 有限长序列 有限长序列只在有限区间n1 n n2内具有非零的有限值 在此区间外序列值都为零 Z变换 要求 在有限区间内级数的每一项都有界 则有限项的和有界 级数就收敛 x n 有界 开域 边界讨论 z 0及z 两点是否也收敛与n1 n2取值情况有关 具体见教材p40与例题 13 例 求有限长序列的Z变换 例2 2求序列的Z变换 讨论 假设 a 是有限值 且 a 1 X z 有一个z a的极点 但也有一个z a的零点 将零极点对消 收敛域为0 z 解 根据Z变换的定义 14 右边序列 右边序列只在有限区间n n1内具有非零的有限值 在此区间外序列值都为零 Z变换 假设 级数 2 5 在某个圆 z z1 上绝对收敛 15 右边序列 因果 的收敛域 假设 z是圆外任意一点 即 z z1 当n1 0时 序列为因果序列 显然 级数X z 收敛 讨论 级数X z 中没有正幂项 z 时级数收敛 因此收敛域包括 点 即为Rx z 16 右边序列 非因果 的收敛域 当n1 0时 序列为非因果序列 显然 当z取有限值时 级数X1 z 的值有限 而级数X2 z 收敛 所以 级数X z 的收敛域是以Rx 为半径的圆的外部区域 即Rx z 17 左边序列 左边序列只在有限区间n n2内具有非零的有限值 在此区间外序列值都为零 Z变换 假设 级数 2 5 在某个圆 z z2 上绝对收敛 18 左边序列 逆因果 的收敛域 假设 z是圆内任意一点 即 z z2 当n2 0时 序列为逆因果序列 显然 级数X z 收敛 讨论 级数X z 中没有负幂项 z 0时级数收敛 因此收敛域包括0点 即为0 z Rx 19 左边序列 非因果 的收敛域 当n2 0时 序列为非因果序列 显然 当z取0外的有限值时 级数X2 z 的值有限 而级数X1 z 收敛 所以 级数X z 的收敛域是以Rx 为半径的圆的内部区域 即0 z Rx 20 例 求左边序列的Z变换 例2 3求序列的Z变换 解 讨论 当 az 1 即 z 1 a 时 级数收敛 X z 可用封闭形式表示X z 有一个z 1 a的极点 但也有一个z 0的零点 21 双边序列 双边序列指n从 到 都具有非零的有限值 可看成右边序列和左边序列的和 Z变换 讨论 X1 z 收敛域为0 z Rx X2 z 收敛域为Rx z 双边序列Z变换的收敛域是公共部分 如果满足Rx Rx 则X z 的收敛域为环状区域 即Rx z Rx 如果满足Rx Rx 则X z 无收敛域 22 例 求双边序列的Z变换 例2 4己知序列 讨论 极点为z1 a和z2 b零点为z1 0和z2 a b 2收敛域为环域a z b 解 如果0 a b 求其Z变换及其收敛域 23 2 2 3逆Z变换 逆Z变换 由X z 及其收敛域求序列x n 的变换 求逆Z变换的方法 幂级数法 长除法 部分分式展开法围线积分法 24 幂级数法 长除法 Z变换的定义可知 X z 是复变量z 1的幂级数 其系数是序列x n 的值 显见 只要在给定的收敛域内 把X z 展开成幂级数 则级数的系数就是序列x n X z 展开成幂级数的方法 log sin cos等函数 利用幂级数公式有理分式 直接用长除法 25 例 幂级数法求逆Z变换 例2 5求 a z 的逆Z变换 展开X z 得 解 利用ln 1 x 且 x 1的幂级数公式 由收敛域 a z 知x n 为右边序列 注 X z 的闭合形式加上收敛域 才能唯一确定x n 26 长除法 展开有理分式X z 使用前判定对应x n 类型 由收敛域确定右边序列 或因果序列 左边序列 或逆因果序列 根据x n 类型展开X z 右边序列 X z 展成负幂级数 分子分母应按z的降幂排列左边序列 X z 展成正幂级数 分子分母应按z的升幂排列 27 例 长除法 X z 降幂排列 例2 6求 z 3的逆Z变换 解 收敛域是圆外部 对应右边序列 当z 时 X z 趋近于有限值0 说明收敛域包括 点 因此是因果序列 把X z 的分子分母按z的降幂排列 长除运算 得 由此得到 28 例 长除法 X z 升幂排列 例2 7求 z 3的逆Z变换 解 收敛域是圆内部 对应左边序列 当z 0时 X z 趋近于有限值0 说明收敛域包括0点 因此是逆因果序列 把X z 的分子分母按z的升幂排列 长除运算 得 由此得到 29 部分分式展开法 方法 如果有理分式X z 是两个实系数多项式P z 和Q z 的比 展开成部分分式 求各简单分式的逆Z变换 再相加得到x n 式中 ck是X z 的非零零点 dk是X z 的非零极点P z 和Q z 的阶次分别为M和N 30 部分分式系数的计算 当M N且X z 只有一阶极点时 则 由留数定理 当M N且X z 除有一阶极点外 在z di处还具有s阶极点 则 式中 Br用长除法得到 系数cm由式 2 13 得到 31 例 部分分式法求逆Z变换 例2 用部分分式法求逆Z变换 求得系数为 解 收敛域为圆外 右边序列 z 时 X z 趋近于有限值1 确定是因果序列 X z 有两个一阶极点 z1 2和z2 0 5 查表2 1可得 32 2 2 4Z变换的性质和定理 线性 满足叠加原理Z ax n by n aX z bY z R z R 2 20 例2 12求序列x n u n u n 3 的Z变换 由于出现零极点抵消 收敛域增大了 由于x n 是n 0的有限长序列 收敛域是除 z 0之外的全部z平面 33 Z变换性质 序列的移位 证明 乘以指数序列 证明 34 Z变换性质 序列的线性加权 证明 序列的折叠 证明 35 Z变换性质 初值定理 初值定理 若x n 是因果序列 即x n 0 n 0 则 证明 x n 是因果序列 有 显然 若x n 是逆因果序列 即x n 0 n 0 有 36 Z变换性质 终值定理 终值定理 若x n 是因果序列 且X z 的全部极点 除在z 1处可以有一阶极点外 其余极点都在单位圆内 则 证明 由移位性质可得 x n 是因果序列 则 有 37 Z变换性质 序列的卷积 W z Z x n y n X z Y z R z R 证明 交换求和次序 并代入m n k得 38 例 Z变换性质求卷积 例2 X z 和H z 收敛域分别为 z a和 z b 所以 解 查表得 由收敛域知y n 是因果序列 讨论 在z a处 X z 的极点被H z 的零点所抵消 如果 b a 则Y z 的收敛域比X z 与H z 收敛域的重叠部分要大 如图2 10所示 39 2 2 5利用Z变换求解差分方程 N阶线性常系数差分方程 时域求解 Z变换移位性质 Z变换求解 差分方程 代数方程 Z变换式 输出序列 逆Z变换 解方程 40 例 Z变换求差分方程 例2 5已知一个线性时不变系统的差分方程y n ay n 1 x n 设初始条件y 1 2 输入时系统的输出序列 解 于是 零输入解和零状态解分别为 41 2 3序列的傅里叶变换 序列傅里叶变换的定义 序列傅里叶变换的性质 周期序列的傅里叶级数表示 周期序列的傅里叶变换表示 42 2 3 1序列傅里叶变换的定义 序列的傅里叶变换定义 傅里叶逆变换定义 由Z变换定义式 比较可见 序列的傅里叶变换在数值上等于它在z平面单位圆上取值的Z变换 43 傅里叶变换对的计算 频谱用实部和虚部表示 频谱用幅度和相位表示 幅度特性 相位特性 44 例 求序列傅里叶变换 例2 6求序列x n RN n 的傅里叶变换 解 画出模和相位的曲线 如图2 11 45 序列傅里叶变换的特点 频谱是 的连续周期函数 周期为2 x n 为实序列时 频谱幅度在区间0 2 内是偶对称函数 相位是奇对称函数 46 2 3 2序列傅里叶变换的性质 线性 满足叠加原理 2 序列的移位 3 序列的调制 4 序列乘以n 47 序列傅里叶变换的性质 5 序列的折叠 6 序列的复共轭 7 序列的卷积 令n k m 48 序列的乘积 8 序列的乘积 49 序列的乘积 8 帕斯瓦尔定理 能量守恒定理 表明信号在时域的总能量等于其频域的总能量 50 序列傅里叶变换的对称性 任何序列x n 总能表示为一个共轭对称序列xe n 和共轭反对称序列xo n 之和 定义xe n 和xo n 序列x n 与xe n 和xo n 的关系 51 序列傅里叶变换的对称性质 52 2 3 3周期序列的傅里叶级数表示 周期序列定义 周期序列不是绝对可和的 在任何z值下 其Z变换都不收敛 周期序列的傅里叶级数表示 ak 傅里叶级数的系数基频序列 e1 n k次谐波序列 ek n 53 周期序列用离散傅里叶级数表示 离散傅里叶级数只有N个独立谐波分量 因为复指数序列是k的周期函数 周期序列 只取k 0到N 1的N个独立谐波分量足以表示原信号 54 周期序列的离散傅里叶级数变换对 DFS推导过程见P63 得到变换对 离散傅里叶级数正变换 离散傅里叶级数反变换 55 周期序列 时域与频域 时域周期序列的离散傅里叶级数在频域也是周期序列 周期序列与有限长序列之间本质联系 周期序列的信息可用它在一个周期中的N个值来代表 式 2 76 与 2 77 中只取N个序列值说明这一点 56 例 求周期序列的傅里叶级数 例2 7设 0 1 2 3 0 1 2 3 是一个以N 4为周期的周期序列 求离散傅里叶级数 解 因此得到 离散傅里叶级数 6 2 2j 2 2 2j 6 2 2j 2 2 2j 57 2 3 4周期序列的傅里叶变换表示 例2 8设 1 1 1 1 0 0 0 0 是一个以N 8为周期的周期序列 求傅里叶变换 解 如图2 14 a 是周期序列的周期N 8 傅里叶变换为 参考例2 16 可以得到 58 2 4序列的Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换 傅里叶变换的关系 对连续时间信号的理想取样输出 求拉普拉斯变换 与离散时间信号的 变换式比较 得到 当时 取样序列xa nT 的 变换等于取样信号的拉普拉斯变换 59 s平面到z平面的映射关系 将s平面用直角坐标表示 即s j z平面用极坐标表示 代入式 2 90 中 得到 因此 0时 r0 1 s平面的j 轴映射成z平面的单位圆 0时 r0 1 s平面的左半平面映射成z平面的单位圆内部 0时 r0 1 s平面的右半平面映射成z平面的单位圆外部 60 序列的Z变换与傅里叶变换的关系 傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例 即s j 因而映射到z平面上为单位圆 代入式 2 89 得 取样序列在单位圆上的 变换 等于其理想取样信号的傅里叶变换 61 2 5Matlab实现 序列逆Z变换的Matlab实现 周期序列傅里叶级数的Matlab实现 62 2 5 1序列逆Z变换的Matlab实现 函数residuez 适合计算离散系统有理函数的留数和极点 可以用于求解序列的逆Z变换 函数residuez基本调用方式 r p c residuez b a 输入参数 b b0 b1 bM 为分子多项式的系数 a a0 a1 aN 为分母多项式的系数 这些多项