（浙江专用）高考数学第八章立体几何与空间向量3第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系教学案.docx

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2空间直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线和平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线在平面外直线a与平面平行a没有公共点直线a与平面斜交aA有且只有一个公共点直线a与平面垂直a(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行没有公共点两平面相交斜交l有一条公共直线垂直且a疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面ABC与平面DBC相交于线段BC.()(4)没有公共点的两条直线是异面直线()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是()A过三点确定一个平面B四边形是平面图形C三条直线两两相交则确定一个平面D两个相交平面把空间分成四个区域解析：选D.对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确2(必修2P52B组T1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为_解析：连接B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C为所求，又B1D1B1CD1C，所以D1B1C60.答案：60易错纠偏(1)判断直线与平面的位置关系时，忽视“直线在平面内”；(2)对等角定理的应用条件认识不清1已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面故选D.2若AOBA1O1B1，且OAO1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()AOBO1B1且方向相同BOBO1B1COB与O1B1不平行DOB与O1B1不一定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.平面的基本性质 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是AB和AA1的中点求证：E、C、D1、F四点共面【证明】如图所示，连接CD1、EF、A1B，因为点E、F分别是AB和AA1的中点，所以EFA1B且EFA1B.又因为A1D1綊BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BCD1，所以EFCD1，所以EF与CD1确定一个平面，所以E、F、C、D1，即E、C、D1、F四点共面 (变问法)若本例条件不变，如何证明“CE，D1F，DA交于一点”？证明：如图，由本例知EFCD1，且EFCD1，所以四边形CD1FE是梯形，所以CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE，且PD1F，又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1，所以P平面ABCD，且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，所以PAD，所以CE、D1F、DA三线交于一点(1)点线共面问题证明的两种方法纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平面，重合(2)证明多线共点问题的两步先证其中两条直线交于一点；再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明 如图，空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，点G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明：(1)因为点E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线空间两直线的位置关系 (1)若m，n为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()若直线m，n都平行于平面，则m，n一定不是相交直线；若直线m，n都垂直于平面，则m，n一定是平行直线；已知平面，互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m，则n；若直线m，n在平面内的射影互相垂直，则mn.ABC D(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：AM和CN是否是异面直线？说明理由；D1B和CC1是否是异面直线？说明理由【解】(1)选A.对于，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故正确；对于，还有可能n或n与相交，错误；对于，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面，则m与n在内的射影分别为AB与BC，且ABBC.而m与n所成的角为60，故错误因此选A.(2)不是异面直线理由：连接MN，A1C1，AC.如图，因为点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线是异面直线理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线(1)异面直线的判定方法(2)构造法判断空间两直线的位置关系对于空间两直线的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性 1如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为()A相交 B平行C异面而且垂直 D异面但不垂直解析：选D.将展开图还原为正方体，如图所示AB与CD所成的角为60，故选D.2在图中，点G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面答案：异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题主要命题角度有：(1)求异面直线所成的角或其三角函数值；(2)由异面直线所成角求其他量角度一求异面直线所成的角或其三角函数值 (2020瑞安市龙翔高中高三月考)如图，在三棱锥SABC中，SASBSC，且ASBBSCCSA，点M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为_【解析】连接MC，取MC中点为Q，连接NQ，BQ，则NQ和SM平行，QNB(或其补角)即为SM和BN所成的角设SASBSCa，因为ASBBSCCSA，则ABBCCAa，所以ABC是正三角形，因为点M、N、Q是中点，所以NQSMa，MCa，QBa，NBa，所以cosQNB，所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为.【答案】角度二由异面直线所成角求其他量 四面体ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点若BD，AC所成的角为60，且BDAC1，则EF的长为_【解析】如图，取BC的中点O，连接OE，OF，所以OEAC，OFBD，所以OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成角为60，所以EOF60或EOF120.当EOF60时，EFOEOF.当EOF120时，取EF的中点M，则OMEF，EF2EM2.【答案】或 1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析：选C.如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1BC1，所以B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角因为ABC120，AB2，BCCC11，所以AB1，AD1.在B1D1C1中，B1C1D160，B1C11，D1C12，所以B1D1，所以cosB1AD1，选择C.2(2020台州模拟)正四面体ABCD中，点E、F分别为AB、BD的中点，则异面直线AF、CE所成角的余弦值为_解析：取BF的中点G，连接CG，EG，易知EGAF，所以异面直线AF、CE所成的角即为GEC(或其补角)不妨设正四面体棱长为2，易求得CE，EG，CG，由余弦定理得cosGEC，所以异面直线AF、CE所成角的余弦值为.答案：空间动点的轨迹判断 如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线 B抛物线C椭圆 D双曲线的一支【解析】因为PAB30，所以点P的轨迹为以AB为轴线，PA为母线的圆锥面与平面的交线，且平面与圆锥的轴线斜交，故点P的轨迹为椭圆【答案】C(1)求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹(2)把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解，求解此类问题时应抓住解析几何中有关曲线的定义，根据解析几何中曲线的定义求解立体几何中的轨迹问题 1平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是()A一条直线 B一个圆C一个椭圆 D双曲线的一支解析：选A.因为lAB，当l变化时，形成的平面记为，则AB.因为与相交，故只有一条直线，故选A.2到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()A直线 B椭圆C抛物线 D双曲线解析：选D.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC的距离相等，所以|x|，所以x2y2a2.核心素养系列16直观想象构造平面研究直线相交问题设l是直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l【解析】法一：设a，若直线la，且l，l，则l，l，因此不一定平行于，故A错误；由于l，故在内存在直线ll.又因为l.所以l，故，所以B正确；若，在内作交线的垂线l，则l，此时l在平面内，因此C错误；已知，若a，la，且l不在平面，内，则l且l，因此D错误故选B.法二：借助于长方体模型解决本题：对于A，如图，与可相交；对于B，如图，不论在何位置，都有；对于C，如图，l可与平行或l内；对于D，如图，l或l或l.故选B.【答案】B在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有_条【解析】法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面，因为CD与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD相交【答案】无数(1)平面几何和立体几何在点、线、面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点、线、面的位置关系在平面和空间中的差异(2)本题难度不大，但比较灵活对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大(3)注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多 基础题组练1已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线ABC直线CD D直线BC解析：选C.由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.3已知AB是平面的斜线段，A为斜足若点P在平面内运动，使得ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆C一条直线 D两条平行直线解析：选B.如图，由于AB的长为定值，且ABP的面积也是定值，因此空间中点P到直线AB的距离也为定值，从而可以推知点P在空间的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P在平面内，且AB与平面不垂直，故点P的轨迹应是该圆柱面被平面截出的椭圆4(2020瑞安四校联考)若平面平面，点A，C，B，D，则直线AC直线BD的充要条件是()AABCD BADCBCAB与CD相交 DA，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面平面，要使直线AC直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面5如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长(包括底面边长)都是2，点E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF与侧棱C1C所成的角的余弦值是()A. B.C. D2解析：选B.如图，取AC中点G，连接FG，EG，则FGC1C，FGC1C；EGBC，EGBC，故EFG即为EF与C1C所成的角，在RtEFG中，cosEFG.6(2020台州模拟)如图所示，ABCDA1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线 BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面 DB，B1，O，M共面解析：选A.连接A1C1，AC(图略)，则A1C1AC，所以A1，C1，A，C四点共面，所以A1C平面ACC1A1.因为MA1C，所以M平面ACC1A1.又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上所以A，M，O三点共线7如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论为_(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故错误答案：8(2020金丽衢十二校联考)如图所示，在三棱锥ABCD中，点E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH是正方形解析：易知EHBDFG，且EHBDFG，同理EFACHG，且EFACHG，显然四边形EFGH为平行四边形要使平行四边形EFGH为菱形需满足EFEH，即ACBD；要使四边形EFGH为正方形需满足EFEH且EFEH，即ACBD且ACBD.答案：ACBDACBD且ACBD9已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD所成的角为60，点M，N分别是BC，AD的中点，则直线AB和MN所成的角为_解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，MN，则PMAB，且PMAB，PNCD，且PNCD，所以MPN为AB与CD所成的角(或其补角)，则MPN60或MPN120.因为PMAB，所以PMN是AB与MN所成的角(或其补角)若MPN60，因为ABCD，所以PMPN，则PMN是等边三角形，所以PMN60，即AB与MN所成的角为60.若MPN120，则易知PMN是等腰三角形，所以PMN30，即AB与MN所成的角为30.综上，直线AB和MN所成的角为60或30.答案：60或3010如图，已知平面四边形ABCD，ABBC3，CD1，AD，ADC90.沿直线AC将ACD翻折成ACD，直线AC与BD所成角的余弦值的最大值是_解析：作BEAC，BEAC，连接DE，则DBE为所求的角或其补角，作DNAC于点N，设M为AC的中点，连接BM，则BMAC，作NFBM交BE于点F，连接DF，设DNF，因为DN，BMFN，所以DF25cos ，因为ACDN，ACFN，所以DFAC，所以DFBE，又BFMN，所以在RtDFB中，DB295cos ，所以cos DBE，当且仅当0时取“”答案：11.如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，Aa，Ba，Cb，Dc，求证：AD与BC是异面直线证明：假设AD与BC共面，所确定的平面为，那么点P、A、B、C、D都在平面内，所以直线a、b、c都在平面内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，所以AD与BC是异面直线12在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若点E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1DB1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角因为AB1ACB1C，所以B1CA60.即A1D与AC所成的角为60.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因为点E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1与EF所成的角为90.综合题组练1设A，B，C，D是空间中四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A若AC与BD共面，则AD与BC共面B若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C若ABAC，DBDC，则ADBCD若ABAC，DBDC，则ADBC解析：选C.A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不