奖学金评定的数学建模论文.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 河南科技大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 张植豪 2. 张笑龙 3. 王瑞红 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）:高校综合奖学金的评定摘要本文针对高校奖学金的评定，本着公平、公正、合理的原则，全面考虑综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票对最终结果的影响程度进行决策。首先分析了题目条件和所给的数据，然后利用模糊分析法、层次关系模型的有关知识，对高校综合奖学金的评定给出了解决方案。问题一中，首先用最大隶属度函数对合格、中等、良好、优秀做出量化，然后利用层次分析法分别对考试课成绩和考查课成绩建立正互反判断矩阵，经一致性检验通过后再用加权平均值法算出考试课成绩、考查课成绩以及综合成绩，最后由综合成绩确定出排名如下学生1234567排名NABLIFH学生891011121314排名JCKGDEM问题二中，根据对学生各方面能力的不同侧重，通过借用层次分析模型，量化求出各因素所占的权重，并通过权重向量的一致性检验，不断的优化成对比较矩阵，最大的去除主观因素的影响，得到合理的各因素的权重。问题三中，首先通过对学生的受拥护度建立模型将投票成绩量化，依据大学本科学生各级各类科技学术竞赛测评办法计算出获奖得分，根据第一问的结果及关系式，综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过 程中所占权重。由此算出学生的成绩量化指标，确定奖学金分配。通过求解，奖学金分配如下：一等奖 学生N二等奖 学生A、学生B、学生F三等奖 学生C、学生E、学生G、学生H、学生I问题四中，我们给出了问题三中奖学金评定的说明，本着全面贯彻党的教育方针，鼓励学生争取优秀、发展特长、开拓创新，引导学生在知识、能力、素质诸方面协调发展，培养适应社会主义现代化建设要求的高素质创新人才的原则，根据高等学校培养目标，结合我校实际，制定出本奖学金综合评定办法。本文思路清晰，模型恰当，结果合理。在求解过程中，利用了Excel和Matlab运算，给数据的处理带来了不少的方便。关键词： 模糊分析法 层次关系模型 加权平均值 受拥护度一、 问题的重述与分析奖学金是学校对在校大学生一年学习、工作等各方面综合情况的肯定，其目的在于调动广大学生学习和工作的积极性，鼓励学生争取优秀、发展特长、开拓创新，引导学生在知识、能力、素质诸方面协调发展，促进学生德、智、体、美、劳全面发展，培养适应社会主义现代化建设要求的高素质创新人才。因此，奖学金评估是否合理将直接影响学生学习、工作的积极性。奖学金主要有综合奖学金和单项奖学金两大类，综合奖学金主要是对各方面表现都比较优秀的学生设立的，单项奖学金则主要是针对在某一方面表现比较突出的学生设立的。奖学金评定有其明确的标准，这些标准是学校培养目标的具体化，奖学金评定对学生的行为具有导向功能，因此，奖学金评定工作是对学生最广泛、最深入、最重要的考察和鼓励措施，评定奖学金成为高校每年学生工作的一个重要环节。根据对题目的理解我们可以知道，奖学金的评定是根据综合成绩、所在宿舍卫生情况、学生工作、获奖情况以及学生投票数确定的。所以我们的目标就是在与学校实现的培养目标一致的情况下确立出合理的奖学金评定方案。题目给出了某班级评定奖学金可以用到的满足基本条件的同学的资料，要求根据资料中提供的数据及Excel中的相关数据解决以下问题：(1) 根据Excel中的相关数据，选择一种合理的方法，计算出学生的综合成绩（包括考试课和考查课两部分），并给出具体排名。对于这一问我们可以首先用隶属度函数对合格、中等、良好、优秀做出量化，然后利用层次分析法分别对考试课成绩和考查课成绩建立正互反判断矩阵，经检验通过后再用加权平均值算出考试课成绩、考查课成绩以及综合成绩，最后由综合成绩确定出排名。(2) 结合你所了解的相关情况，确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重。注意：权重应该与学校希望实现的培养目标一致，即各部分的权重应该体现出学校对学生各方面要求的侧重，以引导学生按照学校的培养目标确定自己的发展方向。对于这一问题，我们可以根据对学生各方面能力的不同侧重，通过建立层次分析模型，量化求出各因素所占的权重，并通过权向量的一致性检验，得到合理的各因素的权重。(3) 该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，请给出具体获奖名单。对于这一问题，则可以利用问题二解出的各因素所占权重并结合问题一中的学生成绩标准化处理模型，按照最终结果由高到低抽取即可得到奖学金获奖名单。 (4) 撰写一篇不超过2页的奖学金评定说明，向负责奖学金评定的人（如班主任、班长等）阐述你们计算奖学金的主要依据和过程。为了方便奖学金评定操作，建议大部分计算过程最好能够使用Excel完成（评定说明中只要给出具体公式即可，这些公式应该能够在Excel中实现）。如果你的模型中用到的数学方法比较复杂，可以简化模型的相关内容，以方便具体计算过程，提高模型的实用性。二、符号约定符号含义第个因素对上一层的影响和对上一层的影响程度之比随机一致性指标一致性指标最大特征值第个学生的考试课分数第个学生的考试课学分第个学生的考试课成绩第个学生的考查课分数第个学生的考查课学分第个学生的考查课成绩第个学生的综合成绩W=综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重宿舍卫生成绩学生工作成绩获奖情况得分投票成绩三、模型建立与求解问题一：模型假设：1、任意两门考试课之间的权重之比与它们之间的学分成正比2、任意两门考查课之间的权重之比与它们之间的学分成正比3、对于考查课每个人的各项条件都可以量化4、考试课与考查课权重之比为4 ：11.1-1模型建立：通常情况下，我们对优秀、良好、中等、合格、不合格划分的标准为：优秀（90100分）、良好（8089分）、中等（7079分）、及格（6069分）和不合格（59分及以下），如果单纯的把这五个等级分别给定一个分数，则违背了公平、公正的原则，也不能让人信服，因为没有任何理论依据。因此，为了减小将等级转化为百分制分数取值时的随意性，对考查课的等级进行量化，将考查课分为五个等级：优秀、良好、中等、合格、不合格=5，4，3，2，1，为将其量化，构造如下隶属度函数其中为待定系数记为个因素对上一层的影响程度，与为其任意两个元素，表示和对上一层的影响程度之比，则 于是可以得到如下的判断矩阵然后利用特征根法求解的最大特征值和与之对应的特征向量记为一致性指标，为随机一致性指标，则随机一致性指标如下表表1-1 随机一致性指标123456789101112000.580.901.121.241.321.411.451.491.511.54记为一致性指标比率，当0.10时认为判断矩阵的一致性是可以接受的。1.1-2模型求解 当考查课成绩为“优秀”时，隶属度为1，即；当考查课成绩为“良好”时，隶属度为0.9，即=0.9当考查课成绩为“中等”时，隶属度为0.8，即=0.8当考查课成绩为“合格”时，隶属度为0.6，即=0.6当考查课成绩为“不合格”时，隶属度为0.03，即=0.03利用matlab求解可得： =0.46166，=0.28000，=0.3493 =2.24968，=0.3461，=5则画出隶属度函数的图像，如图利用图像，可以得到=0.6225，=0.7715，=0.9083，=0.9794，然后分别将各小数乘以100，即可得各等级的百分制量化指标，因此可以把优秀、良好、中等、合格量化为97.94，90.83，77.15，62.25对于综合成绩我们建立如下的正反矩阵对于考试课我们建立如下的正互反矩阵 利用matlab软件求解得= 6.0000 = -7.1054e-016 = -5.7302e-016由于= -5.7302e-016 0.10故判断矩阵通过一致性检验对于考查课我们建立如下的正互反矩阵利用matlab软件求解得：= 6.0000=0=0由于=00.10故判断矩阵通过一致性检验1.2-1模型建立： 由1.1可知可以用学分来估量各科权重，下面我们用加权平均值来求解第 个学生的综合成绩。 记第 个学生的考试课分数，学分，该生考试课成绩，则 记第 个学生的考查课分数，学分，该生考查课成绩，则第个学生的综合成绩为，则由假设4可得 1.2-2模型求解：利用excel求解，结果如下：表1-2 考试课成绩学生ABCDEFG考试课成绩93.054192.675783.675775.918974.973085.891982.4054学生HIGKLMN考试课成绩86.000087.702784.918981.081187.513572.540595.1622表1-3 考查课成绩学生ABCDEFG考查课成绩96.155592.245089.509086.089088.168091.534086.035学生HIGKLMN考查课成绩90.112090.823090.112091.534094.733580.509096.1555表1-4 综合成绩学生ABCDEFG综合成绩93.6743892.5895684.8423677.9529277.61287.0203283.13132学生HIJKLMN综合成绩86.822488.3267685.9575283.1716888.957574.134295.36086表1-5 学生综合成绩排名 名次学生1学生N2学生A3学生B4学生L5学生I6学生F7学生H8学生J9学生C10学生K11学生G12学生D13学生E14学生M问题二：模型假设：假定奖学金的评定只与综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和民主投票有关2.1 模型建立： 借用层次关系模型思维过程，层次模型图如图所示：各因素权重宿舍卫生学生工作获奖情况学生投票综合成绩 我们将综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和民主投票指标进行量化，得到如图所示正互反矩阵2.2模型求解：设：综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重分别为W=。 利用matlab软件求解，结果如下： = 5.0000 = 2.2204e-016 = 1.9825e-016权重向量由于=1.9825e-0160.10故判断矩阵通过一致性检验所以由此确定出综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重为：问题三：模型假设：1、综合成绩以第一问求解结果为准2、所在宿舍卫生成绩以百分制计算，减去扣除的分数即为所得。3、对于学生工作成绩,保底分为75分，担任重要职务（比如学生会主席、团委副书记、社团部长、班长等）加15分，担任一般职务（比如学习委员、纪律委员、女生委员、文艺委员、劳动委员等）加5分，但总分不超过100分4、学生投票都有效，投票成绩通过受拥护程度来表示5、获奖情况得分依据大学本科学生各级各类科技学术竞赛测评办法（见附录）来算3.1模型建立： 因为对于每一个投票的人而言，他（她）所投的票中名字不重复，故我们通过学生所得票数反映他（她）在同学们心目中的地位，然后通过票数与总人数就可以算出他（她）在百分制下的投票成绩 其中表示第个学生的所得票数故： 记为第个学生的总成绩，综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占的权重分别为W=则：表3-1 宿舍卫生成绩、学生工作成绩姓名宿舍卫生成绩学生工作成绩学生A7075学生B10080学生C5080学生D7685学生E10095学生F5575学生G3090学生H9575学生I10080学生J1075学生K595学生L1075学生M10075学生N10080表3-2 获奖情况得分姓名获奖情况获奖情况得分学生A0学生B0学生C校三等2学生D0学生E0学生F省二等8学生G0学生H0学生I校二等4学生J0学生K0学生L0学生M0学生N校一等6表3-3 学生投票成绩姓名学生投票受拥护度投票成绩学生A260.8387096774283.870967742学生B230.7419354838774.193548387学生C280.9032258064590.322580645学生D200.6451612903264.516129032学生E300.9677419354896.774193548学生F240.7741935483977.419354839学生G260.8387096774283.870967742学生H150.4838709677448.387096774学生I140.4516129032345.161290323学生J170.5483870967754.838709677学生K240.7741935483977.419354839学生L180.5806451612958.064516129学生M120.3870967741938.709677419学生N290.9354838709793.548387097表3-4 总成绩最终排名学生总成绩1学生N83.342072学生F75.712183学生B73.615664学生A72.679025学生I71.974196学生E71.493027学生C70.735278学生G67.516539学生H66.5096910学生K66.0331211学生D64.6098112学生L63.5379813学生J61.6737514学生M59.41650 根据奖项设置，该班级的奖学金获奖指标为一等奖1个，二等奖3个，三等奖5个，依据分数依次从最高分往下取，如在评定过程中有名次并列的同学，在评定时按排名从高到低取，以达到奖学金限定名额为准，在奖学金等级评定中如有名次并列的同学则先取综合成绩高的同学，按照这样的原则来确定获奖者。 由表3-4的学生总成绩可知，一 等奖、二等奖、三等奖的获得者如下： 一等奖 学生N二等奖 学生F、学生B、学生A三等奖 学生I、学生E、学生C、学生G、学生H问题四：奖学金综合评定说明第一条 为了全面贯彻党的教育方针，鼓励学生争取优秀、发展特长、开拓创新、引导学生在知识、能力、素质诸方面协调发展，培养适应社会主义现代化建设要求的高素质创新人才，根据高等学校培养目标，结合我校实际，特制定本奖学金综合评定办法。第二条 为培养出德、智、体、美、劳全面发展的人才，在注重学术型人才建设培养的同时，也加强了对德、育方面的培养，所以在评定奖学金的过程中作出以下规定：（1）考试课成绩和考查课成绩的综合成绩占奖学金评定中的48.98%；（2）所在宿舍卫生得分占奖学金评定中的6.12%；（3）在学生工作中任职的加分占奖学金评定中的16.33%；（4）参加各种竞赛取得名次的加分占奖学金评定中的16.33%；（5）学生投票的得分占奖学金评定中的12.24%。第三条 宿舍成绩以百分制计数。第四条 对于学生工作成绩，我们是以保底分75分为基础，担任重要职务（比如学生会主席、团委副书记、社团部长、班长等）加15分，担任一般职务（比如学习委员、纪律委员、女生委员、文艺委员、劳动委员等）加5分，但总分不超过100分。第五条 奖学金获奖情况分为九个等级，即国家一等奖、国家二等奖、国家三等奖，省部级一等奖、省部级二等奖、省部级三等奖，校一等奖、校二等奖、校三等奖，如获奖两项以上，则按最高奖项记分，不累计加分，未获奖者不加分，得奖的同学依据相应的等级加分。第六条 投票得分以学生受拥护度为依据，受拥护度系数乘以100即为其投票成绩。第七条 奖学金最终评定依据是每个学生在奖学金评定中所得最终分数，用以下公式计算其中，为第个学生的成绩，为所在宿舍卫生成绩，为学生工作成绩，为获奖成绩，为投票成绩, 、分别为综合成绩、卫生、学生工作、获奖情况和学生民主投票在奖学金评定过程中所占权重，且=0.4989、=0.0612、=0.1633、=0.1633、=0.1224，根据分数由高到低取。第八条 希望各个负责人参照此标准对各班同学的奖金评定进行公开、公平、公正的评定。四、模型评价模型优点：将影响奖学金评定的考查课、学生工作等因素进行量化处理，特别是构造了隶属度函数 将考查课成绩进行量化，大大减小了转化方式的随意性，使结果更具有说服力，也更科学。引入了“受拥护度”的概念，将投票结果转化为对受拥护度的求解，模型清晰明了。层次分析法的应用将半定性、半定量问题转化为定性、定量问题，使解题过程条理化、层次化。模型缺点：在构造隶属度函数过程中，虽然在一定程度上减小了转化方式的随机性，但仍然受主观因素的影响。五、参考文献1 韩中庚，数学建模方法及其应用，高等教育出版社，20052 同济大学数学系，工程数学线性代数，高等教育出版社，20073 盛骤、谢式千、潘承意，概率论与数理统计，高等教育出版社，20084 郭培俊、毛海舟，应用AHP法评定奖学金，浙江工贸职业技术学院学报，第9卷第1期，17-23，20095 张国际，用模糊综合评价法评估试题库系统，鞍山钢铁学院学报，第24卷第6期，423-428，2001六、附录附录一 确定的Matlab程序：syms a ba,b=solve(a*log(2)+b=0.6,a*log(4)+b=0.92,a,b) %求解a,b结果：=0.46166，=0.28000syms a b a,b=solve(0.01=exp(-(1.5-a)2/(2*b2),0.6=exp(-(2-a)2/(2*b2),a,b) %求解，结果：=0.3493， =2.24968syms a ba,b=solve(1=exp(-(5-a)2/(2*b2),0.92=exp(-(4-a)2/(2*b2),a,b) %求解结果：=0.3461，=5附录二 作图像的Matlab程序：b=2:0.1:4x=0:0.1:2a=4:0.1:5y=exp(-(x-2.24968).2/(2*0.2470252);plot(x,y)hold onz=exp(-(a-5).2/(2*2.448782);Plot(a,z)hold onw=0.46166*log(b)+0.28000plot(b,w)图像输出：附录三 考试课正互反矩阵判断Matlab程序:c=1.0,3.5 2.5 5.5 3.5 2.5c1=cfor i=1:6for j=1:6a(j,i)=c(1,i)/c1(j,1)endendv d=eig(a)e=a/sum(a)q=max(max(d)CI=(q-6)/(6-1)CR=CI/1.24结果：e = 0.3917 0.1119 0.1567 0.0712 0.1119 0.1567q = 6.0000CI =-1.7764e-016CR =-1.4325e-016附录四 考查课正互反矩阵判断Matlab程序：c=0.5,2.0,2.0,1.0,1.0,3.5c1=cfor i=1:6for j=1:6a(i,j)=c(1,i)/c1(j,1)endendv d=eig(a)q=max(max(d)CI=(q-6)/(6-1)CR=CI/1.24结果：q = 6CI = 0CR =0附录五 求解考试课成绩的Matlab程序：a=829391959494879596978491968280858580877485707678857975707379819576868586928490768382858591888284849688888186779289808289748389807880908580928887707275717276989792969593b=1.0 3.5 2.5 5.5 3.5 2.5c=b/sum(b)d=zeros(1,14)for i=1:14 for j=1:6 d(i)=d(i)+a(i,j)*c(j)endend结果：d =93.0541 92.6757 83.6757 75.9189 74.9730 85.8919 82.4054 86.0000 87.7027 84.9189 81.0811 87.5135 7