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授课教师 田园高中俞德斌 等差数列的前n项和公式 问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 见左图 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 计算 1 2 3 4 5 6 98 99 100 高斯速算 德国伟大的数学家高斯 神速求和 的故事 小高斯上小学四年级时 一次教师布置了一道数学习题 把从1到100的自然数加起来 和是多少 年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050 这使教师非常吃惊 那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢 1 2 99 100 1 2 3 50 51 98 99 100 数学巨人高斯的求法 如何求等差数列 an 的前n项和 Sn a1 a2 an 1 an s100 s100 Sn a1 a1 d a1 2d a1 n 1 d Sn an an d an 2d an n 1 d 两式相加得 2Sn a1 an a1 an a1 an a1 an n a1 an 即前n项的和与首末项及项数有关 是否还有别的表达方式 等差数列的前n项和公式的推导 等差数列的前n项和公式的其它形式 公式记忆方法 1 前n个正整数的和 1 2 3 n 2 求正整数列中前n个偶数的和2 4 6 2n 以下等式中不是等差数列的前n项和公式是 D 巩固与诊断 例 等差数列 10 6 2 2 前多少项的和是54 解 将题中的等差数列记为 an sn代表该数列的前n项和 则有a1 10 d 6 10 4 设该数列前n项和为54根据等差数列前n项和公式 解得n1 9 n 3 舍去 故此等差数列的前9项和为54 课堂练习 等差数列 an 的首项为a1 公差为d 项数为n 第n项为an 前n项和为Sn 请填写下表 95 500 20 6 2 15 例 在等差数列 an 中 已知求S16 思考 已知a6 20 你能求出S11吗 例 某种小汽车 A 购买时费用为10万元 B 每年应交保险费 养路费及汽油费合计9000元 C 汽车的维修费平均为 第一年2000元 第二年为4000元 第三年为6000元 依等差数列逐年递增 问这种汽车使用多少年报废最合算 即使用多少年的平均费用最少 拓展与探究 解 设汽车使用n年报废最合算 由题意知 每年的维修费用构成等差数列 n年总维修费用为 年平均费用为 1 公式的推导方法 倒序相加法求和
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