医学统计学 直线回归分析

直线回归分析 主要内容 直线回归方程的建立直线回归的统计推断直线回归的应用直线回归需注意的问题直线回归与直线相关的联系与区别 医学领域里常常需要研究两个变量之间的关系 例如 人的身高与体重 体温与脉搏次数 年龄与血压 药剂量与疗效 体表面积与肺活量 身高与臂长 两变量关系的密切程度可以用直线相关衡量 两变量的数量变化关系可以用直线回归衡量 直线回归概念 直线回归 linearregression 用来研究两个连续型变量之间数量上的线性依存关系 因变量 dependentvariable 常用y表示自变量 independentvariable 常用x表示 例14 1 某研究欲探讨男性腰围与腹腔内脂肪面积的关系 对20名男性志愿受试者测量其腰围 cm 并采用磁共振成像法测量其腹腔内脂肪面积 cm2 结果如表14 1所示 试建立腹腔内脂肪面积和腰围的直线回归方程 为了直观了解腹腔内脂肪面积与腰围的关系 以这20名男性志愿者的腰围为横坐标 腹腔内脂肪面积为纵坐标绘制散点图 图14 1两变量直线回归关系散点图 腹腔内脂肪面积 cm2 腰围 cm 函数关系与回归关系 函数关系 自变量取某一数值时 应变量有一个完全确定的数值与之对应 如 y 2x 1回归关系 变量间虽然存在一定的关系 但关系不是十分确定 如本例 直线回归方程 为自变量的取值为当取某一值时应变量y的平均估计值为截距 intercept 即当时y的平均估计值b为回归系数 regressioncoefficient 表示改变一个单位时y的平均改变量 a 0 a 0 a 0 b 0 每增加 减少 一个观测单位 增加 减少 b个单位 b 0 b 0 每增加 减少 一个观测单位 减少 增加 b 个单位 b 0 b 0 与没有直线回归关系 b 0 回归方程的估计 原理 最小二乘法 leastsquaremethod 各实测点到直线的纵向距离平方之和达到最小 计算公式 其中 本例 故所求回归方程为 直线回归的统计推断 样本回归系数b总体回归系数 对 的两种假设检验方法 方差分析法t检验法 方差分析法 总变异的分解 即 总离均差平方和 不考虑回归关系的总变异 回归平方和 总变异中可以用回归关系所解释的部分 值越大 说明回归效果越好 残差平方和 总平方和中无法用回归关系解释的部分 随机误差 自由度的分解 构造F统计量 方差分析表 本例 1 建立检验假设 确定检验水准 2 计算检验统计量 3 确定P值 作出统计推断 P 0 01 按照0 05检验水准拒绝H0 回归方程有统计学意义 可以认为腹腔内脂肪面积与腰围之间有直线回归关系 t检验法 公式 其中 本例 查t界值表 得P 0 001 结论与方差分析法一致实际上 对同一资料作总体回归系数是否为0的假设检验 方差分析和t检验是一致的 总体回归系数的区间估计 本例 决定系数 coefficientofdetermination 反映了回归贡献的相对程度 即在因变量y的总变异中用y与x回归关系所能解释的比例 在实际应用中 常用决定系数来反映回归的实际效果 本例决定系数为0 581 直线回归分析的应用 因变量总体条件均数的置信区间估计应变量个体y值的预测区间 总体条件均数的置信区间估计 点估计 是在给定x xp下的条件平均值的点估计的1 的置信区间估计公式为 其中 应变量个体y值的预测区间 对于给定的x xp y值的预测区间计算公式为 其中 二者的区别 置信带和预测带 直线回归分析需注意的问题 回归分析前应绘制散点图 必需有直线趋势时 才适宜作直线回归分析 应注意资料有无离群点 outlier 及离群点的处理 模型假设条件的考察 残差图 结果的解释及正确应用反映自变量对应变量数量上影响大小的是回归系数 而非P值 内插与外推 直线回归与直线相关分析的联系与区别 联系 对于服从双变量正态分布的同一组数据 既可作直线相关分析又可作直线回归分析 相关系数与回归系数正负号一致 本例 r 0 762b 2 11对于同一样本 相关系数与回归系数的假设检验等价 tb tr 对于服从双变量正态分布的同一组资料用回归可以解释相关 区别 资料要求 直线相关要求双变量正态分布 直线回归要