2020春八年级数学下册第19章全等三角形19.4逆命题与逆定理4线段的垂直平分线习题课件华东师大版.pptx

4 线段的垂直平分线 1 线段的垂直平分线 1 性质定理 定理描述 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的 几何语言 如图 MN AB 垂足为点C AC BC 距离相等 PA PB 2 判定定理 定理描述 到一条线段的两个 的 相等的点 在这条线段的垂直平分线上 几何语言 如图 QA QB 点Q在AB的垂直平分线上 端点 距离 归纳 线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理 2 三角形三边垂直平分线的性质定理 1 定理描述 三角形三条边的垂直平分线相交于 并且该点到三个顶点的 2 几何语言 如图 直线l m n分别是三角形三边的垂直平分线 OA OB OC 一点 距离相等 点拨 三角形三条边的垂直平分线的交点和三角形三内角平分线的交点不同 预习思考 1 一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗 提示 是 2 是否存在一种三角形 有一点到三角形各边的距离和到三角形各顶点的距离都相等 提示 等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各顶点的距离都相等 线段垂直平分线的性质和判定的应用 例1 如图 点B C在 SAT的两边上 且AB AC 1 请按下列语句用尺规画出图形 不写画法 保留作图痕迹 AN BC 垂足为N SBC的平分线交AN延长线于M 连结CM 2 该图中有 对全等三角形 解题探究 1 1 根据已知条件 ABC是什么三角形 过A点作的BC的垂线有什么特点 答 AB AC ABC是等腰三角形 根据等腰三角形的三线合一 过A点作的BC的垂线是线段BC的垂直平分线 2 SBC的平分线交AN延长线的交点M有什么特点 答 因为点M既在线段BC的垂直平分线上 又在 SBC的平分线上 所以点M到B C两点的距离相等 到直线AS BC AT的距离相等 2 1 连结CM后 BMC是什么三角形 答 BMC是等腰三角形 2 寻找图中全等三角形 说出全等的依据 答 ABN ACN H L MBN MCN H L ABM ACM S A S 3 答案 3 规律总结 线段垂直平分线口诀遇见垂直平分线 引向两端把线连 两条连线定相等 一般思路要记清 要证线段倍与半 延长缩短可试验 跟踪训练 1 如图 在 ABC中 BC 8cm AB的垂直平分线交AB于点D 交AC于点E EBC的周长等于18cm 则AC的长等于 A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 解析 选C 因为DE是AB的垂直平分线 所以EA EB 所以AC AE EC EB EC 又因为EB EC BC 18 BC 8 所以EB EC 18 8 10 即AC 10 故应选C 2 如图 AC AD BC BD AB与CD相交于O 则AB与CD的关系是 解析 因为AC AD BC BD 所以 AB是线段CD的垂直平分线 即AB垂直平分CD 答案 AB垂直平分CD 变式备选 如图 已知AE CE BD AC 求证 AB CD AD BC 证明 AE CE BD AC BD是AC的垂直平分线 即DA DC BA BC AB CD AD BC 3 ABC中 ABC 80 BAC 40 AB的垂直平分线分别与AC AB交于点D E 用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE 解析 如图所示 线段垂直平分线的性质和判定的实际应用 例2 6分 为进一步打造 宜居重庆 某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉 要求音乐喷泉M到广场的两个入口A B的距离相等 且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半 A B C的位置如图所示 请在答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M的位置 要求 不写已知 求作 作法和结论 保留作图痕迹 必须用铅笔作图 规范解答 如图所示 1 连结AB 1分 2 作出AB的垂直平分线 3分 3 找出M点的位置 5分 4 标出字母M 6分 特别提醒 作M点时要以C为圆心 AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于M 互动探究 例题能否先以C为圆心 AB的一半为半径画弧 然后再作AB的垂直平分线 提示 不可 因为不先作出AB的垂直平分线 就找不到AB的一半 无法以C为圆心画弧 规律总结 线段垂直平分线性质及判定的应用 1 线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一 在应用时要注意分清条件与结论 防止混淆 2 线段垂直平分线的图形结构中含有全等三角形 但在应用时 一般情况下不用三角形全等的方法来解决 以免给解题增加麻烦 跟踪训练 4 如图 A B C三个居民小区的位置成三角形 现决定在三个小区之间修建一个购物超市 使超市到三个小区的距离相等 则超市应建在 A 在AC BC两边高线的交点处 B 在AC BC两边中线的交点处 C 在AC BC两边垂直平分线的交点处 D 在 A B两内角平分线的交点处 解析 选C 要使超市到三个小区的距离相等 即超市的位置在以A B C三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上 又因为三角形三边垂直平分线交于一点 所以选项C正确 5 如图 ABC中 DE垂直平分AC 与AC交于点E 与BC交于点D C 15 BAD 60 则 ABC是 三角形 解析 因为DE垂直平分AC 即DA DC 所以 DAC C 15 ADB 15 15 30 又因为 BAD 60 所以 B 180 BAD ADB 90 即 ABC是直角三角形 答案 直角 6 如图 八年级 1 班与八年级 2 班这两个班的学生分别在M N两处参加劳动 现要在道路AB AC的交叉区域内设一个茶水供应点P 使P到两条道路的距离相等 且使PM PN 你能找出符合条件的点P 并简要说明理由吗 解析 作 BAC的角平分线AD 作线段MN的垂直平分线EF AD与EF交于点P 如图所示 AD平分 BAC 点P到两条道路AB AC的距离相等 又 点P在线段MN的中垂线上 PM PN 1 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上 那么这个三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不能确定 解析 选B 假设AB上的点D是两边的垂直平分线的交点 那么DA DC DB DC 即 A DCA B DCB 因为 A DCA B DCB 180 所以 DCA DCB ACB 90 所以 ABC为直角三角形 2 如图是一张直角三角形的纸片 直角边AC 6cm BC 8cm 现将 ABC折叠 使点B与点A重合 折痕为DE 则BE的长为 A 4cm B 5cm C 6cm D 10cm 解析 选B 由勾股定理AB2 AC2 BC2 62 82 100 得AB 10cm 由题意知 3 如图 ABC中 C 90 DE是AB的垂直平分线 且 BAD CAD 4 1 则 B 解析 因为DE是AB的垂直平分线 所以 B DAB 由 C 90 得 B BAC 90 根据 BAD CAD 4 1 设 DAC x 则x 4x 4x 90 解得x 10 即 B 40 答案 40 4 如图 AB AD BC CD AC BD相交于点E 由这些条件可以得出若干结论 请你写出其中三个正确结论 不要添加字母和辅助线 不要求证明 解析 因为AB AD BC CD 所以AC是线段BD的垂直平分线 即AC BD ABD是等腰三角形 AC平分 BAD ADC ABC 答案 AC BD ABD是等腰三角形 AC平分 BAD ADC ABC 答案不唯一 5 如图 已知线段AB