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文档简介

2010年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)一 填空题(每题4分,共32分)1. 2., 3., 4. 5. 6.圆的面积为 7.,可微,则 8.级数的和为 .二.(10分)设在上连续,且,求证:存在点,使得.三(10分)已知正方体的边长为2,为的中点,为侧面正方形的中点,(1)试求过点的平面与底面所成二面角的值。(2)试求过点的平面截正方体所得到的截面的面积.四(12分)已知是等腰梯形,,求的长,使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。五(12分)求二重积分,其中六、(12分)求,其中为曲线从到.七.(12分)已知数列单调增加,记,判别级数的敛散性.2010年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)一 填空题(每题4分,共32分)1. 2., 3.设由确定,则 4., 5. 6.,可微,则 7设可微,由确定,则 8.设,则 二.(10分)设为正常数,使得对一切正数成立,求常数的最小值三.(10分)设在上连续,且,求证:存在点,使得.四.(12分)求广义积分五(12分)过原点作曲线的切线,求该切线、曲线与轴所围成的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、(12分)已知是等腰梯形,,求的长,使得梯形绕旋转一周所得旋转体的体积最大。七(12分)求二重积分,其中2008年江苏省高等数学竞赛题(本科一级)一填空题(每题5分,共40分)1. , 时,2. , 时在时关于的无穷小的阶数最高。3. 4.通过点与直线的平面方程为 5.设则= 6.设为围成区域,则 7.设为上从到的一段弧,则= 8.幂级数的和函数为 ,收敛域为 。二(8分)设数列为证明:数列收敛,并求其极限三(8分)设在上具有连续的导数,求证四(8分)1)证明曲面为旋转曲面2)求旋转曲面所围成立体的体积五(10分)函数具有连续的二阶偏导数,算子定义为1)求;2)利用结论1)以为新的自变量改变方程的形式六(8分)求七(9分)设的外侧,连续函数求八(9分)求的关于的幂级数展开式2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)一.填空(每题5分,共40分)1., 2. 3. 4.已知点,为坐标原点,则四面体的内接球面方程为 5. 设由确定,则 6.函数中常数满足条件 时,为其极大值.7.设是上从点到的一段曲线, 时,曲线积分取最大值.8.级数条件收敛时,常数的取值范围是 二.(10分)某人由甲地开汽车出发,沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通,若开车的最大速度为100公里/小时,求证:该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时三.(10分)曲线的极坐标方程为,求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程,并求切线与轴围成图形的面积.四(8分)设在上是导数连续的有界函数,求证:五(12分)本科一级考生做:设锥面被平面截下的有限部分为.(1)求曲面的面积;(2)用薄铁片制作的模型,为上的两点,为原点,将沿线段剪开并展成平面图形,以方向为极坐标轴建立平面极坐标系,写出的边界的极坐标方程.本科二级考生做:设圆柱面被柱面截下的有限部分为.为计算曲面的面积,用薄铁片制作的模型,为上的三点,将沿线段剪开并展成平面图形,建立平面在极坐标系,使位于轴正上方,点坐标为,写出的边界的方程,并求的面积.六(10分)曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为,本科一级考生做本科二级考生做七(10分)本科一级考生做1)设幂级数的收敛域为,求证幂级数的收敛域也为;2)试问命题1)的逆命题是否正确,若正确给出证明;若不正确举一反例说明.本科二级考生做:求幂级数的收敛域与和函数2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)一.填空(每题5分,共40分)1. 2. 3. ,则 4. 5. 设由确定,则 6.函数中常数满足条件 时,为其极大值.7.交换二次积分的次序 .8.设,则 二.(8分)设,试问为何值时,在处一阶导数连续,但二阶导数不存在.三.(9分)过点作曲线的切线,(1)求的方程;(2)求与所围成平面图形的面积;(3)求图形的部分绕轴旋转一周所得立体的体积.四(8分)设在上是导数连续的函数,求证:五(8分)求六(9分)本科三级做:设,证明在点处可微,并求民办本科做:设圆柱面被柱面截下的有限部分为.为计算曲面的面积,用薄铁片制作的模型,为上的三点,将沿线段剪开并展成平面图形,建立平面在极坐标系,使位于轴正上方,点坐标为,写出的边界的方程,并求的面积.七(9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数在区域上的最大值与最小值.八(9分)设为所围成的平面图形,求.2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)一.填空(每题5分,共40分)1. 是周期为的奇函数,且在处有定义,当时,求当时,的表达式 .2. 3. 4. 时 5. 6. .7.设可微,则 .8. 设,为,则 . 二(10分)设在上连续,在内可导,,求证: 内至少存在一点使得三.(10分)设,在的边界上任取点,设到原点距离为,作垂直于,交的边界于1)试将的距离表示为的函数;2)求饶旋转一周的旋转体的体积四(10分)已知点,在平面上求一点,使最小五(10分)求幂级数的收敛域。六(10分)设可微,求.七(10分)求二次积分2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)一.填空(每题5分,共40分)1. 是周期为的奇函数,且在处有定义,当时,求当时,的表达式.2. 时,与为等价无穷小,则 3. 4. 5. 时 6. 7. .8. 设,为,则 . 二(10分)设在上连续,在内可导,,求证: 内至少存在一点使得三.(10分)设,在的边界上任取点,设到原点距离为,作垂直于,交的边界于1)试将的距离表示为的函数;2)求饶旋转一周的旋转体的体积四(10分)设在上有定义,在处连续,且对一切实数有,求证:在上处处连续。五(10分)上为常数,方程在恰有一个根,求的取值范围。六(10分)已知点,在平面上求一点,使最小七(10分)求幂级数的收敛域。2002年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)一.填空(每题5分,共40分)1.,则 , 2. 设在上可导,下列结论成立的是 A. 若,则在上有界B. 若,则在上无界C. 若,则在上无界3. 设由确定,则 4. 5. 曲线,在点的切线的参数方程为 6.设,有二阶连续导数,有二阶连续偏导数,则 7. 交换二次积分的次序 .8.幂级数的收敛域 二.(8分)设在上连续,单调减少,求证三.(8分)设在上连续,求证: 在内至少存在两个零点.四.(8分)求直线绕轴旋转一周的旋转曲面方程,求求该曲面与所包围的立体的体积.五.(9分)设为常数,试判断级数的敛散性,何时绝对收敛?何时条件收敛?何时发散?六.(9分)设讨论在点处连续性,可偏导性?可微性.七.(9分)设在可导,求八.(9分)设曲线的极坐标方程为,一质点在力作用下沿曲线从运动到,力的大小等于到定点的距离,其方向垂直于线段,且与轴正向的夹角为锐角,求力对质点做得功.2002年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)一.填空(每题5分,共40分)1.,则 , 2. 设在上可导,下列结论成立的是 A. 若,则在上有界B. 若,则在上无界C. 若,则在上无界3. 设由确定,则 4. 5. 6.设,有二阶连续导数,有二阶连续偏导数,则 7. 交换二次积分的次序 .8.函数满足方程的条件的极大值为 极小值为 二.(8分)设在上连续,单调减少,求证三.(8分)设,1)若,求证在上恰有一个零点;2)若,且在上恰有一个零点,求常数的取值范围.四.(8分)求五.(9分)设讨论在点处连续性,可偏导性?可微性.六.(8分)设,的二阶偏导数连续,可导,求全导数七.(9分)设在可导,求八.(9分)求2000年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)一.填空(每题3分,共15分). 1.设,则 2. 3. 已知,则 4. 5.设由方程确定(为任意可微函数),则 二选择题(每题3分,共15分)1.对于函数,点是( )A. 连续点; B. 第一类间断点;C. 第二类间断点;D可去间断点2.已知函数对一切满足,若,则( )A. 是的极大值; B. 是曲线的拐点;C. 是的极小值;D不是的极值,也不是曲线的拐点3. ( )A. 等于1; B. 等于0;C. 等于;D不存在,但也不是4.若都存在,则在A. 极限存在,但不一定连续; B. 极限存在且连续;C. 沿任意方向的方向导数存在; D 极限不一定存在,也不一定连续5.设为常数,则级数A. 绝对收敛 B. 条件收敛;C. 发散; D 收敛性与取值有关三(6分)求四(6分)已知函数由参数方程确定,求五(6分)设在上连续,在内可导且对于一切均有,证明若在内有两个零点,则至少存在一个介于这两个零点之间的零点。六(6分)设,求。七(6分)已知,求八(8分)过抛物线上一点作切线,问为何值时所作的切线与抛物线所围成的平面图形面积最小。九(8分)求级数的收敛域及和函数.十(8分)设在上连续且大于零,利用二重积分证明不等式:十一(8分)计算曲线积分,其中为曲线上点沿逆时针方向到该曲线上点的一段曲线。十二(8分)计算曲面积分,其中为曲面绕轴旋转一周所成曲面之下侧2000年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级)一.填空(每题3分,共15分)1. 已知,则 设 2. 3. 4若级数收敛,则的取值为 5. 二选择题(每题3分,共15分)1.函数,的可去间断点为( )A. ; B. ;C. ;D无可去间断点2.改变积分次序( )A. ; B. ;C. ; D3. 设可导,若欲使在可导,则必有( )A. ; B. ;C. ;D4.若都存在,则在A.连续且可微; B.连续但不可微;C. 可微但不连续; D不一定可微,也不一定连续5.在点处取( ) A. 极大值 B. 极小值; C. 不取极大值; D极小值三(6分)设,求常数。四

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