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4 3泰勒级数 一 泰勒 Taylor 定理 则当时 有 其中 证明 略 一 泰勒 Taylor 定理 而不是在整个解析区域D上展开 的收敛性质的限制 幂级数的收敛域必须 是圆域 幂级数一旦收敛 其和函数一定解析 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展开式中的系数还可以用下列方法直接给出 方法一 一 泰勒 Taylor 定理 注 2 展开式中的系数还可以用下列方法直接给出 方法二 一 泰勒 Taylor 定理 注 3 对于一个给定的函数 用任何方法展开为幂级数 其结果都是一样的 即具有唯一性 方法一利用已知的结果 4 2 方法二利用泰勒定理 方法三利用长除法 一 泰勒 Taylor 定理 注 4 对于一个给定的函数 能不能在不具体展开为幂级数 的情况下 就知道其收敛域 可以知道 等于从点到的最近一个奇点的距离 在收敛圆内 2 奇点也不可能在收敛圆外 不然收敛半径 还可以扩大 故奇点只能在收敛圆周上 二 将函数展开为泰勒级数的方法 1 直接展开法 利用泰勒定理 直接计算展开系数 解 二 将函数展开为泰勒级数的方法 1 直接展开法 利用泰勒定理 直接计算展开系数 同理可得 二 将函数展开为泰勒级数的方法 2 间接展开法 根据唯一性 利用一些已知的展开式 通过有理运算 代换运算 逐项求导 逐项求积等方法展开 两个重要的已知展开式 故收敛半径 1 2 2 解 1 解 2 解 解 解 解 泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项 1 斐波拉契 3 斐波拉契数列 2 兔子问题 一对 超级 小兔 在它们出生的第三个月开始 每月又 可生一对 超级 小兔 问n个月后 共可得到多少对兔子 4 计算斐波拉契数列的通项 令 由 有 将代入上式并求解得 泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项 4 计算斐波拉契数列的通项 2 泰勒级数展开 其中 泰勒级数的应用举例 计算斐波拉契数列的通项 轻松一下 作圆G 附 泰勒定理的证明 由柯西积分公式有 由有 设z为G内任意一点 附 泰勒定理的证明 证明 其中 下面需证明 交换次序 附 泰勒定理的证明 证明 由在
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