量子力学 第三章

3 2动量算符和角动量算符 3 3电子在库仑场中的运动 一 电子在库伦场中的运动 辏力场的一种形式 体系Hamilton量 U r Zes2 r 考虑一电子在一带正电的核所产生的电场中运动 电子质量为 电荷为 e 核电荷为 Ze 取核在坐标原点 电子受核电的吸引势能为 H的本征方程 对于势能只与r有关而与 无关的有心力场 使用球坐标求解较为方便 于是方程可改写为 2 求解Schrodinger方程 1 分离变量化简方程 注意到L2Ylm 1 2Ylm则方程化为 令R r u r r代入上式得 若令 讨论E 0情况 方程可改写如下 于是化成了一维问题 势V r 称为等效势 它由离心势和库仑势两部分组成 令 2 求解 I 解的渐近行为 时 方程变为 所以可取解为 有限性条件要求A 0 2 II 求级数解 令 为了保证有限性条件要求 当r 0时R u r 有限成立 即 代入方程 令 1第一个求和改为 把第一个求和号中 0项单独写出 则上式改为 再将标号 改用 后与第二项合并 代回上式得 s s 1 1 b0 0 s s 1 1 0 S 不满足s 1条件 舍去 s 1 高阶项系数 s 1 s 1 b 1 s b 0 系数b 的递推公式 注意到s 1 上式之和恒等于零 所以 得各次幂得系数分别等于零 即 3 使用标准条件定解 3 有限性条件 1 0时 R r 有限已由s 1条件所保证 2 时 f 的收敛性如何 需要进一步讨论 所以讨论波函数的收敛性可以用e 代替f 后项与前项系数之比 可见若f 是无穷级数 则波函数R不满足有限性条件 所以必须把级数从某项起截断 与谐振子问题类似 为讨论f 的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比 最高幂次项的 max nr 令 注意此时多项式最高项的幂次为nr 1 则 量子数取值 由 定义式 由此可见 在粒子能量小于零情况下 束缚态 仅当粒子能量取En给出的分立值时 波函数才满足有限性条件的要求 En 0 将 n代入递推公式 利用递推公式可把b1 b2 bn 1用b0表示出来 将这些系数代入f 表达式得 其封闭形式如下 缔合拉盖尔多项式 总波函数为 至此只剩b0需要归一化条件确定 则径向波函数公式 径向波函数 第一Borh轨道半径 使用球函数的归一化条件 利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下 从而系数b0也就确定了 4 归一化系数 下面列出了前几个径向波函数Rnl表达式 1 本征值和本征函数 2 能级简并性 能量只与主量子数n有关 而本征函数与n m有关 故能级存在简并 当n确定后 n nr 1 所以 最大值为n 1 当 确定后 m 0 1 2 共2 1个值 所以对于En能级其简并度为 即对能量本征值En由n2个本征函数与之对应 也就是说有n2个量子态的能量是En n 1对应于能量最小态 称为基态能量 E1 Z2es4 2 2 相应基态波函数是 100 R10Y00 所以基态是非简并态 当E 0时 能量是分立谱 束缚态 束缚于阱内 在无穷远处 粒子不出现 有限运动 波函数可归一化为一 n nr l 0 1 2 nr 0 1 2 二 总结 3 4氢原子 纵坐标是 3 5厄米算符本征函数的正交性 2 简并情况 上面证明厄密算符本征函数的正交性时 曾假设这些本征函数属于不同本征值 即非简并情况 如果F的本征值是f度简并的 则对应有f个本征函数 n1 n2 nf 满足本征方程 一般说来 这些函数并不一定正交 证明分如下两步进行 2 满足正交归一条件的f个新函数 nj可以组成 1 nj是本征值的本征函数 1 nj是本征值的本征函数 2 满足正交归一条件的f个新函数 nj可以组成 方程的归一化条件有f个 正交条件有f f 1 2个 所以共有独立方程数为二者之和等于f f 1 2 为此只需证明线性叠加系数Aji的个数f2大于或等于正交归一条件方程个数即可 综合上述讨论可得如下结论 既然厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的 所以以后凡是提到厄密算符的本征函数时 都是正交归一化的 即组成正交归一系 因为f2 f f 1 2 f f 1 2 0 所以 方程个数少于待定系数Aji的个数 因而 我们有多种可能来确定这f2个系数使上式成立 f个新函数 nj的确是算符F对应于本征值的正交归一化的本征函数 3 6算符与力学量的关系 3 7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 1 定义 为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学量算符的最小 数目 集合称为力学量完全集 例1 三维空间中自由粒子 完全确定其状态需要三个两两对易的力学量 例2 氢原子 完全确定其状态也需要三个两两对易的力学量 例3