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数学说题稿 石湖中学 王华 2020 4 15 1 原题 2014年无锡市中考数学试题第25题 1 如图1 Rt ABC中 B 90 AB 2BC 现以C为圆心 CB长为半径画弧交边AC于D 再以A为圆心 AD为半径画弧交边AB于E 求证 这个比值叫做AE与AB的黄金比 2 如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比 那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形 请你以图2中的线段AB为腰 用直尺和圆规 作一个黄金三角形ABC 注 直尺没有刻度 作图不要求写作法 但要求保留作图痕迹 并对作图中涉及到的点用字母进行标注 2020 4 15 2 背景立意 1 本题是在苏科版九下教材p47习题6 2第3题的背景之下的变式拓展 考察学生运用勾股定理 黄金分割的相关知识 侧重于考察学生作图 应用与设计作图的能力 2 第二小问是考察学生对图形的感知 设计能力 拓展学生的发散思维 要求学生掌握基本的作图知识并熟练运用 2020 4 15 3 解法分析 分析 1 利用图中位置关系表示出AB AC BC的长 进而得出AE的长 进而得出答案 解 1 证明 Rt ABC中 B 90 AB 2BC 设BC x 则AB 2x AC x AE AD AC CD 1 x 2 此题主要考查了学生黄金三角形的作法以及黄金三角形的性质 根据第一问中的作图方法 得出底边作法是解题关键 底与腰之比为黄金比的等腰三角形 如图 ABC是黄金三角形 2020 4 15 4 追本溯源 一 在原苏科版八下教材10 2节的补充习题p57的第6题 本题重点考察学生的作图能力和拓展探究能力 得到 故 从而知道点C是线段AB的黄金分割点 2020 4 15 5 追本溯源 二 在新苏科版教材九下课本p47习题6 2第3题 本题重点考察学生的作图能力和证明能力 要说明 点B是线段AC的黄金分割点 就要从定义出发 说明 2020 4 15 6 评价 通过本试题的研究 教师在平时的教学中 除了对课本题目进行变式 拓展和引伸外 更重要的是培养学生的思维习惯 而不是就题论题 机械训练 使学生的思维受到束缚 比如在分析课本原题时 如果教师适当的追问一句 已知线段可以通过作图找到其黄金分割点 那能否用找黄金分割点的方法画出黄金矩形 黄金三角形呢 我想 通过这样的追问对于发展学生的思维能力会有很大帮助 2020 4 15 7 拓展反思 一 黄金三角形的另一画法 1 作正方形ABCD2 取AB的中点N3 以点N为圆心NC为半径作圆交AB延长线于E4 以B为圆心BE长为半径作 B5 以A为圆心AB长为半径作 A交 B于M则 ABM为黄金三角形 过E作垂线交DC的延长线于F点 则四边形BEFC为黄金矩形 2020 4 15 8 拓展反思 二 折纸法确定黄金分割点 通过折纸的方法确定黄金分割点 也是一种较好的出题模型 2020 4 15 9 感悟 在日常教学中 教师要学会引导并拓展学生的发散思维 提高学生的思维能力及创新能力 在挖掘例题 习题中的活动素材时 一定要注意以学生为主体 留给学生充分的探索空间和时间 体会