计算方法(4-2)

4 6曲线拟合的最小二乘法 数据量比较大 4 6 1问题的引出 通过测量或实验得到的函数的一些离散点 点 通常具有两个特点 由于这些数据是通过测量求得的 本身就存在误差 如果依据我们以前的方法 找出函数的近似表达式两 那么就存在两个缺陷 所求得的插值多项式必定是高次插值多项式 高次插值多项式是数值不稳定的 由于数据本身存在误差 利用插值所得到的插值多项式必然保留了所有的测量误差 使所得结果可能与实际问题之间产生较大误差 如果我们不要求所得到的近似解析表达式通过所有的已知点 而只要求尽可能的通过它们的近旁 这样一来 可以部分抵消原来数据中所包含的测量误差 从而使得到的结果更接近于客观实际 这种方法称为数据拟合 也称为函数逼近 问题 数据拟合的标准是什么 解 先作草图如下图所示这些点的分布接近一条直线 因此可设想 y为x的一次函数 设y a0 a1x 从图中不难看出 无论a0 a1取何值 直线都不可能同时过全部数据点 怎样选取a0 a1才能使直线 最好 地反映数据点的总体趋势 首先要建立好坏的标准 假定a0 a1已经确定 yi a0 a1xi i 1 2 n 是由近似函数求得的近似值 它与观测值yi之差ri yi yi yi a0 a1xi i 1 2 n 称为偏差 显然 偏差的大小可作为衡量近似函数好坏的标准 偏差向量r r1 r2 rn T 常用的准则有以下三种 1 使偏差的绝对值之和最小 即 2 使偏差的最大绝对值达到最小 即 3 使偏差的平方和最小 即 准则 1 的提出很自然也合理 但实际使用不方便 按准则 2 求近似函数的方法称为函数的最佳一致逼近 按准则 3 确定参数 求近似函数的方法称为最佳平方逼近 在离散情况下 也称为曲线拟合的最小二乘法 是实践中常用的一种函数逼近方法 从几何上讲 就是求在给定的点x1 x2 xn处与点 x1 y1 x2 y2 xn yn 的距离平方和最小的曲线y x 这种求近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法 函数 x 称为这组数据的最小二乘拟合函数 通常取 为一些较简单函数的集合如低次多项式 指数函数等 例1中取 为一次多项式集合 4 6 2曲线拟合的最小二乘法基本原理 对给定的数据 xi yi i 1 2 n 我们当然希望在给定的函数类 中 选取的近似函数 x 使偏差ri xi yi i 1 2 n 的平方和为最小 即 亦即 对于给定的一组数据 xi yi i 1 2 n 求一多项式 m n 即选取参数aj j 0 1 m 使得 简写成 4 6 3用最小二乘法解矛盾方程组 我们以前在求解线性方程组时 一般要求未知数的个数与方程式的个数相等 如果方程式的个数多于未知数的个数 这个方程往往无解 而这样的方程组称为矛盾方程组 假设有一个矛盾方程组 如果存在一组解 使得方程组中每一个方程都近似相等 也就是使各方程两端之差最小 即 如果有一组解 使得达到最小 则称这组解为矛盾方程组的最优近似解 在方程中 可以看成是m个自变量的函数 因此 求解矛盾方程组的问题 就归结为求二次函数的最小值问题 依据最小二乘法的准则 取各方程两端误差的平方和作为一个近似解近似程度的衡量标志 也就是 如果有一组解 使得达到最小 那么一定满足极值条件 那么极值条件变为 这是一个具有m个未知量和m个方程式的线性方程组 我们把这个方程组叫做对应于矛盾方程组的正规方程组 正规方程组的解也就是它所对应的矛盾方组的最优近似解 为了表达方便 矛盾方程组用表示 则 为了表达方便 正规方程组用下式表示 即 因此 因此 求解矛盾方程组的步骤可归纳如下 计算 得到正规方程组 求解正规方程组 得到 即为矛盾方程组的最优近似解 4 6 4用多项式作最小二乘曲线拟合 假设 通过测量已求得n个数据 根据插值多项式的定义 可以做n 1次多项式来近似 一般地 函数都是由m个线性无关的函数 的线性组合而成 即 线性无关函数组 去称为基函数 常用的基函数有 假设存在这么一个m次项式 能够拟合所求的曲线 由于 因此 这是一个矛盾方程组 记 因此 原矛盾方程组可表示为 因此 原矛盾方程组 所对应的正规方程组为 利用多项式做最小二乘数据拟合的步骤可归纳如下 依据已知数据 描绘分布图 依据分布图 确定多项式 计算正规方程组的系数矩阵和常数项的各元素 求出正规方程组的解 则最小二乘数据拟合多项式为 用最小二乘法求多项式曲线 使之与数据组相拟合 例 试求通过下列数据点 解 根据最小二乘法求多项式曲线的计