高三数学第一轮复习讲义17三角函数2.docx

2018届高三第一轮复习讲义【17】-三角函数（二）一、知识梳理：1. 形如的函数：（1）几个物理量：振幅；频率（周期的倒数）；相位；初相；(2)函数表达式的确定：由最值确定；由周期确定；由图像上的特殊点确定(3)函数图像的画法：“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图像；图像变换法：这是作函数简图常用方法2. 函数的图像与图像间的关系：函数的图像纵坐标不变，横坐标向左（0）或向右（0）平移个单位得的图像；函数图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像；函数图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数的图像；函数图像的横坐标不变，纵坐标向上（）或向下（），得到的图像.二、基础检测：1.若函数是偶函数, 则_.2.函数的单调递增区间为_.3.函数的图像的相邻两对称中心的距离是_.4.函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为_.5.函数的最小正周期是_;6.把函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然后把图象向左平移个单位，则所得图象表示的函数的解析式为（ ）A.B. C. D.三、例题精讲例1：如图是函数的图像的一部分，请根据图中信息写出此函数的解析式。解：由图：函数的最大值与最小值分别是与，所以，其周期为，所以。则。又当时，函数最大值为，则，由，得。所以所求函数解析式为：。说明：由函数图像确定函数解析式分三步：（1）由最值确定振幅；（2）根据周期确定；（3）根据特殊点（最值点）确定初相。例2：已知函数的图像在同一周期中的最高点坐标为，最低点的坐标为，求函数的解析式。解：由题意：，所以，则。又，所以，则，即。所以。根据图像经过最高点，所以，则，因为，所以。即所求函数的解析式为：。例3：已知函数。（1）求函数的最小正周期和单调增区间；（2）函数的图像由的图像经过怎样变换得到？（3）写出此函数图形的对称轴方程、对称中心坐标。解：（1）， ，增区间。（2）向左平移，向上平移。(3) 对称轴方程，对称中心。例4：已知函数 。（1）求函数定义域；（2）求单调增区间；（3）求最小正周期；（4） 求函数最值及相应的值。解：（1），（2）增区间（3）；（4）。例5：已知关于的方程，其中，试对的取值讨论方程解的个数。解：数形结合， 或时，一解； 时，两解； 或 时，无解。例6：已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在上是单调函数，求和的值。解：，或。例7.（1）由函数的图像，经过怎样的变换后，能够得到函数的图像。（2）由函数的图像经过怎样的变换后，能够得到函数的图像；解：（1）先将的图像向右平移个单位得到，然后保持纵坐标不变，将横坐标扩大至原来的2倍，得到的图像。（或先将横坐标扩大至原来的2倍，再向右平移个单位）（2）又，所以将的图像向左平移个单位，能够得到函数的图像。例8.五点法作出一个周期内的图像.解: 相位移位, 周期为;五点法列表如下:x0200其图像如下:例9.设, 其图像最高点为, 最高点运动到相邻最低点时, 曲线经过点, 求的解析式.解: 由最高点纵坐标为, 则,由最高点与相邻的零点的横坐标差为,由,即函数解析式为.例10.已知函数（1）求函数的值域与周期；（2）求当时，的单调递减区间；（3）若函数的图像关于直线对称，求的最小值；（4）若存在使成立，求实数的取值范围.解：（1）所以值域为，周期（2），又单减性得到（3）（4）当由故的取值范围是四、难题突破：例1、在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且设（1）若，求方程在区间内的解集；（2）若点是过点且法向量为的直线上的动点当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合 若恒成立，求实数的最大值；（3）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”解：（1）由题意，当，时，则有或，即或，又因为，故在内的解集为（2）由题意，的方程为在该直线上，故因此，所以，的值域来源:学_科_网来源又的解为0和，故要使恒成立，只需，而，即，所以的最大值（3）解：因为，设周期由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”因此，根据三角函数的图像特征可知，又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，（i）当时，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；（ii）当时，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；综上，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”五、课堂练习：1.函数的最小正周期是 . 2.函数的图像经过_的变换后，可得到的图像.3.已知函数在区间上至少在两处取得两个最大值, 则正整数t的最小值是 .4.函数图像的一条对称轴是直线（ ）A. B. C. D.5.与函数的图像不相交的一条直线是（ ）A.B. C. D. 6.函数在一个周期内的图像如下，此函数的解析式为（ ）ABCD7.已知函数为奇函数，其图像与直线的某两个交点的横坐标分别为、 且的最小值为，则（ ）AB CD8.同时具有性质：最小正周期是；图像关于直线对称；在上是增函数的一个函数是（ ）A. B.C. D. 9.已知函数,(1)求的最小正周期;(2)若，求的最大值和最小值.10.已知函数的图像与轴交于, 其图像在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为,(1)求函数的解析式;(2)求函数图像的对称轴方程.11若函数在内是减函数, 则实数的取值范围是_;六、回顾与总结：1.主要方法:求三角函数的定义域、值域、单调区间、最值、周期等的问题中通常都要先把表达式化简，尽量使表达式成为关于一个角的一个函数名的一次表达式，同时一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化；对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图像时只要作出一个周期的图像，就可根据周期性作出整个函数的图像.求函数的单调区间，只需求的相反区间即可.2.易错、易漏点:解决三角函数的有关问题，最主要是掌握好函数的基本性质，同时注意到三角函数自身的一些特性(定义域等要求)；求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为的形式，否则很容易出现错误；函数的单调性是在定义域(或其某个子区间)上考虑的，要比较两个三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小.七、课后练习：1把的图像向左平移个单位，得到函数 的图像；再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数 的图像 2 将函数的图像向右平移个单位，所得图像的函数为偶函数，则的最小值为 ( ) 3 函数的图像关于原点对称的充要条件是 （） 4若方程有解，则 5若恒成立，则实数的取值范围 6 已知函数的定义域为，值域为，求的值7 是否存在实数，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的值？若不存在，试说明理由8已知向量，且 设 （1）求的表达式，并求函数在上图像最低点的坐标（2）若对任意，恒成立，求实数的范围9设函数，若对都有成立，则的最小值是 10若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是 11求函数的最小值12已知偶函数的最小值是0，求的最大值及此时的集合13已知函数，其中，且（1）函数的图像与轴有没有交点？若没有，说明理由；若有，指出交点个数，并说明理由；（2）若当时，有最大值，求、的值【思考题】1将一块圆心角为，半径为的扇形铁片裁成一块矩形，有如图(1)、(2)的两种裁法：让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边