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文档简介
1,称为级数, 有限个数连续相加有明确意义, 无穷多个数连续相加的意义是什么？,什么是级数 ？,无穷级数的求和这一无穷过程困惑数学家长达几个世纪。,是1，还是0，或是其它值？,无穷级数是一个威力强大的工具的基础，这个工具是我们能把许多函数表示成“无穷多项式”，并告诉我们把它截成“有限多项式”时带来多少误差。它不仅提供了可微函数的有效的多项式逼近，而且还有许多其它应用: 借助级数表示很多有用的非初等函数; 解微分方程 ; 实数的近似计算。,问题：1、无限多个实数相加是否存在和?2、如果存在，和等于什么?,定义1 设有一个无穷数列,依次连接起来的表达式:,称为无穷级数(简称级数).,常缩写为,其中第 n 项,叫做级数的一般项或通项.,表达式,中前 n 项的和,的部分和, 记为 即,称为级数,用加号把此数列的项,2.2 数项级数的基本概念,它们之间的差值 称为级数的余项.,定义2 若级数 的部分和数列 的极限 存在,并把S称为级数 的和, 记为,则称级数 收敛;,否则就发散;,当 时,称,级数 收敛于S,当级数收敛时,前n项的和 是级数和S 的近似值,用 作S的近似值所产生的误差,就是余项的绝对值,故级数发散.,例1 讨论级数,的敛散性.,例2 判定级数,的敛散性. 若收敛, 则求出其和.,解 因,故级数收敛, 其和为1.,解 因,则,例3 讨论几何级数(或等比级数),解 当 q 1时, 部分和,(1)当q 1时,(其中a0, q 称为级数的公比, 为它的一般项),(3)当q =1时,的敛散性. 若收敛, 则求出其和.,()若 q = 1时, 则,()若 q =1时, 则级数成为a a+a a+a a+,当 n 为偶数时,当 n 为奇数时,几何级数,故原级数发散.,从而,不存在.,综上所
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