（浙江专用）高考数学三角函数、解三角形6第6讲函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用教学案.docx

第6讲函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03.三角函数图象变换的两种方法(0)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)把ysin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为ysinx.()(2)将ysin 2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin的图象()(3)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(4)如果yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()(5)若函数yAsin(x)为偶函数，则2k(kZ)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修4P58A组T3改编)函数y2sin的振幅、频率和初相分别为()A2，4，B2，C2， D2，4，解析：选C.由题意知A2，f，初相为.2(必修4P62例4改编)如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_解析：从图中可以看出，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以A(3010)10，b(3010)20，又146，所以.又1022k，kZ，取，所以y10sin20，x.答案：y10sin20，x易错纠偏(1)搞错图象平移的单位长度；(2)搞错横坐标伸缩与的关系；(3)搞不清f(x)在x处取最值；(4)确定不了解析式中的值1将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin解析：选D.函数y2sin的周期为，将函数y2sin(2x)的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y2sin2sin，故选D.2函数ysin x的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是_解析：根据函数图象变换法则可得答案：ysinx3若函数f(x)sin x(02)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_解析：由题意知当x时，函数取得最大值，所以有sin 1，所以2k(kZ)，所以6k(kZ)，又02，所以.答案：4已知简谐运动f(x)2sin的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的初相为_解析：将点(0，1)代入函数表达式可得2sin 1，即sin .因为|0，0，)的最小正周期是，且当x时，f(x)取得最大值2.求f(x)的解析式；作出f(x)在0，上的图象(要列表)【解】(1)选C.因为ysincos(2x)coscoscos2(x)，将函数ycos 2x的图象向右平移个单位长度，可以得到ycos的图象，即ysin(2x)的图象，故选C.(2)因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为x时，f(x)取得最大值2.所以A2，同时22k，kZ，2k，kZ，因为0，0)的图象的两种作法五点法：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” (2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为而不是|.1(2020瑞安市龙翔高中高三月考)函数ysin的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点中心对称()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析：选B.假设将函数ysin的图象平移个单位长度得到ysin关于点中心对称，所以将x代入得到sinsin0，所以2k，kZ，所以，当k0时，.2已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解析：选D.易知C1：ycos xsin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数ysin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数ysinsin的图象，即曲线C2，故选D.由图象确定yAsin(x)的解析式 (1)(2020温州市十校联合体期初)函数yf(x)在区间上的简图如图所示，则函数yf(x)的解析式可以是()Af(x)sin Bf(x)sinCf(x)sin Df(x)sin(2)已知函数f(x)Asin(x)b的图象的一部分如图所示，则f(x)的表达式为_【解析】(1)由图象知A1，因为，所以T，所以2，所以函数的解析式是ysin(2x)，因为函数的图象过点，所以0sin，所以k，kZ，所以当k0时，所以函数的解析式是ysin，故选B.(2)由图象可知，函数的最大值M3，最小值m1，则A2，b1，又T2，所以2，所以f(x)2sin(2x)1，将x，y3代入上式，得sin1，所以2k，kZ，即2k，kZ，因为|0，)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，B2，C4，D4，解析：选A.由图可得T，所以T，所以T，2，所以f(x)2sin(2x)，又f(x)的图象经过点，所以f2sin2，所以sin1，所以2k(kZ)，即2k(kZ)，又0，0，00，0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)存在周期，其最小正周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx(0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称中心利用ysin x的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴 1(2020宁波市十校联考模拟)将函数ysin的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴方程是()Ax BxCx Dx解析：选A.将函数ysin的图象向左平移个单位长度，可得ysinsin的图象，令2xk，求得x，kZ，可得所得函数图象的对称轴方程为x，kZ，令k1，可得所得函数图象的一条对称轴方程为x，故选A.2(2020杭州市高三期末检测)设A，B是函数f(x)sin|x|与y1的图象相邻的两个交点，若|AB|min2，则正实数()A. B1C. D2解析：选B.函数f(x)sin|x|，为正数，所以f(x)的最小值是1，如图所示：设A，B是函数f(x)sin|x|与y1的图象相邻的两个交点，且|AB|minT2，解得1.故选B.3(2020宁波市高考模拟)已知函数f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，则函数f(x)的最小正周期为_，振幅的最小值为_解析：函数f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，化简可得：f(x)sin(2x)sin(2x)，其tan .函数f(x)的最小正周期T.振幅为 ，当a时，可得振幅的最小值.答案：核心素养系列8数学建模三角函数实际问题中的核心素养 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时的浪高数据：t(小时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb(A0，0)的图象根据以上数据，(1)求函数f(t)的解析式；(2)求一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间【解】(1)由表格得解得又因为T12，所以，故yf(t)cost1.(2)由题意，令cost11.25.即cost，又因为t0，24，所以t0，4，故0t或t2或2t2或2t22，即0t2或10t12或12t14或22t24，所以在一日内该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为8小时 如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数yAsin x(A0，0)，x0，4的部分图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.求A，的值和M，P两点间的距离【解】连接MP(图略)依题意，有A2，3，又T，所以，所以y2sinx.当x4时，y2sin3，所以M(4，3)又P(8，0)，所以|MP|5.即M，P两点相距5 km.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题 基础题组练1函数ysin在区间上的简图是()解析：选A.令x0，得ysin，排除B，D.由f0，f0，排除C.2(2020温州瑞安七中高考模拟)函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为()A. B.C0 D解析：选B.令yf(x)sin(2x)，则fsinsin，因为f为偶函数，所以k，所以k，kZ，所以当k0时，.故的一个可能的值为.故选B.3(2020湖州市高三期末考试)若把函数yf(x)的图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数ysin x的图象，则yf(x)的解析式为()Aysin1 Bysin1Cysin1 Dysin1解析：选B.函数ysin x的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标保持不变)，得到ysin 2x，沿y轴向上平移1个单位，得到ysin 2x1，图象沿x轴向右平移个单位，得到函数ysin1sin1.故选B.4(2020宁波市余姚中学高三期中)已知函数f(x)Asin(x)在x时取得最大值，且它的最小正周期为，则()Af(x)的图象过点Bf(x)在上是减函数Cf(x)的一个对称中心是Df(x)的图象的一条对称轴是x解析：选C.因为函数f(x)Asin(x)的最小正周期为，所以T，所以2，即函数f(x)Asin(2x)，又因为函数f(x)Asin(2x)在x时取得最大值，所以sin1，即22k(kZ)，又因为，所以，所以f(x)Asin，其中A0)的图象分别向左、向右各平移个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则的最小值为()A. B1C2 D4解析：选C.把函数y2sin(0)的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y12sin2sin，向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y22sin2sin.因为所得的两个图象对称轴重合，所以xx，或xxk，kZ.解得0，不合题意；解得2k，kZ.所以的最小值为2.故选C.6已知函数f(x)2sin(x)的图象如图所示，则函数yf(x)图象的对称中心的坐标为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)解析：选D.由题图可知，所以T3，又T，所以，所以f(x)2sin，因为f(x)的图象过点，所以2sin2，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)又因为|0，|0)，又由f(0)且|0，0)，由题意得A1，B6，T4，因为T，所以，所以ysin6.因为当x1时，y6，所以6sin6，结合表中数据得2k，kZ，可取，所以ysin66cosx.答案：y6cosx9函数f(x)2sin(x)(0，0)的图象如图所示，已知图象经过点A(0，1)，B，则f(x)_解析：因为图象经过点A(0，1)，B，A，B两个点的纵坐标互为相反数，从点A到点B经过半个周期，所以，解得3.又因为图象经过点A(0，1)，f(x)2sin(x)，所以12sin ，即sin ，所以由00，0，00)个单位长度，得到的图象关于直线x对称，求的最小值解：(1)f(x)sin xcos x22sin.由f()2，得sin，即2k或2k，kZ.于是2k或2k，kZ.又0，故.(2)将yf(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y2sin的图象，再将y2sin图象上所有点的横坐标向右平行移动个单位长度，得到y2sin的图象由于ysin x的图象关于直线xk(kZ)对称，令2x2k，解得x，kZ.由于y2sin的图象关于直线x对称，令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.综合题组练1已知函数f(x)2sin(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在1，1上的单调递增区间为()A. B.C. D.解析：选D.由T，又f(x)的最大值为2，所以2，即，所以f(x)2sin.当2kx2k，即2kx2k，kZ时函数f(x)单调递增，则f(x)在1，1上的单调递增区间为.2(2020杭州市七校联考)已知函数y4sin，x的图象与直线ym有三个交点，其交点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1x20)，若方程f(x)1在(0，)上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为_解析：因为f(x)2sin，方程2sin1在(0，)上有且只有四个实数根，即sin在(0，)上有且只有四个实数根故x2k或x2k，kZ.所以x或x，kZ.设直线y1与yf(x)在(0，)上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则xA，xB.因为方程f(x)1在(0，)上有且只有四个实数根，所以xAxB，即，计算得出.答案：4将函