结构力学力法的计算.ppt

1 第七章力法 第二篇超静定结构 2 1 从几何构造分析的角度来看 超静定结构是具有多余约束的几何不变体系 7 1超静定结构的组成和超静定次数的确定 一 超静定结构的组成 2 从静力学的角度来看 若只考虑静力平衡条件 超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一地确定 还要补充位移协调条件 超静定结构具有如下特征 3 如下图所示的单跨静定梁 若只满足平衡条件 支座B处的竖向反力可以是任意值 若只满足平衡条件 超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答 A B EI l 4 二 结构的超静定次数的确定 结构的超静定次数n 结构中多余约束的数目n 通常使用的方法是拆除多余约束法 或切断多余联系法 即将原结构变成为静定结构所必须拆除 或切断 的多余约束 或联系 的总数目n 1 去掉或切断一根链杆 相当于去掉一个约束 为了确定结构的超静定次数n 一般规则为 2 去掉一个简单铰 相当于去掉两个约束 5 3 去掉一个固定支座或切断一根梁式杆件 相当于去掉三个约束 举例说明 n 2 n 2 多跨静定梁 单跨悬臂梁 4 将梁式杆上的一个刚结点改为一个简单铰结点 相当于去掉一个约束 6 静定多跨梁 简支刚架 悬臂刚架 7 n 2 n 3 8 n 3 不能把原结构拆成几何可变体系 此外 要把超静定结构的多余约束全部拆除完 n 1 9 10 7 2力法的基本原理 求解任何一个超静定结构 除应满足平衡条件外 还必须满足位移协调条件 一 一次超静定结构的力法计算 1 力法的基本体系和基本未知量 如下图示单跨超静定梁 去掉支座B的链杆 用相应的未知力X1代替 X1称为力法基本未知量 去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构 11 12 2 力法方程 力法方程为 基本结构的位移 原结构的位移 原结构B截面竖向位移 因为 所以力法方程可写为 13 讨论 3 系数及自由项的物理意义 基本结构在FP作用下沿X1方向的位移 1 力法方程的实质是位移协调方程 2 方程的物理意义 基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移 基本结构在作用下沿X1方向的位移 14 3 力法计算 1 求系数及自由项 15 3 作内力图 2 求未知力X1 16 思考题 基本体系 基本结构 17 二 多次超静定结构的力法计算 原结构 基本体系 下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力分别作用下的位移图 BH 0 BV 0 B 0 BH 0 BV 0 B 0 18 19 力法方程为 根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义 主系数 11 22 33恒大于零 永远为正值 副系数 ij i j 可能大于 等于或小于零 20 由位移互等定理 ij ji 即 12 21 23 32 31 13 作图及MP图 求出力法方程的系数和自由项 解方程求出力法未知量 然后根据下式求最后内力为 21 对于任意一个n次超静定结构 已知n个位移条件时 其力法的一般 典型 方程为 这是一个关于基本未知量的n元一次的线性方程组 解此线性方程组 可求得n次超静定结构的基本未知量 22 写成矩阵形式为 即 上三角 下三角 主对角线 主系数 位移 正值 副系数 位移 任意值 自由项 任意值 23 三 超静定结构在支座移动时的力法计算 超静定结构产生支座移动时的力法计算对理解力法的解题思路很有帮助 与静定结构不同 超静定结构产生支座移动时 结构不仅产生变形 而且有内力 下面讨论超静定结构产生支座移动时力法的解题思路 原结构 受X1及支座转角 共同作用 只有X1作用 支座转角 对杆端A无影响 24 受X1及支座转角 共同作用 解 1 选两种不同的基本体系进行求解 如下图示 2 力法的典型方程 位移条件 力法方程 只有X1作用 支座转角 对杆端A无影响 25 3 求系数和自由项 4 求未知力X1 26 5 作内力图 在基本体系II中 若X1为逆时针方向 如下图示 则力法方程成为 27 小结 2 当基本体系有支座移动时 自由项按下式求解 3 当超静定结构有支座移动时 其内力与杆件的抗弯刚度EI成正比 EI越大 内力越大 为基本体系的支座位移 为基本体系由产生的支座反力 1 当超静定结构有支座位移时 所取的基本体系上可能保留有支座移动 也可能没有支座移动 应当尽量取无支座移动的基本体系 28 例7 2 1写出图示刚架的在支座发生移动时的力法方程 并求出方程中的自由项 iC 解 1 分别取两种不同的基本体系如下图示 29 基本体系I 基本体系II 2 建立力法的典型方程 讨论力法的典型方程的系数及自由项的物理意义 CH 0 CV 0 A 30 3 求系数和自由项 本例主要讨论自由项的求法 其余计算略去 基本体系I 31 基本体系II 32 7 3采用力法求解超静定结构举例 一 多跨连续梁 原结构 例7 3 1试求图示多跨连续梁的在均布荷载作用下的内力 并作M图和图 33 基本体系 静定的多跨连续梁 X2 采用力法求解连续梁的内力 选取的基本体系时最好是将杆件在中间支座处的刚结点改变为铰结点 如下图所示 解 1 确定多跨连续梁结构的超静定次数 选取基本体系 容易确定此结构的超静定次数为2次 X1 34 原结构的位移连续条件为 铰B左右截面相对转角等于零 铰C左右截面相对转角等于零 2P 0 35 2 力法的典型方程为 方程各系数示于上页图中 讨论方程和系数的物理意义 3 求方程中的系数和自由项 i 作图 图及MP图见下页图示 下述弯矩图具有一个共同特征 弯矩图的局部化 36 ii 计算系数和自由项 37 4 求解基本未知量 解方程得 5 作多跨连续梁的最后内力图 1 根据下式求各截面的最后M值 然后画最后M图 将系数和自由项代入力法方程 38 AB杆 2 根据M图求各杆剪力 并画图 39 很容易求得CD杆剪力为 BC杆 40 二 超静定刚架 例7 3 1求作图示超静定刚架的M图 X2 基本体系 X1 1 确定此刚架结构的超静定次数 选取基本体系 解 容易确定此结构的超静定次数为2次 选取基本体系如上图所示 41 2 力法的典型方程为 3 求方程中的系数和自由项 i 作图 图及MP图见下页图示 ii 采用图乘法计算系数和自由项 42 43 44 将求得的系数代入力法方程就得到 解方程得 4 求解基本未知量 45 刚架的弯矩图为 可见 柱AB相当于在横梁BC的B端提供了固定约束 5 作刚架的最后内力图 1 当 即E1I1很小或E2I2很大 则 46 2 当k 1 即E1I1 E2I2 则刚架的弯矩图如图a 所示 3 当 即E1I1很大或E2I2很小 由于柱AB的抗弯刚度趋近于零 只提供轴向支撑 故梁BC相当于简支梁 其M图如图b 所示 47 在荷载作用下 超静定结构的内力只与各杆抗弯刚度EI的比值k有关 而与杆件抗弯刚度EI的绝对值无关 如果荷载不变 调整杆件间的抗弯刚度的比值k 结构的内力可以进行重新分配 48 三 超静定桁架 以下图示超静定桁架为例 讨论两种基本体系的处理方法 除注明者外 其余各杆刚度为EA 原结构 49 基本体系I 力法的典型方程为 力法方程的物理意义是 基本结构在荷载和多余未知力X1的共同作用下 杆件AB切口处左右两侧截面的相对水平位移等于零 基本结构中包括杆件AB 基本体系I 50 基本体系II 力法的典型方程为 力法方程的物理意义是 基本结构在荷载和多余未知力X1的共同作用下 结点A B的相对水平位移等于杆件AB的伸长 但符号相反 基本结构中不包括杆件AB 51 例7 3 2求上图示超静定桁架中各个杆件的轴力 其中各杆EA相同 解 1 确定此桁架结构的超静定次数 选取基本体系 经判定此结构为1次超静定桁架 切断杆件AB 选取基本体系I 基本体系I 52 2 力法的典型方程为 3 求方程中的系数和自由项 i 求得各杆及FNP标于图中 53 ii 计算系数和自由项 4 求解基本未知量 54 5 采用叠加法 求桁架中各个杆件的轴力 55 四 排架 单层工业厂房结构的计算简图 单层单跨工业厂房 56 例7 3 3求作图示排架的M图 原结构 排架结构在求解时 通常切断链杆得到力法的基本结构 这样 MP图和图局部化 求解力法方程的系数比较简单 57 解 2 力法的典型方程为 方程的物理意义 横梁切口处左右截面的相对水平位移等于零 1 确定此桁架结构的超静定次数 选取基本体系 经判定此结构为二次超静定排架 切断两根链杆 选取基本体系如图 58 3 求方程中的系数和自由项 i 作图 图及MP图 如下图所示 59 ii 采用图乘法 计算系数和自由项 MP图 60 61 5 作最后弯矩图M图 M图 kNm 4 求解基本未知量 62 五 单跨超静定梁有支座移动时的弯矩图 1 一端固定 一端铰支的梁 63 2 一端固定 一端铰支的梁 64 3 两端固定的梁 65 4 一端固定 一端定向滑支的梁 66 5 两端固定的梁 67 依据3 很容易得到右图示内力图 6 两端固定的梁 68 7 4力法的简化计算 一 力法简化计算的思路 若结构的超静定次数为n 则在荷载作用下的力法的典型方程为 69 写成矩阵形式为 即 上三角 下三角 主对角线 主系数 位移 正值 副系数 位移 任意值 自由项 任意值 70 上述力法的典型方程中 主系数 ij i j 恒大于零 副系数 ij i j 则可能大于零 等于零或小于零 即可取任意值 若能使全部副系数 ij等于零 则方程组解耦 力法的典型方程变为 即便不能使全部副系数等于零 若能使大部分副系数等于零 则力法计算也将大大简化 所以 力法简化计算的目的 使尽可能多的副系数等于零 71 二 非对称结构的简化计算 对于非对称结构 为简化计算 应尽量使图及MP图局部化 以简化方程系数的计算 所以 取基本体系时应考虑这一因素 选取多跨静定梁为基本结构 超静定多跨连续梁 72 选取悬臂梁为基本体系 选取悬臂刚架为基本体系 73 三 对称结构的简化计算 对称结构 结构的几何形状 支承条件 杆件的材料性质及杆件的刚度均关于某个轴对称就称为对称结构 用力法解对称结构 应取对称的基本结构 只有这样才能简化计算 1 对称结构在对称荷载作用下 74 X1 X2 对称的未知力 X3 反对称的未知力 根据 MP图的对称性或反对称性可知 于是 原力法方程变为 75 结论 对称结构在对称荷载作用下 其反对称的未知力为零 只有对称的未知力 2 对称结构在反对称荷载作用下 76 根据 MP图的对称性或反对称性可知 于是 原力法方程变为 77 对于前两个方程所组成的方程组 因其右端项为零 且系数行列式的值通常不等于零 即 结论 对称结构在反对称荷载作用下 其对称未知力为零 只有反对称未知力 于是 方程组只有零解 X1 0 X2 0 78 3 奇数跨或偶数跨对称结构的处理 若对称结构是奇数跨 则存在与对称轴相交之截面 切开该截面 则未知力分为两组 对称未知力和反对称未知力 若荷载对称或反对称 则按前述方法处理 X1 X2为对称未知力 X3为反对称未知力 79 若对称结构是偶数跨 则不存在与对称轴相交之截面 此时应根据荷载情况分别处理 1 对称荷载 对称结构在该对称荷载作用下 其内力和位移均对称 80 2 反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下 其内力和位移均反对称 81 4 非对称荷载的处理 对称结构通常作用有非对称荷载 处理方法为 1 非对称荷载 分解为对称荷载和反对称荷载分别计算 然后叠加两种情况的结果 82 2 非对称荷载 荷载不分解 只取对称基本体系 83 根据 MP图的对称性或反对称性可知 于是 原力法方程变为 84 5 组合未知力 广义未知力 结合下图示刚架进行说明 85 力法方程为 86 在上题中 X1实质上是对称结构在对称荷载作用下产生的未知力 而X2则是反对称荷载产生的未知力 87 四 举例 例7 4 1如右图所示刚架结构 讨论用力法简化计算 利用对称性 将荷载分解为对称荷载和反对称荷载 在对称结点荷载作用下 由于不考虑杆件的轴向变形 其M等于零 在反对称结点荷载作用下 只有一个未知量X1 解 88 89 将荷载分为两组 第一组荷载关于x和y轴都对称 见图b 第二组荷载关于y轴对称 关于x轴反对称 见下页图c 例7 4 2如图所示对称结构 各杆EI相同 讨论力法的简化计算 利用对称性 解 90 由于不考虑杆件的轴向变形 如上图b 所示荷载作用下各杆弯矩等于零 如图c 所示 荷载关于x轴反对称 切开与x轴相交的截面 未知力分为两组 对称未知力X1 X2以及反对称未知力X3 所以对称未知力X1 X2等于零 只有反对称未知力X3 如图d 所示 91 7 5温度变化及有弹性支座时结构的计算 一 温度变化时结构的力法计算 下面通过例题进行说明 例7 5 1图示刚架 混凝土浇筑时温度为15 到冬季时室外温度为 35 室内温度保持不变 求作刚架的M图 各杆EI相同 线膨胀系数为 92 经判定此刚架结构为一次超静定 切断一根支座链杆 选取基本体系如下图所示 1 确定此刚架结构的超静定次数 选取基本体系 解 2 力法的典型方程为 3 求方程中的系数和自由项 i 作图和图 如下图所示 93 温度改变值 所以 ii 采用图乘法计算系数和自由项 94 4 求解基本未知量 95 5 作最后弯矩图M图 不能 96 二 具有弹性支座时结构的力法计算 弹性支座可分为拉压弹性支座和扭转弹性支座两类 如下图所示 97 解 容易确定此刚架为一次超静定 将拉压弹簧与杆端C分开 取基本体系如下图示 其中 例7 5 2求作下图所示具有弹性支座刚架的M图 基本体系 1 确定此刚架结构的超静定次数 选取基本体系 2 力法的典型方程为 98 3 求方程中的系数和自由项 ii 采用图乘法计算系数和自由项 i 作图和图 如下图所示 99 若基本体系保留有弹性支座 则求方程的系数比较繁琐 应尽量避免 详见下面的例题 4 求解基本未知量 5 作最后弯矩图M图 100 例7 5 3求下图所示具有弹性支座单跨梁的M图 解 b 基本体系 1 确定此单跨梁结构的超静定次数 选取基本体系 容易确定此单跨梁为一次超静定结构 取基本体系如下图示 其中 2 力法的典型方程为 101 3 求方程中的系数和自由项 ii 采用图乘法计算系数和自由项 i 作图和图 如下图所示 102 103 4 求解基本未知量 5 作最后弯矩图M图 104 7 6超静定结构的位移计算及力法计算的校核 一 超静定结构的位移计算 用力法求出超静定结构的内力后 欲求某截面的位移 则单位荷载可以加在任意选定的基本体系上 即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上进行 对于任意一个超静定结构 所选取的各种基本体系在外因 荷载作用 温度变化 支座移动及制造误差等 以及多余未知力共同作用下 其内力和变形与原结构的完全相同 所以求原结构的位移就转化为求基本体系的位移 105 例7 6 1求两端固定的梁中点竖向位移 CV EI为常数 解 1 单位荷载加在原结构上 106 2 单位荷载加在基本体系I上 107 3 单位荷载加在基本体系II上 108 例7 6 2求图示刚架结点水平位移 DH 结构M图及各杆EI如图示 单位荷载分别可加在四种基本体系上 显然加在基本体系I上时计算最简单 见下页图 解 109 110 111 二 温度变化及支座移动时的位移计算 1 温度变化时的位移计算 b M图 如图a 所示结构的M图已求