第2章 晶格热振动

第二章晶格热振动ThermalVibrationofLattice 2 0引言 一维晶格热振动 色散关系 周期性边界条件三维晶格热振动的特点和一般规律晶格热振动的量子化 声子声子统计分布函数 晶格热振动能晶格比热的Einstein模型晶格比热的Debye模型晶格热传导 一 基本内容 二 学习要点 掌握格波的概念和色散关系正确理解声子的概念及其统计分布掌握态密度的求法熟练掌握固体比热的计算方法掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响 2 1一维晶格 原子链 的热振动 一 一维简单晶格的热振动 一维简单晶格位移示意图 un 第n个原子偏离平衡位置的位移m 原子质量 a m 2 1一维晶格 原子链 的热振动 一 一维简单晶格的热振动 1 简谐近似 V r 抛物线近似 选择合适的势能零点 有 令 简谐近似 一 一维简单晶格的热振动 第个n原子受力 2 1一维晶格 原子链 的热振动 2 振动方程 牛顿方程 试探解 将特解代入牛顿方程得 2 1一维晶格 原子链 的热振动 一 一维简单晶格的热振动 3 格波及色散关系 1 q的物理意义 2 q讨论格波的概念色散关系 q a a q的取值限定在第一布里渊区内 2 1一维晶格 原子链 的热振动 一 一维简单晶格的热振动 4 长格波极限 当 类似于连续介质中的弹性波称之为 声学振动 2 1一维晶格 原子链 的热振动 一 一维简单晶格的热振动 4 周期性边界条件与q的取值 周期性边界条件 N个q 独立振动的模式数与自由度相等 2 1一维晶格 原子链 的热振动 二 一维复式晶格的热振动 1 位移分析 un 第n个m原子偏离平衡位置的位移vn 第n个M原子偏离平衡位置的位移m 原子质量M 原子质量a 晶胞常数 2 1一维晶格 原子链 的热振动 二 一维复式晶格的热振动 2 振动方程 牛顿方程 试探解 2 1一维晶格 原子链 的热振动 二 一维复式晶格的热振动 3 色散关系 将试探解代入牛顿方程可以得到 关于A B齐次方程组无穷多解 有非零A B解条件是方程组系数行列式为零 可以得到一个关于 2的一元二次方程 解得 2 1一维晶格 原子链 的热振动 二 一维复式晶格的热振动 3 色散关系 2 1一维晶格 原子链 的热振动 二 一维复式晶格的热振动 4 周期性边界条件及q的取值 周期边界条件 N个q 2N个独立振动的模式数与自由度相等 光学支N个振动模式 光学支N个振动模式 2 2三维晶格的热振动 二 一维复式晶格的热振动 5 长波极限 单胞质心不动 异类原子相向运动 离子晶体可以同光波发生强烈相互作用 故称为光学振动 光学模频率高 用激光可激发该振动 所代表的振动 所代表的振动 单胞内异类原子同向运动 频率与波矢成线性关系 与连续介质中的弹性波类似 故称为声学振动 声学波可以用声波激发其振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 周期性边界条件同样实用于三维晶体可以找到一组坐标变换 可以将三维晶格振动处理成独立的简谐振动所以可以得出 q的取值与一维情况是相近的 而且 波矢同样要限制在第一布里渊区以内 1 q取值 2 2三维晶格的热振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 1 q取值 2 2三维晶格的热振动 若三维晶体每个单胞中含有n个原子 共有N个单胞 总的的独立晶格振动模式数 3nN个由于声学格波在长波极限下代表单胞的整体运动 所以声学振动的模式数为 3N个 声学支的色散关系共有3个 光学振动的独立模式数为 3nN 3N 3 n 1 N个 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 2 振动模式数 2 2三维晶格的热振动 正则坐标 所有原子坐标的线性组合正则动量 所有动量的线性组合 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 2 量子化处理 引入 2 2三维晶格的热振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 2 量子化处理 在上述正则变换下 体系的总能量可以表达为 量子化以后 可以看成是3nN个独立的线性谐振子 其哈密顿量没有势能的交叉项 2 2三维晶格的热振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 3 声子的概念 上述3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解 其能量本证值为 晶格振动的能量量子 声子声子是晶格集体振动的一种元激发 类比 光波和光子声波和声子 2 2三维晶格的热振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 3 声子的概念 一个格波能量 激发n个声子 能量减少 意味声子湮灭 电子 声子碰撞 能量 动量都守恒声子 声子碰撞 能量 动量都守恒声子数不守恒 玻色子 2 2三维晶格的热振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 4 声子统计分布及晶格振动的总能量 声子的统计分布 晶格振动的总能量 E0零点振动能 2 2三维晶格的热振动 三 三维复式晶格的热振动的一般规律 4 声子统计分布及晶格振动的总能量 2 2三维晶格的热振动 两个相邻的频率或波矢相差很小 晶格热振动总能量可以用积分表示 2 3晶格比热的实验研究结果 当温度很高时 实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数 离子固体 T 0 杜隆 柏替 Dulung Petit 定律 2 4晶格比热的爱因斯坦模型 爱因斯坦温度 2 4晶格比热的爱因斯坦模型 通过色散关系加以讨论 温度较高 高频声子激发为主 高频下 频率近似为常数 爱因斯坦模型更适合较高温度的情形 2 4晶格比热的爱因斯坦模型 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 一 模型 考虑到爱因斯坦模型在低温下与实验不符 德拜主要考虑低温下的情况 通过分析色散关系中低频声学支特点可以发现 当频率较低时 频率同波矢近于线性关系 在温度较低时 激发的声子主要是低频声子 所以可以假定频率与波矢成正比 在物理上 实质上是将晶格振动看成是连续介质中的弹性波 因为低频下 波长远大于晶格常数 所以晶体可以看成是连续介质 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 一 模型 核心问题 态密度 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 二 态密度 在倒空间中q的取值是均匀分布的 l1 l2 l3 整数 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 二 态密度 倒空间每个q所代表的点形成的 点阵 在倒空间 每个q所占的体积为 V NVc是晶体的体积 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 二 态密度 b1 b2 b3 q 倒易空间q的密度为 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 二 态密度 由于 和q是一一对应的 所以有 2 5晶格比热的德拜 Debye 模型 三 晶格比热 2 6晶体的热膨胀 V r 抛物线近似 温度为T时 一维晶体中原子的平均距离为 若势函数时是对称的 上式为零 晶体表现为零膨胀特性 晶体的热膨胀是非简谐效应 2 6晶体的热膨胀 由晶体势函数的形状分析晶体热膨胀行为 讨论 正膨胀 负膨胀 分析距离负膨胀材料的意义 2 7晶格导热 一 声子膨胀的正常过程 N过程 三声子过程 满足动量守恒定律 N过程对热阻没有贡献 对温度均匀化有重要作用 一 声子膨胀的倒逆过程 U过程 第一布里渊区 q1 q