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第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。第一节 中值定理一、 罗尔定理（Rollo法16521719 ）1 定理在上连续在内可导则至少注：在上连续 连续曲线，且在端点左、右连续。在内可导 曲线光滑且曲线上每一点有不垂直于轴的切线则至少弧上至少存在一点切线的斜率为0，即切线平行于轴2. 几何意义如果连续光滑曲线在两端点处的纵坐标相等，那么曲线上至少有一点的切线平行于轴例1 ，验证罗尔定理的正确性。注：确定区间的端点使，一般就是方程的根。例2 不求导数，判断的导数有几个实根，以及其所在范围。二阶导数有几个实根？在上满足Rollo中值定理 至少3注：三条件缺一不可，但反之未必成立。P124二、 拉格朗日中值定理（Lagrange法，17361813 ）1 定理在上连续在内可导则至少 注：则至少弧上至少存在一点切线平行于割线AB2. 几何意义3重要推论在内，在内，在内，在内，例（补充1）(920306)(利用中值定理证明恒等式)当时，求证：例1 ，求的值使Lagrange公式成立例2 证明不等式，例（补充2）（910406）证明：当时，求证：例（补充3）（利用中值定理求极限）设求4Lagrange定理的其它形式： 5Rollo定理与Lagrange定理的关系6Lagrange定理的物理意义（补充） 在时间内走过的距离 在时间内的平均速度 在时刻的瞬时速度Lagrange定理的物理意义：在这段时间内，至少有一时刻，在该时刻的瞬时速度=这段时间的平均速度。三、 柯西定理（Cauchy法17891857 ）1 定理在上连续在内可导则至少四、 三定理的关系（比较条件、结论、图形）Rollo定理 Lagrange定理 Cauchy定理 练习：P193/2（2）下列函数在给定区间上是否满足Lagrange定理的所有条件？如满足，求出定理中的数值（2）作业：课堂练
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