经典流体力学课件-上海交大.ppt

流体力学 流体力学 第一章绪论 第二章流体静力学 第三章流体动力学 第四章相似和量纲分析 第五章管中流动 第六章孔口和缝隙流动 第七章气体的一元流动 第一章绪论 1 1流体力学研究的内容和方法 1 2流体的概念及其模型化 1 3流体的主要物理性质 第二章流体静力学 2 1平衡流体上的作用力 2 2流体的平衡微分方程 2 3重力场中的平衡流体 2 4静压强的计算 2 5平衡流体对壁面的作用力 2 6液体的相对平衡 第三章流体动力学 3 1描述流体运动的两种方法 3 2流体运动中的一些基本概念 3 3连续方程式 3 4理想流体的运动微分方程 3 5伯努利方程及其应用 3 6动量方程及其应用 第四章相似和量纲分析 4 2 定理和量纲分析的应用 4 1相似原理 第五章管中流动 5 1雷诺实验 5 2圆管中的层流 5 3圆管中的湍流 5 4管道中的局部阻力 第六章孔口和缝隙流动 第七章气体的一元流动 8 1声速和马赫数 8 2一元气流的基本方程和流动特性 8 3理想气体一元等熵流动的特征 8 4收缩喷管与拉伐尔喷管的计算 第一章绪论 流体力学研究的主要内容 1 建立描述流体平衡和运动规律的基本方程 2 确定流体流经各种通道时速度 压强的分布规律 3 探求流体运动中的能量转换及各种能量损失的计算方法 4 解决流体与限制其流动的固体壁面间的相互作用力 1 1流体力学研究的内容和方法 流体力学的研究方法 1 较严密的数学推理 2 实验研究 3 数值计算 1 2流体的概念及其模型化一 流体的物质属性1 流体与固体 流体 可承受压力 几乎不可承受拉力 承受剪切力的能力极弱 易流性 在极小剪切力的作用下 流体就将产生无休止的 连续的 剪切变形 流动 直到剪切力消失为止 流体没有一定的形状 固体具有一定的形状 固体 既可承受压力 又可承受拉力和剪切力 在一定范围内变形将随外力的消失而消失 2 液体和气体气体远比液体具有更大的流动性 气体在外力作用下表现出很大的可压缩性 二 流体质点的概念及连续介质模型流体质点 流体中由大量流体分子组成的 宏观尺度非常小 而微观尺度又足够大的物理实体 具有宏观物理量 T p v等 连续介质模型 流体是由无穷多个 无穷小的 彼此紧密毗邻 连续不断的流体质点所组成的一种绝无间隙的连续介质 1 3流体的主要物理性质 一 密度lim Mkg m3 V 0 V流体密度是空间位置和时间的函数 V M P x y z z x y P kg m3 对于均质流体 二 压缩性可压缩性 流体随其所受压强的变化而发生体积 密度 变化的性质 m2 N 式中 dV 流体体积相对于V的增量 V 压强变化前 为p时 的流体体积 dp 压强相对于p的增量 体积压缩率 体积压缩系数 K 不易压缩 一般认为 液体是不可压缩的 在p T v变化不大的 静态 情况下 则 常数 体积 弹性 模量 或 N m2 三 液体的粘性1 粘性的概念及牛顿内摩擦定律 流体分子间的内聚力流体分子与固体壁面间的附着力 内摩擦力 相邻流层间 平行于流层表面的相互作用力 定义 流体在运动时 其内部相邻流层间要产生抵抗相对滑动 抵抗变形 的内摩擦力的性质称为流体的粘性 y x v v dvv y dy v0 F 内摩擦力 以切应力表示 式中 与流体的种类及其温度有关的比例常数 速度梯度 流体流速在其法线方向上的变化率 牛顿内摩擦定律 2 粘度及其表示方法粘度代表了粘性的大小 的物理意义 产生单位速度梯度 相邻流层在单位面积上所作用的内摩擦力 切应力 的大小 常用粘度表示方法有三种 动力粘度 单位 Pa s 帕 秒 1Pa s 1N m2 s 相对粘度 其它流体相对于水的粘度恩氏粘度 E中 俄 德使用赛氏粘度 SSU美国使用雷氏粘度 R英国使用巴氏粘度 B法国使用用不同的粘度计测定 运动粘度 单位 m2 s工程上常用 10 6m2 s 厘斯 mm2 s 油液的牌号 摄氏40 C时油液运动粘度的平均厘斯 mm2 s 值 3 粘压关系和粘温关系 1 粘压关系压强 其分子间距离 被压缩 内聚力 粘度 一般不考虑压强变化对粘度的影响 2 粘温关系 对于液体 温度 内聚力 粘度 温度变化时对流体粘度的影响必须给于重视 4 理想流体的概念理想流体 假想的没有粘性的流体 0 0实际流体 事实上具有粘性的流体 小结 1 流体力学的任务是研究流体的平衡与宏观机械运动规律 2 引入流体质点和流体的连续介质模型假设 把流体看成没有间隙的连续介质 则流体的一切物理量都可看作时空的连续函数 可采用连续函数理论作为分析工具 3 流体的压缩性 一般可用体积压缩系数k和体积模量K来描述 在压强变化不大时 液体可视为不可压缩流体 4 粘性是流体最重要的物理性质 它是流体运动时产生内摩擦力 抵抗剪切变形的一种性质 不同流体粘性的大小用动力粘度 或运动粘度 来反映 温度是影响粘度的主要因素 随着温度升高 液体的粘度下降 理想流体是忽略粘性的假想流体 应重点理解和掌握的主要概念有 流体质点 流体的连续介质模型 粘性 粘度 粘温关系 理想流体 流体区别于固体的特性 还应熟练掌握牛顿内摩擦定律及其应用 第二章流体静力学 平衡 静止 绝对平衡 流体整体对于地球无相对运动 相对平衡 流体整体对于地球有相对运动 但流体质点间无相对运动 平衡流体内不显示粘性 所以不存在切应力 2 1平衡流体上的作用力一 质量力质量力 与流体的质量有关 作用在某一体积流体的所有质点上的力 如重力 惯性力 fx fy fz 单位质量力在直角坐标系中x y z轴上的投影 单位质量力 单位质量流体所受到的质量力 单位质量力 数值等于流体加速度 二 表面力表面力 由于 V流体与四周包围它的物体相接触而产生 分布作用在该体积流体的表面 单位面积上的表面力 应力 法向分量lim Fn A 0 A 压强KPa MPa pP 归纳两点 1 平衡流体内不存在切向应力 表面力即为法向应力 即静压强 2 绝对平衡流体所受质量力只有重力 相对平衡流体可能受各种质量力的作用 三 流体静压强的两个重要特性 1 流体静压强的方向总是沿着作用面的内法线方向 2 平衡流体内任一点处的静压强的数值与其作用面的方向无关 它只是该点空间坐标的函数 证明 在平衡流体中取出一微小四面体ABOC 考察其在外力作用下的平衡条件 表面力 各个面上的静压力 ABC 斜面面积 质量力若 则 质量力在三个坐标方向上的投影 x方向上的力平衡方程式 Fx 0 px1 2dydz pn ABC cos n x 1 6dxdydzfx 0因 ABC cos n x 1 2dydz ABC在yoz平面上的投影 则 1 2dydz px pn 6 dxdydzfx 0略去三阶微量dxdydz 可得 px pn 同理 在y方向上有py pn在z方向上有pz pn则有 px py pz pn即 平衡流体中某点处所受的静压强是各向同性的 静压强是一个标量 其大小由该点所处的空间位置决定 p p x y z 2 2流体的平衡微分方程 欧拉平衡微分方程 平衡规律 在静止条件下 流体受到的静压力与质量力相平衡 平衡微分方程的推导 从平衡流体中取出一微小正平行六面体微团 体积 分析微小正平行六面体微团受力 一 质量力dFmx dxdydzfxdFmy dxdydzfydFmz dxdydzfz 二 表面力先讨论沿x轴方向的表面力 形心A x y z 处的静压强为pA x y z 距A点x轴方向上 1 2dx处的前 后两个面上的表面力分别为 三 平衡微分方程沿x轴方向有 Fx 0即 化简整理后 将方程两边同除以微小六面体的质量 dxdydz 得 静止流体的平衡微分方程 欧拉平衡微分方程 方程的物理意义 在静止流体中 作用在单位质量流体上的质量力与作用在该流体表面上的压力相平衡 同理 四 综合表达式将平衡微分方程的三个表达式分别乘以dx dy dz然后相加得 静压强的全微分 此式便于积分 对于各种不同质量力作用下流体内的压强分布规律 均可由它积分得到 则 欧拉平衡微分方程的综合表达式 五 质量力的势函数 对于不可压缩流体 常数 令p w 因p p x y z 则 w w x y z 由综合式有 d p fxdx fydy fzdz dw w x dx w y dy w z dz 则有 fx w x fy w y fz w z 由于坐标函数w x y z 与质量力之间存在着上述关系 则称函数w为质量力的势函数 这样的质量力称为有势质量力 2 3重力场中的平衡流体讨论重力作用下 不可压缩平衡流体的压强分布规律 一 静压强基本公式 方程 对于如图所示容器中的流体 单位质量流体所受质量力在各坐标方向上的分量为 将上述结果代入欧拉平衡微分方程的综合表达式得 移项后得 对于均质的不可压缩流体 常数积分上式 则 式中 C为积分常数 重力作用下 连续 均质 不可压缩流体的静压强基本公式 静力学基本方程 如图若1 2两点是流体中的任意两点 则上式可写成 或 二 静压强分布规律取流体中任意一点A 考察该点处静压强 对A点和液面上的一点C列写出静压强基本公式 或 gz p gz0 p0整理得 p p0 g z0 z p0 gh式中 h A点处的液深 上式表示了不可压缩均质流体在重力作用下的压强分布规律 是流体静力学中最常用的公式 静压强分布规律 对公式的几点说明 1 任意一点的静压强由两部分组成 液面压强p0和液重产生的压强 gh 2 任意点处的压强都包含了液面压强 帕斯卡原理 3 h p 呈直线规律分布 4 距液面深度相同各点处的压强均相等 等压面为一簇水平面 三 静压强基本公式的物理意义mgz 位置势能z 单位重力流体对某一基准面的位置势能 位置水头 所以 物理意义 重力作用下 静止流体中任意点处单位重力流体的位置势能与压强势能之和 总势能 为一常数 对静止流体中的A B两点列静压强基本公式可得 单位重力流体的压强势能 压强水头 2 4静压强的计算一 静压强的计算标准 表示方法 绝对压强 以绝对零值 绝对真空 为计算标准 所表示的压强 计示压强 相对压强 表压强 以当地大气压为计算标准 所表示的压强 真空度 以当地大气压为计算基准 小于大气压的部分 三者之间的关系如图或归纳如下 绝对压强 大气压强 计示压强计示压强 绝对压强 大气压强真空度 大气压强 绝对压强 二 静压强的计量单位1 应力单位 Pa N m2 KPa MPa 法定计量单位 2 液柱高单位 国外 bar 巴 1bar 105Papsi 巴斯 1psi 6 89KPa mH2O mmHg等 用不同介质的液柱高表示压强时的换算关系 三 压强的测量 金属式压力表 机械式 压力传感器 电测法 液柱式测压计 基于以静压强基本公式 2 5平衡流体对固体壁面的作用力讨论质量力仅为重力时平衡流体对壁面的作用力 一 固体平面壁上的作用力 大小 方向 作用点 考察平面壁AB上的作用力 建立坐标lom如图 1 平板上的作用力 大小 微元面积dA上的压强 p p0 gh微元面积dA上的微小作用力为dFdF p0 gh dA p0 glsin dA 整个平板AB上的作用力F应为 F AdF Ap0dA A glsin dA p0A gsin AldA式中 AldA lCA 面积矩定理式中 lC 平面A形心C点的l轴坐标 则F p0A gsin lCA p0 ghc A pCA式中 hC 平面A形心C处的液深 pC C点处的压强 上式表明 重力作用下 静止液体对平面壁的作用力等于平面形心处的静压强与平面面积的乘积 2 压力中心 压力作用点 因FlD AldF式中 lD 平面A压力中心D点的l轴坐标 将F和dF的表达式代入上式得 p0 ghc AlD A p0 glsin ldA Im 平面A对m轴的惯性矩 ICm 平面A对通过其形心C并与m轴平行的C C轴的惯性矩 典型平面的ICm值可查表获得 若p0 0 液面为大气压 则可得到很简单的形式 可见总有 lD lC 二者之间的距离为 压力中心D 作用点 液深 若平面A关于l轴不是对称的 尚需求出点D的m轴坐标 才能确定压力中心D的位置则D mD lD 式中 Iml 平面A对m轴和l轴的惯性积 二 曲面壁上的作用力讨论如图所示的二维曲面 柱面 上的静止液体的作用力F 设有一个承受液体压力的二维曲面ab 其面积为A 曲面在xoz坐标平面上的投影为曲线ab 液深为h处的微小曲面积dA上的液体微小作用力为dF dF p0 gh dA 1 作用力的水平分力为Fx微小水平分力为 dFx dFcos p0 gh dAcos p0 gh dAx式中 dAx 微小曲面积dA在x轴方向 或yoz坐标平面 上的投影面积 则Fx AxdFx Ax p0 gh dAx p0Ax g AxhdAx式中 AxhdAx hCAx 曲面A在yoz平面上的投影面积Ax对y轴的面积矩 hC 投影面积Ax形心处C的液深 所以 Fx p0Ax ghCAx p0 ghC Ax 作用力的水平分力 2 作用力的垂直分力Fz微小垂直分力为 dFz dFsin p0 gh dAsin p0 gh dAz式中 dAz 微小曲面积dA在z方向上的投影面积 则 Fz AzdFz Az p0 gh dAz p0Az g AzhdAz显然 式中 AzhdAz VF 曲面ab上方的液体体积 称为压力体 液体对曲面的作用力 所以 Fz p0Az gVF 作用力的垂直分力 F的方向与垂直方向的夹角 F的作用方向 三 压力体的概念积分式 AzhdAz 纯几何体积 定义 由所研究的曲面A 通过曲面A的周界 外缘 所作的垂直柱面 以及对曲面A有作用的液体自由液面 或其延伸面 所围成的封闭体积 用VF表示 称为压力体 压力体液重 gVF 实压力体 压力体与受压面同侧 虚压力体 压力体与受压面异侧 例题 某水坝用一长方形闸门封住放水口 闸门高L 3m 宽B 4m 闸门两边水位分别为H1 5m H2 2m 闸门垂直放置 试确定 1 开启闸门时绳索的拉力 绳索与水平面的夹角为60 2 关闭闸门时A点处的支承力 解 1 作用在闸门右侧的总压力为 总压力F1的作用点 作用在闸门左侧的总压力为 总压力F2的作用点 将闸门两侧的水压力及绳索拉力对转轴O点取矩 应有 即 求得绳索的拉力T 348 9KN 2 即 解得 FA 174 4KN 例题 习题2 32 求封闭液体关闭闸门所需的力F 解 设液体对弧形闸门 以R为半径的四分之一圆柱面 的总压力为P 其垂直指向圆柱面 且作用线通过圆柱曲面的曲率中心 则应有 FR Pl上式中 l Rsin P对铰点O的力臂 P的作用线与垂直方向的夹角 需求出 1 首先求出容器液面压强p0由U形管差压计知 2 由Px pcAx 得 3 4 5 6 7 例题 一圆柱形压力水罐 压力容器 半径R 0 5m 长l 2m 压力表读数pM 23 72KPa 试求 1 两端部平面盖板所受的水压力 2 上 下半圆筒所受的水压力 解 1 端盖板所受的水压力 2 上 下半圆筒所受的水压力 或 压力表用测压管代替时 相对平衡流体所受的质量力 重力惯性力 2 6液体的相对平衡 除了重力场中的流体平衡问题以外 还有一种在工程上常见的所谓液体相对平衡问题 液体质点彼此之间固然没有相对运动 但盛装液体的容器或机件却对地面上的固定坐标系有相对运动 如果我们把运动坐标取在容器或机件上 则对于这种所谓的非惯性坐标系来说 液体就成为相对平衡了 工程上常见的流体的相对平衡有两种 1 作匀加速直线运动容器中的液体 2 作等角速旋转运动容器中的液体 讨论作等角速旋转运动容器内液体的相对平衡 如图 盛有液体的圆柱形容器绕铅垂轴z以角速度 作旋转运动 液体被甩向外周 当旋转角速度 稳定不变时 液体形成如图所示的自由表面 液体质点之间不再有相对运动 液体连同容器作整体回转 如果将运动坐标系固结在回转容器上 且坐标原点取在自由液面的最低点 则液体对运动坐标系形成相对平衡 容器作等角速回转运动 下面讨论其静压强分布规律和等压面方程 单位质量力单位质量液体所受质量力的各分量为 fx 2rcos 2xfy 2rsin 2yfz g式中 r流体质点到旋转轴的距离 x yr在两水平坐标轴上的投影 此时作用在液体上的质量力有两种 重力 W mg虚构的离心惯性力 F m 2r 方向与向心加速度的方向相反 将各单位质量力的分量代入等压面微分方程式 可得 2xdx 2ydy gdz 0 作不定积分得 一 等压面方程在等压面上p C则dp 0由平衡微分方程式的综合表达式可得等压面微分方程式 fxdx fydy fzdz 0 或 自由表面方程 在自由表面上 当r 0时 z 0 可得积分常数C 0 故自由表面方程为 或 等角速旋转容器中液体的等压面方程 可见等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面 则 在Oxy坐标平面以上的旋转抛物体内的液体体积为 上式说明 圆柱形容器中的旋转抛物体的体积 恰好是高度为最大超高的圆柱形体积之半 二 静压强分布规律将前述单位质量力的各坐标分量代入平衡微分方程式的综合表达式中 得 dp 2xdx 2ydy gdz 作不定积分 则 由边界条件 当r 0时 z 0 p p0 可见 等角速旋转容器中液体的静压强分布规律与重力作用下静止液体中的静压强分布规律形式完全相同 小结 流体静力学主要研究流体在静止状态下的力学规律 静止流体中粘性不起作用 表面力只有压应力 所以流体静力学的核心问题是以压强为中心 主要阐述流体静压强的特性 欧拉平衡微分方程 静压强的分布规律 作用在平面壁或曲面壁上的静压力的计算方法等 掌握以下基本概念 绝对压强 相对压强 真空度 测压管水头 压力体 压力中心 掌握静压强的两个重要特性 掌握并熟练运用静力学基本方程 静压强分布规律 重力作用下 理解其物理意义 掌握并能运用欧拉平衡微分方程及其综合表达式 理解其物理意义 掌握作用在平面壁和曲面壁上的静压力的计算方法 第三章流体动力学动力学比静力学多了两个参数 粘度和速度 3 1描述流体运动的两种方法流体运动实际上就是大量流体质点运动的总和 描述流体的运动参数在流场中各个不同空间位置上随时间连续变化的规律 一 拉格朗日法 随体法 着眼于流场中具体流体质点的运动 即跟踪每一个流体质点 分析其运动参数随时间的变化规律 二 欧拉法 局部法 当地法 着眼于某瞬时流场内处于不同空间位置上的流体质点的运动规律 广泛采用 N 流体的运动参数 N N x y z t N x t y t z t t x y z t 欧拉变数 用初始时刻t0某流体质点具有的空间坐标 a b c 来标识不同的流体质点 用流体质点的初始坐标 a b c 和时间变量t共同表达流体质点的运动规律x x a b c t y y a b c t z z a b c t 3 2流体运动中的一些基本概念一 定常 恒定 流动 流体的运动参数 物理量 N仅仅是空间坐标的函数 而与时间无关的流动 即N N x y z 或 二 控制体 流场中人为选定的 相对于坐标系有固定位置 有任意确定形状的空间区域 三 物理量 运动参数 的质点导数 随体导数 物理量的质点导数 全导数 N是时间t的复合函数 由多元复合函数求导法则可得 时变导数 当地导数 在某一固定空间点上物理量N对时间t的变化率 流体质点所在空间位置变化 所引起的物理量N对时间t的变化率 位变导数 迁移导数 对于定常流动 时变导数为零 对于均匀流动 位变导数为零 对于不可压缩流体 全导数为零 四 一元 维 流动 运动参数仅沿着流动方向变化的流动 五 流线 在某一瞬时 液流中的一条条光滑曲线 在该瞬时 位于流线上各点处流体质点的速度方向与流线相切 流线的性质 流线是一个瞬时概念 定常流动下 流线形状不随时间变化 流线不能相交 也不能突然转折 六 流束 过液流中由封闭曲线l围成的面积A上的每一点作流线 所作流线的集合称为流束 微小流束 当面积A无限缩小趋于零时的流束 七 过流断面 流束中与所有流线相垂直的截面 缓变流动 流线间基本平行的流动 缓变流动下的过流断面可近似为一平面 八 流量 单位时间内流过某一过流断面的流体体积 qm3 sl min dq vdA 微小流束过流断面的流量 q AvdA 流束过流断面的流量 九 断面平均流速 假想的过流断面上各点处都相等的流速 3 3连续方程式 一元流动 物理本质 控制体中流体质量的增量 必然等于同一时间内流入与流出控制体的流体质量之差 沿如图所示的流束表面及两个过流断面A1 A2取出控制体 单位时间内流入 流出控制体的流体质量之差等于该控制体内流体质量 密度 的变化率 一 定常流动 二 对于不可压缩流体流动 Const则 即 流过流束各断面的流量都相等 但流速与过流断面积成反比 则 直角坐标系下微分形式的连续性方程 1 连续性微分方程的一般形式 在流场中取一微元平行六面体作为控制体边长分别为dx dy dz 中心点A x y z 流速为vx vy vz 密度为 x y z t 考察在dt时间内流入 流出控制体的流体质量与控制体内流体质量变化的关系 首先考察沿y方向流入 流出控制体的流体质量 流入质量 流出质量 在dt时间内自垂直于y轴的两个面流出 流入的流体质量之差为 dt时间内经控制体净流出的流体质量应等于该时间控制体内流体质量的减少 由质量守恒定律 即 同理可得自垂直于x z轴的平面流出 流入的流体质量之差分别为 不可压缩流体的连续性微分方程 Const 2 不同适用范围的使用形式 定常流动的连续性微分方程 于是可得流体连续性微分方程的一般形式为 物理意义 不可压缩流体在单位时间内 流出 流入单位空间的流体体积之差等于零 适用范围 理想 实际 定常流或非定常流的不可压缩流体 3 4流体微团的运动分析 一 流体微团运动的组成 亥姆霍兹速度分解定理 任一流体微团的运动可以分解为三个运动 1 随同任一基点的平移 2 绕通过这个基点的瞬时轴的旋转运动 3 变形运动 包括角变形和线变形 按二维情况 平动 平移 线变形 平移 角变形 平移 旋转运动 实际的流体运动多为平动 转动和变形三种基本运动形式或两种基本运动形式的组合 二 流体微团的旋转运动 流体微团的旋转运动对流动分析有很重要的意义 1 旋转角速度的定义 原相互垂直的两邻边的旋转角速度的平均值为流体微团绕某转轴的旋转角速度 i i x y z 2 旋转角速度的数学表达式 A点速度 vx vy 与A点相邻的D点速度 AD边的旋转角 同理AB边的旋转角 AD边与AB边的旋转角速度分别为 顺时针为负 逆时针为正 由旋转角速度的定义 可得流体质点绕z轴的旋转角速度 z 同理 三 有旋流和无旋流 按流体质点是否绕自身轴旋转 流动分为有旋流动和无旋流动 有旋流动 亦称涡流 x y z中至少有一个不为零 无旋流动 亦称有势流动 x y z 0 或 有无旋仅取决于每个流体微团本身是否旋转 而与流体微团的运动轨迹无关 3 5理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程 仍采用微元体积法 在流场中取出一个正平行六面体流体微团 dV dxdydz 在某瞬时t形心A x y z 处的压强为pA x y z t 形心A x y z 处的速度为vx vy vz 作用在微元平行六面体上的力有质量力和表面力 以y方向为例分析受力 dFm 一 y方向的质量力dFmy dxdydzfy 二 y方向的表面力左表面 右表面 式中 压强沿y方向的变化率 三 y方向的运动方程 力平衡关系式 由牛顿第二定律 在y方向上有 Fy may即 所以 得 单位质量流体在y方向上运动规律的数学表达式 同理 可推得在x z方向有 理想流体的运动微分方程 欧拉运动微分方程 3 5伯努利方程及其应用 一 理想流体沿流线的伯努利方程 单位质量的流体质点经dt时间沿流线产生微小位移 将上述三式分别与欧拉运动微分方程三个表达式的两边相乘 然后分别相加可得 引入以下限制条件 对上式中的三类项分别进行化简 流体为不可压缩的 流体作定常流动 流体所受的质量力仅为重力 1 质量力 由条件3 fxdx fydy fzdz gdz 2 表面力 由条件2 3 惯性力于是化简后可得 积分上式 并考虑条件1 常数得 对于同一流线上的任意两点1 2 上式可写成 在重力作用下 理想不可压缩流体作定常流动时 沿流线的伯努利方程 能量方程 单位重力流体的动能 速度水头 除以g 则 物理意义 重力作用下 理想不可压缩流体作定常流动时 各点处不同性质的流体能量之间可以相互转换 但在流线任意点处总的机械能守恒 二 理想流体总流 流束 的伯努利方程总流 流体通过有限过流断面的流动 表达了两个过流断面处流体能量的关系 但要以过流断面上的平均值表示 过流断面上速度分布越均匀 1 2 势能项若将yoz坐标平面取在缓变过流断面上 则有 vx v vy vz 0 三 实际流体总流的伯努利方程用能量的观点把 理想 拓广到 实际 中 粘性摩擦对流体运动的阻力 要由一部分机械能去克服 使机械能 热能 沿流动方向机械能降低 应用伯努利方程解决工程实际应用问题时应注意以下几点 1 适用条件 不可压缩流体 定常流动 质量力只有重力作用 2 往往与连续方程联合使用 3 在选取适当的位置势能为零的水平基准面后 可选择过流断面上任意高度为已知点z1和z2列出伯努利方程 三选一列 4 所选用的过流断面必须是缓变过流断面 且其中一个断面应选在待求未知量所在处 另一个断面应选在各参数已知处 5 压强p可取绝对压强或计示压强 但两个断面必须采用同一种表示方法 6 一般取 1 27 沿流程若有能量输入或输出时 经水泵 通风机等 式中 H 单位重力流体流经流体机械获得 或失去 的能量 水泵的扬程 四 伯努利方程的应用 文丘里流量计 文丘里流量计由进出口过流断面积分别为A1和A2的一段渐缩管组成 并在进出口处接入水银差压计 或测压管 根据伯努利方程 只要读出h 或h即可由A1和A2 或d1和d2 求得管中流量q 取基准面0 0 另在缓变流动区取断面1 1 2 2 断面形心为计算点 考虑理想流体 暂不计流动的能量损失 对两过流断面1 1 2 2列出伯努利方程 取 1 由连续方程知 解出 代入伯努利方程得 解得 对于测压管 对于U型差压计 文丘里流量计若用测压管测压 则 推导 则 同除以 g有 则 文丘里流量计若用U形管差压计测压 则 推导 取 水平面过U型管左支管的两液体分界面 列等压面方程 左支管 右支管 即 于是理论流量 qT v1A1 考虑实际流体流动中的能量损失后实际流量为 q Cqv1A1其中Cq 流量系数 流量的测量 计算与文丘里流量计放置的倾斜角度无关 所以 例题3 2 如图所示射流泵 将蓄水池中的水吸上后从出水管排出 已知 H 1mh 5mD 50mm喷嘴d 30mm不计摩擦损失求 1 真空室中的压强p2 2 排出水的流量qV 解 取5个过流断面如图 对1 1 3 3断面列伯努利方程得 则 由连续方程知 即 再对1 1 2 2断面列伯努利方程得 解得 真空室压强p2低于大气压 降至0 345 105Pa后 蓄水池中的水被压上来 流量为 v 吸水管中的流速 对4 4和5 5断面列伯努利方程求v 解得 排出水的流量 3 6动量方程及其应用质点系的动量定理 即 质点系动量的变化率等于作用在质点系上所有外力的矢量和 在某一瞬时t 从流场中取出一控制体 如虚线所示 其一部分控制表面与要计算作用力的固体壁面相重合 按照作用力与反作用力大小相等 方向相反的原理 讨论运动流体对固体壁面的作用力 t dt时刻 流体质点系的动量为 mv t dt mv t dt而 mv t dt mv t dt mv t dt 则在dt时间内流体质点系运动到新的空间位置后 其动量的增量为 d mv mv t dt mv t dt mv t dt mv t mv t dt mv t mv t dt mv t dt 式中 项 控制体内流体动量在dt时间内的增量 项 在dt时间内通过控制表面A2流出控制体的流体动量 项 在dt时间内通过控制表面A1流入控制体的流体动量 二 定常 不可压缩 一元流动的动量方程 1 定常 一元流动 项为零 则有 d mv mv t dt mv t dt 2q2dt 2v2 1q1dt 1v1 由动量定理得 F 2q2 2v2 1q1 1v1 2 对于不可压缩 定常 一元流动 1 2则 F q 2v2 1v1 不可压缩 定常 一元流动的动量方程 动量方程的投影形式 最常使用此形式 Fx q 2v2x 1v1x Fy q 2v2y 1v1y Fz q 2v2z 1v1z 式中 动量修正系数 过流断面上流速分布越均匀 1 三 应用动量方程应注意的几点1 控制表面的一部分必须与对流体质点系有作用力的固体壁面相重合 有一部分必须是压强 流速已知或为所求的过流断面 在取控制体时要特别注意 2 F是作用在控制体内流体质点系上的所有外力的矢量和 外力既包括表面力 固体壁面及控制体外部液体对流体质点系的作用 也包括质量力 3 外力和流速的方向 与所选定的坐标方向相同时取 反之为 4 动量方程中的 F是外界 包括固体 对流体质点系施加的 实际问题中常常要计算的是流体对固体的作用力 应与前者等值反向 四 动量方程的应用1 流体对管道的作用力2 自由射流对挡板的冲击力以下举例说明 例题 密度 1000kg m3的水从图示水平放置的喷嘴中喷出流入大气 已知 D 8cmd 2cmv2 15m s求 螺栓组A所受的力F 解 螺栓组所受的力即为流体对喷嘴的作用力 可用动量方程求解 沿喷嘴壁面及流入 流出过流断面取控制体 控制体内的流体在x方向所受的力有 一 沿x方向列出动量方程 则 液体的压力 喷嘴对控制体内流体的作用力F 二 列伯努利方程求p1 在喷嘴进 出口处取两个过流断面1 1 2 2 不计能量损失 上式中 z1 z2 0 p2 0 则 三 由连续方程求v1 则 将v1代入伯努利方程得 四 将p1 v1 q代入动量方程 得 所以螺栓组A受力 例题 设有一股在大气中流量为q的射流 以速度v冲射到与水平成 角的平板上 然后分成两股 如图 求平板所受到的力及流量q1和q2 解 取控制体及坐标系如图 设平板对流体的作用力为F 则平板受力为 自由射流对挡板的冲击力F 列出沿平板法线方向 y方向 的动量方程 则 再列出沿平板方向 x方向 的动量方程求流量 若忽略液体的重力 或略去高度的变化 和流动损失 则由于控制体内压强处处相等 故由伯努利方程知 流入 流出断面上的速度均相等 即 则 即 又由连续性方程 联解以上两式得 小结 本章介绍流体运动分析所需要的基本概念及描述流体运动的方法 建立描述流场中流体运动的普遍关系式 物理学和理论力学中的质量守恒定律 牛顿运动定律 机械能守恒定律及动量守恒定律等同样是流体运动遵循的规律 是本章推演流体运动普遍关系式的理论依据 建立流体运动的关系式 目的在于确定流体的流速 加速度 压强等运动参数随时间与空间的变化规律及相互间的关系 深刻理解 熟练掌握以下主要概念 定常流动 均匀流动 控制体 质点导数 流线及其性质 一元流动 流管流束 过流断面 流量 断面平均流速 理解描述流体运动的欧拉法 掌握并熟练运用连续方程 掌握并熟练运用伯努利方程 理解其物理意义 理解理想流体运动微分方程及其物理意义 掌握并熟练运用动量方程 第四章相似理论和量纲分析相似理论和量纲分析法是指导流体力学实验的理论基础 包括科学地设计组织实验及整理实验结果 工程流体力学实验的两种类型 1 工程性的模型实验 预测即将建造的大型机械或水工结构上的流体流动情况 2 探索性的观察实验 寻找未知的流动规律 指导第一类实验的理论基础是相似原理 后者则要借助于量纲分析法 4 1相似原理 应用于模型实验 一 力学相似的基本概念力学相似 实物流动与模型流动在对应点上的对应 同名 物理量都应该具有固定的比例关系 1 几何相似 模型流动与实物流动有相似的边界形状 且一切对应的线性尺度成比例 则 线性比例尺 基本比例尺之一 几何相似常数 面积比例尺 体积比例尺 2 运动相似 两个流动对应点 对应时刻的流动速度方向都一致 大小都成同一比例 则 速度比例尺 基本比例尺之二 时间比例尺 加速度比例尺 速度比例常数 流量比例尺 运动粘度比例尺 3 动力相似 两个流动在对应点上 对应瞬时 质点受到同种性质的外力作用 且对应的同名力方向相同 大小成同一比例 其他动力学比例尺均可按照物理量的定义或量纲由上述三个基本比例尺 l v 确定 则 密度比例尺 基本比例尺之三 密度比例常数 如 质量比例尺 力比例尺 上式中各同名力分别为压力P 粘性力F 重力G 惯性力I 对于惯性力根据牛顿定律有 I ma故 压强比例尺 动力粘度比例尺 注意 无量纲系数的比例尺 c 1单位质量重力的比例尺 g 1 二 相似准则两流动力学相似 则必须满足动力相似 而动力相似又可以用相似准则 力学相似准则 力学相似判据 相似准数 的形式来表示 即 同名相似准数相等 1 重力相似判据 佛劳德准则 流体所受重力为G mg Vg即 l2 v2 l3 g 2 粘性力相似判据 雷诺判据 作用于流体上的粘性力即 整理得 定义 则 Eu Eu 欧拉准则 压力相似判椐 欧拉相似准数 欧拉数 以上三个准则称为实际 粘性 不可压缩流体定常流动的力学相似准则 三 近似准则 近似相似 完全相似必须保持下列三个相互制约关系 v2 g l v l p v2 这是相当困难甚至不可能的 例如 由式 得 v l1 2 g 1 由式 得 l1 2 l l3 2上述关系很难满足 近似准则法 根据具体问题 抓住支配流动的主要矛盾 忽略次要因素 选择决定性相似准则 主要相似准则 设计模型实验 流动 1 佛劳德准则作为决定性相似准则 用于水利工程及明渠等无压流动中 此类流动都是以水位落差形式表现的重力为主要矛盾 支配流动 2 雷诺准则作为主要相似准则用于有压管流和大气中物体的运动等情况 流体克服粘性摩擦而流动 粘性力决定流动的性质 四 模型流动的设计与数据换算 举例 例 在设计高h 1 5m 最大速度为v 200km h的轿车时 需要确定其在公路上以此速度行驶时的正面空气阻力 拟在风洞中进行模型实验 并假定风洞实验气流的温度与公路上行驶时的温度相同 若风洞中模型流动的气流速度设计为v 83m s 求模型实验中的轿车高度h 在 的条件下和所求车身高度 若测得模型实验正面空气阻力F 1000N 求实物汽车在公路上以最大速度200km h行驶时 所受空气阻力F为多少 解 1 影响汽车所受阻力的因素主要是粘性力 应以雷诺准则作为决定性相似准则 即应使 或 因两流动是同种介质 且同温度 应有 将v 200km h l h 1 5m v 83m s代入雷诺准则式 则模型实验中轿车的设计高度应为 2 模型设计时已知 同温度下的同种介质 则 可得实物汽车上的正面阻力为 4 2 定理和量纲分析的应用量纲分析的目的是找出影响某一流动现象 过程 的各个变量 因素 把它们加以合理的组合 写成无量纲数的形式 从而把物理过程中各变量间的关系 概括地表示在由这些无量纲数组成的函数关系式中 同时指明实验方法 并使得实验中所需测量和处理的变量数减少 定理是广泛应用于量纲分析的一种方法 一 量纲和谐性原理一个物理现象 或物理过程 用能正确反映其客观规律的物理方程表示时 方程中的每一项的量纲应该是和谐的 一致的 若将物理方程中的各项的量纲均用基本量纲的幂次式表示 则各项的基本量纲必须齐次 称为物理方程的量纲齐次性原理 此原理是量纲分析法的理论依据 二 定理设影响某一个物理过程或某一物理现象N的k个因素 物理量 变量 为n1 n2 ni nk 则此物理现象可用函数式表示为 若从这 k 1 个物理量中确定出三个物理量n1 n2 n3作为基本物理量 则这个物理现象可以用由 k 1 个物理量构成的 k 1 3 个无量纲参数 i表达的函数关系式来描述 即 f 4 5 i k 三个基本物理量必须满足的要求 基本物理量的量纲应该是各自独立的 且包含基本量纲M L T 其余 k 1 3 个物理量的量纲都可以由这三个基本物理量的量纲表示 导出 应用 定理进行量纲分析的步骤 找出影响流动 物理 现象 规律 N的全部k个物理量 将物理现象写成一般函数关系式 从k个物理量中选出3个符合要求 包含不同基本量纲 的物理量作为基本物理量 一般选l v 分别包含长度 时间和质量 用这三个基本物理量的组合 通常是这三个变量指数乘积的形式 依次与其余的 k 1 3 个物理量中的任一个一起组成 k 1 3 个无量纲的 项 即 式中 n1 n2 n3为基本物理量 i 4 5 k 确定无量纲的 项中的各指数写出各变量的量纲 列出量纲关系式 依据量纲和谐性原理 比较各关系式等式两边基本量纲的因次 指数 列出代数方程式 解出各变量的指数xi yi zi 代入上述 k 1 3 个无量纲 项 将 k 1 个物理量之间的待求函数关系式改写成 k 1 3 个无量纲 项之间的待求函数关系式 f 4 5 i k 应用量纲分析法 除可得到反映流动现象的具体函数关系式外 还可将独立变量的个数减少3个 从而大大地简化实验过程 因使所需测量和处理数据的变量数减少 三 量纲分析法的应用 举例 例 试用量纲分析 定理 法推出管中流动的沿程水头损失的表达形式 经实际观察和初步分析知道 流体在水平等径直圆管中的流动 由于沿程粘性摩擦而造成的两点间的压强降 压强差 p与下列因素有关 管径d 两点间的管长l 管壁粗糙度 管内流体的密度 流体的动力粘度 以及管流的断面平均流速v 求 p及hf表达式 解 各变量 因素 与 p的函数关系可以下式表示 p f d v l 上式中k 6 从中选出三个基本物理量d v 按 定理 这 k 1 个有量纲物理量之间的待求函数关系式就可转换成 k 1 3 个无量纲参数之间的待求函数关系式 f 4 5 6 选用M L T为基本量纲 除三个基本物理量外 其余 k 1 3 4个变量 导出物理量 p l 均可由三个基本物理量的指数乘积形式来表示 以上各式中xi yi zi为待定指数 写出每个物理量的量纲 p ML 1T 2 d L v LT 1 ML 3 ML 1T 1 L l L 将各含有无量纲参数的方程写成量纲关系式 依据量纲和谐性原理 由上述第一式可得 M 1 z 0L x y 3z 1 0T y 2 0 解此代数方程组得 x 0 y 2 z 1 则 又由上述第二式可得 M 1 z4 0L x4 y4 3z4 1 0T y4 1 0 解此代数方程组得 x4 1 y4 1 z4 1 所以 用同样的方法可解得 将各 值代入 前述无量纲参数之间的待求函数关系式变为 所以 最后写出沿程水头损失的函数关系式 达西公式 式中 沿程阻力系数 小结本章主要介绍了相似原理和量纲分析 在设计模型流动实验时 需要使模型流动与实物流动具有一定的对应关系 这就要求两个流动满足几何 运动 动力这三个层次上的相似 力学相似 其中动力相似是流动相似的主导因素 动力相似要求两个流动各个同名力的比值都相等 由此提出了不同的相似准则 并定义了不同相似准数 从理论上说 只有当两个流动的各同名相似准数都相等时 流动才严格地满足动力相似 但在大多数情况下 并不需要 且常常也不可能同时满足所有的相似准则 因此 在设计模型流动时需要认真分析流动的各个影响因素 优先考虑起主导作用的相似准则 量纲分析是以量纲的和谐性原理为依据 以 定理为基础的 一个流动现象通常会与多个物理量相关 运用量纲分析 定理法 可以综合若干个物理量的影响 组成无量纲综合量 使问题相关参量的数目减至最小 从而揭示参量之间的内在联系 使问题得到简化 本章要求理解力学相似 量纲及量纲和谐性原理等概念 重点掌握量纲分析的 定理法 雷诺相似准则和弗劳德相似准则 讨论流体在管道中的流动状态 速度分布规律 流量计算和流动中所产生的能量损失hf 重点 5 1雷诺实验一 层流和湍流 流体在管道中运动时的两种流动状态 层流 流体质点无横向运动 互不混杂 层次分明地沿管轴流动 湍流 流体质点具有无规则的横向脉动 引起流层间流体质点的紊乱 相互混杂的流动 第五章管中流动 二 雷诺数 流态的判定 临界雷诺数 Re c 13800层 湍 上 金属圆管 Rec 2320湍 层 下 对于非圆截面管道 水力直径 式中 雷诺数 无量纲 式中 S 湿周 即过流断面的周界长度 用下临界雷诺数判别流态 对于光滑金属管 当Re2320湍流 雷诺数的物理意义 流体运动时所受到的惯性力与粘性力之比 雷诺判据 5 2圆管中的层流讨论层流状态下圆管过流断面上的速度分布 流量计算及沿程水头 压强 损失hl pl 的计算 一 过流断面上的速度分布水平放置的等径直圆管内流体作定常层流 从中取出一轴心与管轴重合的微小圆柱流体 分析其在水平方向 x方向 上的受力 质量力 只有重力 无此方向上的分力 表面力 1 两端面上的压力 p1 p2 r2 p r2 由 Fx 0得 2 圆柱体侧表面上的粘性摩擦力 整理后可得 对上式积分 所以过流断面上的流速分布为 由圆管边界条件 当r R时v 0于是 上式说明 圆管层流下过流断面上的流速随半径r呈二次旋转抛物面分布 最大流速发生在轴线处 即r 0处 故 二 流量计算 用圆管内径表示 哈根 泊肃叶公式上式反映了流量q 压强差 p与管径d的关系 同时也是工业上测定液体粘度的依据 三 圆管层流的断面平均流速 将v和v的表达式代入 及 的计算式 可得层流时 2 4 3 四 沿程能量损失 管流中能量损失的类型沿程能量损失 流 液 体在等径直圆管中流动时 沿流程克服摩擦阻力 使液体能量沿流动方向逐渐降低 造成的能量损失 可用沿程压强损失 pl或沿程水头损失hl表示 局部能量损失 流 液 体流动时克服过流断面突然改变等局部阻力造成的能量损失 同样可用局部压强损失 p 或局部水头损失h 表示 2 沿程压强损失 pl的计算层流 湍流均适用密度为 的液体以速度v流经长度为l 内径为d的一段圆管时所产生的压强损失 f Re d 沿程阻力系数式中 d 相对粗糙度 绝对粗糙度 不同流动状态下计算 的方法不同 对于层流 由流量计算公式可得 则 只与雷诺数Re有关 3 沿程水头损失hl沿程能量损失亦可用水头损失表示 同样 上式对于层流 湍流均适用 对于层流 4 功率损失流体功率 P pq功率损失 P pq ghlq 5 3圆管中的湍流一 湍流运动参数的脉动现象及其时均化 二 过流断面上的速度分布湍流的脉动性 流体质点相互混杂 碰撞 造成动量交换 使得过流断面上的时均速度趋于均匀化 时均压强 时均速度 v 0 8 0 9 vmax因而湍流时 1 1 图中 粘性底层 层流边界层 管中湍流时 靠近管壁以很大的速度梯度作层流运动的流体薄层 粘性底层的厚度 管壁绝对粗糙度 管壁凹凸差值的平均值 若 称为水力光滑管 淹没 若 称为水力粗糙管 突出在 之外 湍流属于 水力光滑管 或 水力粗糙管 取决于Re 影响 的大小 和 三 湍流的沿程阻力系数 Re d 在工程设计计算中 圆管湍流求取 的方法有以下两种 1 查莫迪 Moody 图 根据雷诺数Re和管壁相对粗糙度 d 2 按经验公式求取 根据不同的Re和 d值 判断流动阻力区域后 选用适用