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第二章 矩阵 本章要点1. 矩阵的概念与运算；2. 分块矩阵；3. 可逆矩阵及性质；4. 矩阵的初等变换；5. 矩阵的秩。学习目标1理解矩阵的基本概念；2掌握矩阵的运算及其基本性质；3. 掌握逆矩阵和矩阵的秩的求法；4. 掌握矩阵的初等变换；5. 会进行矩阵的分块运算。矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。第一节 矩阵的概念与运算一、矩阵的概念矩阵是从许多实际问题中抽象出来的一个数学概念,它在自然科学的各个领域和经济管理、经济分析中有着广泛的应用。来看这样一个简单的实例：例2.1 某种物资有3个产地,4个销地,调配量如表2.1所示。表 2.1销地产地B1B2B3B4A11635A23120A34012那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：或在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。定义2.1 由个数或代数式构成的一个行列的矩形列表或称为一个行列的矩阵。其中称为矩阵的第行列的元素。矩阵的元素属于数域，称其为数域的矩阵。若无特别说明，本书里的矩阵均指实数域上的矩阵。一般用大写的字母，表示矩阵；有时为了突出矩阵的行列规模，也对大写字母右边添加下标，如的矩阵可以表为；还有，要同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式标记。若矩阵的所有元素为零，则称其为零矩阵，记为，不引起混淆时也可简记为。当矩阵的行列数相等时，即时称其为阶方（矩）阵或简称为方阵；一阶方阵也常作为一个数对待。对于阶方阵，由它的元素按原有排列形式构成的行列式称为方阵的行列式，记为或。定义2.2 如果两个矩阵，具有相同的行数、列数，即，且对应位置上的元素相等，那么称矩阵与矩阵相等，记为。例2.2 设矩阵,且,试求。解 因为，故有：，联解求得：，。二、矩阵的运算1.矩阵的线性运算加法与数乘矩阵定义2.3 两个矩阵，对应位置上的元素相加得到的矩阵，称为与的和，记为。定义2.4 以数乘以矩阵的每个元素所得的矩阵，称为数与矩阵的乘积，若，则是。例2.3 有4名学生的某3门课的平时考查成绩矩阵为：而课程结业考试的卷面成绩矩阵为：规定各门课程的考核成绩由平时考查和卷面考试的成绩分别占30%和70%构成，求4名学生的考核成绩矩阵。解 考核成绩矩阵为 把中的各元素反号得到的矩阵，称为的负矩阵，记为，即。如果，则定义减法为：。显然，矩阵的线性运算满足如下运算规律（设都是矩阵，为数）：（1）；（2）；（3）若；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9），当且仅当或。例2.4 已知，且，求。解 由得例2.5 设为三阶矩阵，若已知，求。解 因为为三阶矩阵，不妨设，则，所以 一般地，对于阶方阵，有（为常数）。2矩阵的乘法定义2.5 设矩阵,那么规定矩阵与矩阵有乘积且为一个的矩阵,其中，记为。同时称为左乘矩阵，为右乘矩阵。由矩阵乘法的定义可得如下结论：（1）左乘矩阵的列数要等于右乘矩阵的行数，乘法才有意义；（2）积矩阵的行数等于左乘矩阵的行数，的列数等于右乘矩阵的列数。例2.6 已知，求，。解 ； ； 无定义； 。例2.7 已知，求，；比较与。解 ，；显然，但.从例2.6与例2.7可以看出，矩阵乘法不满足交换律，也不满足消去律；还有不能必然推出或。不过，下例却成立。例2.8 已知，求，。解 ，。定义2.6 如果两矩阵与相乘，满足，则称与可交换。从可交换定义可推出结论：可交换的矩阵必为同阶方阵。设，且可交换。则据可交换定义和矩阵乘法定义的推出结论有： ，于是 ，即是说与为同阶方阵。例2.9 设，试求出所有与可交换的矩阵。解 假设矩阵与可交换，则为二阶矩阵，可令，于是由，即得：，所以 ，即，其中为任意值。例2.10 解矩阵方程。 解 由乘法定义可推知为一2阶矩阵，故可设，于是，即，解之得；所以 。可以验证矩阵乘法和数与矩阵乘法满足下列运算规律（假设运算可以进行，为常数）：（1）结合律 ；（2）分配律 ，；（3）。为了与后面各章节一致，单行矩阵或单列矩阵有时也用小写字母，等表示。有了矩阵的乘法,可以将线性方程组简洁地表为矩阵形式，对于方程组令,则方程组的矩阵形式为：。若将常向量换为变量向量，则方程组变换为了一簇线性函数：，即，称之为由变量，到，的线性变换，为线性变换的矩阵。在前面,介绍了方阵的行列式,数乘矩阵的行列式的性质。下面，来讨论方阵乘积的行列式的运算规律。定理2.1 设,是两个阶方阵,则。证明 设,可构造一个阶行列式,据拉普拉斯定理将行列式按前行展开,就得；又在中将第1列的倍，第2列的倍，第列的倍同时加到第列去，则可得运算将的第行与行对换（），得： ，所以 。此定理可以推广到有限个方阵，乘积的行列式的情形：。例2.11 阶方阵的行列式的元素的代数余子式()构成矩阵称为方阵的伴随矩阵。试证明：（1）；（2）当时，。证明 (1)设,由矩阵乘法定义有: ().所以 ；类似可以证得 。故 。（2）由（1）的结论和矩阵乘积的行列式定理有，所以，又，故。若相乘的矩阵为一系列相等的矩阵，则乘积称为该矩阵的方幂。由矩阵乘法的定义可知，方阵才有方幂的定义。称为方阵的次幂。相应的，方阵的幂具有下列性质(为正整数)：（1）； （2）。对于矩阵,。类似地，若方阵，存在某正整数使得，则称为幂零矩阵。为的次多项式，为阶方阵，则有仍为一个阶方阵，称为方阵的多项式。例2.12 设，求。解 ，由数学归纳法假设，则。于是有:.3矩阵的转置 定义2.7 将矩阵的行与列互换，得到的矩阵称为的转置矩阵，记为或。即如果，则。由矩阵找到其转置矩阵的过程，是一种运算，称为矩阵的转置。矩阵的转置具有如下的运算法则：（1）；（2）；（3）；（4）。(1)(3)成立是很显然的,现在来证明(4)成立。证明设,那么:为的矩阵,就为的矩阵；为的矩阵，为的矩阵，于是为的矩阵。则与的行数、列数对应相等。又的第行第列元素为的第行第列元素，故为；的第行第列元素为的第行与的第列元素对应乘积之和。而的第行元素为的第列元素，；的第列元素为的第行元素，。故的第行第列元素为， 因此，与对应位置上的元素相等。所以。第二节 特殊矩阵与矩阵的分块一、几类特殊矩阵1对角矩阵形如的阶方阵称为对角矩阵，其特点就是主对角线以外的元素全部为0，只有主对角线上的元素（）才可能不为0。对角矩阵也可记为。对角矩阵还具有如下性质：（1）两对角矩阵的和仍是对角矩阵（2）数乘对角矩阵仍是对角矩阵；（3）两对角矩阵的乘积仍是对角矩阵。2.单位矩阵主对角上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。容易验证，单位矩阵左乘或右乘一个矩阵，结果等于被乘矩阵本身，即， .单位矩阵在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的特性。3数量矩阵主对角线上的元素全相等的对角阵称为数量矩阵，单位矩阵是特殊的数量矩阵。由数乘矩阵的性质有。因此有 ；。有了特殊矩阵的运算结论，关于方阵的次方幂的计算，有时采用分解后再求乘积的技巧可以使问题的求解更顺利。例2.13 已知，求，（其中为正整数）。解 （1），又，则有（以下两步更正过）；（2），显然； ，（这一步更正过）且与可交换，于是 .4.三角形矩阵如果阶方阵满足(),即则称为阶上三角形矩阵。如果阶方阵满足(),即则称为阶下三角形矩阵。如果，为同阶同结构的三角形矩阵，则，仍为同阶同结构的三角形矩阵。5对称矩阵如果阶方阵满足(),则称为对称矩阵。如,等均为对称矩阵,但却不是对称矩阵,即是说对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。很显然，因对称矩阵的元素关于主对角线对称，故有。例2.14 设与是两个阶对称矩阵。证明当且仅当与可交换时，是对称矩阵。证明 因为与是两个阶对称矩阵，所以。又由矩阵的转置运算有所以，要成立，当且仅当 ，即与可交换。 对任意矩阵，都是对称矩阵，有兴趣的读者可以自行证明。6反对称矩阵如果阶方阵满足(),则称为反对称矩阵。反对称矩阵主对角线上的元素显然应满足，则（）。二、矩阵的分块在矩阵的讨论或运算过程中，有时需要把一个矩阵分成若干个子块（子矩阵），这样能使原矩阵显得结构简单且明晰，便于分析和运算。给了一个矩阵,可以根据需要把它写成不同的分块矩阵形式, 分块后的矩阵在运算时，可以把子块当元素按矩阵的原有运算规则进行运算。为此,矩阵的分块,在加法和乘法运算里应遵从不同的分块原则。1.加法运算里的分块原则相加矩阵的行、列的分块方式要一致，即行块列块数对应等、对应位置上的子块的行列数对应等。例2.15 已知，用矩阵的分块计算。解 2乘法运算里的分块原则利用分块矩阵计算矩阵与的乘积时，要使左乘矩阵的列的分块与右乘矩阵的行的分块一致，即的列块数与的行块数等、某列块的列数与的对应行块的行数相等。并且要注意，子块相乘时的各子块始终左乘的对应子块。例2.16 已知，用分块矩阵计算。解法一 ，又 ， ，。所以。解法二 故。从上例可以看出,不同的分块方法使得求解过程的繁杂程度不一样,一般地尽可能把特殊的零子块和单位子块分出来，这样可以简化子块的求解。形如的分块矩阵，称为分块对角矩阵或准对角矩阵。当主对角线上各子块均为对角矩阵时，分块对角矩阵才是对角矩阵。形如的分块矩阵，称为分块上三角形矩阵。形如的分块矩阵，称为分块下三角形矩阵。如果分块上（下）三角形矩阵的主对角线上的子块（）均为方阵，那么利用拉普拉斯定理可推得。第三节 可逆矩阵数的乘法存在着逆运算除法，当数时逆满足，这使得一元线性方程的求解可简单得到：方程两边同时乘以，得解。那么，在解矩阵方程（此处为单列矩阵）时是否也存在类似的逆使得呢？这就是要研究的可逆矩阵问题。定义2.8 对于阶矩阵，若存在着一个同阶矩阵使得那么称矩阵可逆，矩阵为矩阵的逆矩阵。将的逆矩阵记为。可以验证若矩阵可逆，则的逆矩阵是唯一的。假设，均为可逆矩阵的逆矩阵，由定义2.8有：，则。所以一个矩阵如果可逆，那么它的逆矩阵是唯一的。注意，在定义中，的地位是对等的，因此也可逆，且(就是)，即是说与是互为逆矩阵。定理2.2 若两个同阶方阵与的乘积有，则与就互逆。证明 若与是同阶方阵且，据方阵乘积的行列式的运算规律有，于是且，所以与均可逆，将两边同时左乘就得，同时右乘就得,即与是互为逆矩阵。定义2.9 如果阶方阵的行列式，则称是非奇异矩阵(或非退化矩阵)，否则称是奇异矩阵(或退化矩阵)。然而，什么样的矩阵才是可逆的呢？如果一个矩阵可逆，又如何由它求到它的逆矩阵呢？下面的定理解答了这一疑惑。定理2.3 阶方阵可逆的充分必要条件为是非奇异矩阵，且其中为的伴随矩阵。证明 由伴随矩阵的定义有 ，故当且仅当，即是非奇异矩阵时，等式两边可乘得到，所以根据矩阵乘法的性质规律有于是 。定理给出了矩阵可逆的判断和求逆的方法，此方法称为伴随矩阵求逆法。以此为基础，还可以推出一些有用的求逆矩阵的结论，如下面例2.18中的结论就具有普适性。例2.17 求方阵的逆矩阵。解 ，所以可逆，；又可算得，类似可算得，所以 。 例2.18 已知二阶矩阵；阶矩阵，。求：，。解 ，所以可逆，又 ，所以 。(对于二阶矩阵当其可逆时,利用伴随矩阵法得出的结论中注意到与的元素的关系,就可直接写出)，所以可逆，又 ，所以 。 可逆矩阵有以下性质:（1）若方阵可逆,则； (2)若方阵可逆,数,则可逆且；（3）若方阵可逆,则也可逆且；（4）若方阵可逆,且，则；（5）若，为同阶方阵且均可逆,则也可逆且。证明 （1）若方阵可逆,则，所以，；（2）若阶方阵可逆,则；又数,所以，则可逆，又，据逆矩阵的定义有 ；（3）因为，所以 ；（4）若方阵可逆,可将两端同时左乘得，即；（5）若与为同阶可逆阵,则有，而，均为与同阶的方阵，故。例2.19 设为4阶矩阵,，求的值。解 因为为4阶矩阵,，所以 。例2.20 设与均为阶可逆矩阵，证明:（1）； （2）。证明 (1)因为与均为阶可逆矩阵,所以，又 ， ，所以 ，两边同时乘以得 。(2)因为为阶可逆矩阵,所以, ，因此，可逆，且，由伴随矩阵求逆法可得 ，所以，,即。 例2.21 设有分块矩阵，其中，分别为阶与阶可逆方阵，是矩阵，0是零矩阵。证明可逆并求出逆矩阵。解证 因为，均为可逆方阵，那么，根据拉普拉斯定理可得，故可逆；可设逆为分块矩阵形式，其中、分别为与，同阶的方阵，于是有所以解之得到 ，即。关于求逆的一些普适性结论主要还有下列其它几个,读者可以很容易验证。结论1 阶方阵,副对角上元素的乘积,则可逆，且；结论2 若，其中（）为可逆的子矩阵，则可逆，且；结论3 若，其中（）为可逆的子矩阵，则可逆，且；结论4 若，其中，为可逆的子矩阵，则，均可逆，且；。第四节 矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换与初等矩阵1.初等变换定义2.10 设矩阵，则以下三种行（列）的变换：（1）的某两行（列）元素对换：；（2）用一个非零数乘以的某一行（列）的元素；（3）的某行（列）元素的倍对应加到另一行（列），称为矩阵的初等行（列）变换。一般地，将矩阵的初等行、列的变换统称为矩阵的初等变换。2初等矩阵定义2.11 由阶单位矩阵经过一次初等行（或列）变换得到的矩阵称为初等矩阵。对应于三种初等变换，可以得到三种初等矩阵。（1）对换单位阵的两行（或两列）而得到的初等矩阵记为，常常也简记为。这种矩阵形如（2）用一个非零数乘以的第行（或第列）的元素得到的初等矩阵记为；（3）将矩阵的第行（或第列）元素的倍对应加到第行（或第列）去，得到的初等矩阵记为。因为初等矩阵都是由单位矩阵经过一次初等变换得到的，依据行列式的性质知道初等矩阵的行列式值不为零，故它们都可逆。初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵。容易验证，它们的逆矩阵为：；。3初等变换与初等矩阵的关系定理2.4 设，则对施行一次初等行变换，相当于用一个阶的同类型初等矩阵（单位阵经相同初等变换而得到的初等矩阵）左乘矩阵；对施行一次初等列变换，相当于用一个阶的同类型初等矩阵右乘矩阵：；。证明 将按一行分为一块得分块矩阵，于是，即乘积的结果等同于直接把的两行进行对换；，即乘积的结果等同于直接把的行元素乘以倍；，即乘积的结果等同于直接把的行元素的倍对应加到第行。 关于右乘关系的相关结论可以类似证得。二、求逆矩阵的初等变换法定义2.12 如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵,就称矩阵与等价，记为。不难验证矩阵的等价具有下列性质：（1）反身性 ；（2）对称性 ，则；（3）传递性 ，则。定理2.5 任意一个矩阵都与一个下列形式的矩阵等价。形式的矩阵称为的等价标准形。证明 设，如果，则已经是标准形了；若，则至少有一个元素不为零，不妨设。于是 其中为矩阵，对重复上述过程，经有限次初等变换后有例2.22 设矩阵，试将化为等价标准形。解 （这一步改过） 定理2.6 一个阶方阵可逆的充分必要条件是它的等价标准形为单位阵，且可以表成一系列初等矩阵的乘机。证明 由定理2.5和初等变换与初等矩阵的关系可知，存在一系列初等矩阵，；,使得，所以，又可逆的充分必要条件是，于是，所以，则，即，故。因为初等矩阵的乘积也是初等矩阵,故此定理得证。若为阶可逆阵，则也可逆。由定理2.6的结论知存在一系列初等矩阵，使得于是。又,由初等矩阵与初等变换的关系有这揭示出求逆矩阵的又一种通用方法-初等变换求逆法。该方法之一是用阶方阵和一个同阶单位阵构造出一个的矩阵，然后将矩阵始终进行初等行变换，直到子块变换为单位阵时，则子块就变换为了的逆矩阵，否则，若变换到某步骤时左边子块出现了一行元素全为零，则可判断矩阵不可逆。例2.23 已知，求，。解 ，所以 ， ，故不可逆，即不存在。初等变换求逆矩阵，也可将阶方阵和一个同阶单位阵构造成的矩阵。当然，根据初等变换与初等矩阵的关系可推知，这种形式的只能进行列变换，即 当求逆方阵不是前边介绍的特殊形式的矩阵，而且阶数又较大时，用伴随矩阵求逆法求解往往繁复易出差错，这时利用初等变换求逆法就是行之有效的选择。 例2.24 用逆矩阵或初等变换解下列矩阵方程：（1），其中；（2）。解 （1）由得 ，又，故可逆，从而。因为 所以 。（2）因为 ，所以 ，又，所以 。第五节 矩阵的秩定义2.13 在矩阵中任选行列()，其交叉位置上的元素按原有的相对位置构成一个阶行列式，称为矩阵的阶子式。如矩阵的第2与第3行、第3与第6列上的元素构成的2阶子式为；2，3行，2，5列构成3阶子式为；1，2，3行，1，2，5列上的元素构成3阶子式为。的矩阵中阶子式有个，其中可能有的子式值为零，有的却不为零。不为零的子式称为非零子式。定义2.14 如果一个矩阵有一个阶非零子式，且所有阶（如果存在的话）子式的值全为零，数称为矩阵的秩，记为。规定零矩阵的秩为0。在一个矩阵中，根据拉普拉斯定理可以推知，若所有阶子式的值全为零的话，则所有高于阶的子式的值必全为0。因此，一个矩阵的秩就是其最高阶非零子式的阶数。很显然，矩阵的秩满足；若，则称为满秩矩阵。矩阵的秩反应了矩阵内在的重要特性，在矩阵理论和应用中都具有重要意义。 一般而言，要利用定义2.14求一个矩阵的秩并非易事。而对于矩阵，它具有如下特点：（1）元素全为零的行位于矩阵的最下面；（2）自上而下各行中第一个非零元素左边的零元素个数，随着行数的增加而增加。形如的矩阵（有的可能无整行元素为零的情形）称为阶梯（形）矩阵。所有非零元素所在行的行数称为梯级数。矩阵的秩可一眼看出，因为要子式不为零，最多只可能1至3行都选，即非零子式最高只可能为3阶。恰好又有所有梯级上的第一列构成的3阶非零上三角形子式，故据定义知矩阵的秩为。同理可知阶梯矩阵的秩等于其梯级数，即等于它的非零行数。那么，一般的矩阵与阶梯矩阵有何关联呢？不加证明地介绍两个定理来解决这一问题，有兴趣的读者应该能够依据行列式的性质和矩阵秩的定义加以证明。定理2.7 任意一个的矩阵都可以经过一系列初等行变换化为的阶梯矩阵。定理2.8 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。这两个定理告诉我们，在求一个非特殊矩阵的秩时，可以先将其化为阶梯矩阵，然后由阶梯矩阵的秩确定原矩阵的秩。例2.25 求下列矩阵的秩 ，。解，所以；故。例2.26 试证明：（1）；（2）阶矩阵可逆的充分必要条件是为满秩矩阵,即。证明 （1）中的任意一个阶子式都是中一阶子式的转置行列式，又行列式转置后值不变，故中非零子式的最高阶数与中非零子式的最高阶数相等，即；（2）阶矩阵可逆的充分必要条件是，故由矩阵秩的定义有。例2.27 设矩阵为阶非奇异矩阵，试证明：，。证明 因为矩阵为阶非奇异矩阵，故存在有限个初等矩阵，使得 ，于是， 由初等矩阵与初等变换的关系可知，可由经一系列初等行变换得到，可由经一系列初等列变换得到，又初等变换不改变矩阵的秩，故有， 。关于矩阵的命题常用的定理结论或公式还有：（1）设，均为矩阵，则；（2）设为矩阵，设为矩阵，则；（3）设为矩阵，为矩阵，若，则。本章小结本章介绍了矩阵的概念，矩阵的运算加法、数乘矩阵、矩阵的乘法、矩阵的转置及运算的基本性质规律，特殊矩阵，矩阵的分块，矩阵的求逆和矩阵的秩等等。矩阵运算的重要性质与公式有：1.转置矩阵的性质（1）；（2）；（3）；（4）。2.逆矩阵的性质（1）；（2）；（3）；（4）。3.伴随矩阵的性质（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。4.分块矩阵的性质(均可逆)（1）；（2）；（3）； ；。习题二（A）一、选择题1有矩阵，下列（ ）运算可行。 （a）；（b）；（c）；（d）。2如果已知矩阵，则下列（ ）运算的结果为阶矩阵。 （a）；（b）；（c）；（d）。3设均为阶矩阵，下列（ ）不是运算律。（a）；（b）；（c）；（d）。4均为阶矩阵，当（ ）时，有。（a）；（b）；（c）;（d）。5为同阶矩阵，若，则下列各式中总是成立的有（ ）。（a）；（b）；（c）；（d）。6若是（ ），则必为方阵。（a）对称矩阵；（b）可逆矩阵；（c）阶矩阵的转置矩阵；（d）线性方程组的系数矩阵。7若是（ ），则必有。（a）对称矩阵；（b）三角矩阵；（c）对角矩阵；（d）可逆矩阵。8设是任一阶方阵，常数满足且，则等于（ ）。（a）；（b）；（c）；（d）。9为同阶矩阵，且可逆，下列（ ）式必成立。（a）若，则；（b）若，则；（c）若，则；（d）若，则。10若为非奇异上三角形矩阵，则（ ）仍为上三角形矩阵。（a）；（b）；（c）；（d）。11设为非奇异对称矩阵，则（ ）仍为对称矩阵。（a）；（b）；（c）；（d）。12设为阶可逆矩阵，则下列（ ）恒成立。（a）；（b）；（c）；（d）。13设，均为阶可逆矩阵，则等于（ ）。 （a）；（b）；（c）；（d）。14下列矩阵（ ）是初等矩阵。（a）；（b）；（c）；（d）。15已知，则（ ）。（a）为可逆矩阵；（b）；（c）为对称矩阵；（d）。16当（ ）时，。（a）；（b）；（c）；（d）。17设为矩阵，且，则（ ）。（a）中阶子式不全为零；（b）中每一个阶数大于的子式全为零；（c）经初等变换可化为；（d）不可能是满秩矩阵。18设阶矩阵，如果，则=（ ）。（a）1.；（b）；（c）；（d）。19是3阶矩阵，；是2阶矩阵，。则（ ）。 （a）；（b）；（c）；（d）。20已知，为3阶非零矩阵，且满足，则（ ）。（a）时，；（b）时，； （c）时，；（d）时，。二、填空题1如果，则 ；2如果不可逆，则 ；3设，则的充分必要条件为 ；4，均是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是 ；5 ；6已知，则 ；7已知，则 ；8，则 ；9设，则 ；10如果，则= ；11如果，则 ；12设3阶方阵，满足关系式，且，则 ；三、计算与证明题1计算（1）；（2）；（3