现代控制理论作业题答案

第九章线性系统的状态空间分析与综合精品资料9-1 设系统的微分方程为其中 u 为输入量，x 为输出量。x 3x2xu 设状态变量x1x ， x2x ，试列写动态方程； 设状态变换x1x1x2 ， x2x12 x2 ，试确定变换矩阵t 及变换后的动态方程。x101x10x1解：u ， y10；x22x1x13x2111x212111t， t； t； atat ， btb ， cct ；x2x2111211x110x11x1得， t；u ， y11。12x201x21x29-2 设系统的微分方程为y 6 y11y6 y6u其中 u 、 y 分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即 a为友矩阵 )及可观标准型(即 a 为友矩阵转置 )状态空间表达式，并画出状态变量图。解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，0066x1011x0u01600100x001x0u；61161y600 xy001 x可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，ux3s-1x2s-1x1s-1x16yu6x1s-1 x1x2s-1 x2x3-1x3sy-6116-61169-3已知系统结构图如图所示，其状态变量为x1 、x2 、x3 。试求动态方程，并画出状态变量图。u (s)2x2(s)s32s(s1)x1(s)= y(s)- x3(s)s解：由图中信号关系得，x1x3 ， x2002x1 13 x202u ， x32 x23 x3 ， yx1 。动态方程为03x2u ， y 100 x ；210x20状态变量图为ux22-s-1x223x3s-1x3-3-1x1sy9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程x1x2u1x2x32u1u2y1x1x2，x36x111x26x3u2y22x1x2x3写出其向量 -矩阵形式并画出状态变量图。解：状态方程x010001x61161021 u ， y01110x；211状态变量图为u2-x3s-1x3-1162x2s-1x2-u1x1s-1x12y2 y19-5 已知系统传递函数为g(s)s26s8s24s3 ，试求出可控标准型( a为友矩阵 )、可观标准型 ( a为友矩阵转置)、对角型 ( a为对角阵 )动态方程。解： g(s)2 s521.510.51 ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为s4s301xx34s1s300ux1；135xux 42；101.5xu030.5。y52 xuy01 xuy11 xu9-6 已知系统传递函数为试求约当型 ( a 为约当阵 )动态方程。g(s)5(s1) 2 ( s2) ，2005解： g(s)55s2(s1)5(s1)2 ； x011x0015 u ， y 5110 x 。9-7 已知系统的状态方程为101xxu ， 111初始条件为解法 1：x1 (0)1 ， x2 (0)0 。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。1s10et0(t )l 1；1s1tetetet01tet01etet12et1x解法 2：tetet00 (t)etdet11stet1tet1 s。2tet11s21x( s)(sia) 1 bu(s)x(0)s( s11)2s(s2et11) 21s(s；1) 22s9-8 已知系统的状态转移矩阵xl x(s)。2tet(t)3e tt2e 2t2 t2e tt2e 2t2 t，试求该系统的状态阵a 。123e3e2e3e解： a(t )t 0。(注：原题给出的34(t) 不满足(0)a 及(t )a(t)(t ) a 。)9-9 已知系统动态方程x010230x11301u ， y 2001 x ，试求传递函数g(s) 。解： g(s)c(sia) 1 b ，1s100s29s300g( s)00121s301s31001s37s622s6s5s23ss1s201；3s229-10 试求所示系统的传递函数矩阵。g( s)2s2 s37 s3。7s61解： ( sia)01x006111s100s1011x260321s6s01111su， y s2611216s1160x 。12s61s 6ss；2611s66s11s6sg(s)1s36s2111s62s26s1110611s6s26 s110s21 ；26 s1s24s2911s6s01s24s59-11 已知差分方程g(s)s36s211s64s228。4s4y(k2)3 y(k1)2 y(k)2u(k1)3u(k ) ，试列写可控标准型( a 为友矩阵)离散动态方程，并求出u( k)1 时的系统响应。给定y(0)0 ，y(1)1 。解：系统的脉冲传递函数为g( z)2 z3z23 z， u ( z)2z； x(k1)z101x(k )230u(k) ，1y(k)32 x( k) 。y(z)g( z)u ( z)y(0) z2y(1) z3 y(0)2 z3( z1)( z3z21)( z2)5 z6(z1)z2(z1)2z；3(z2)9-12 已知连续系统动态方程为y(k )5(1) k622 k 1。3010xx021u ， y10 x ，设采样周期t1 s ，试求离散化动态方程。解：设(siu(t )a)u(k) ， kt1s1t (k11) t1 / s；1 / s( s2)，(t )10.5(e2t1)；0s2201/( s2)0e2t2(t)10.5(e1)2，0e2t0(tt)dt0120.25(e3)2；0.5(e1)x( k1)10.5(e20e1)x(k)0.25(e20.5(e3)u( k) ，1)y(k )10 x(k) 。22101100x020x0u ；x010x1u ；14010110110004001x010x01u ；x040x20101000119-13 判断下列系统的状态可控性：u ；1100010000101000002100012xx01u ；x110000110x0 u 。101021解：u000， ranku2n ；状态不完全可控；101012u111， ranku2n ；状态不完全可控；0120001u 10101 ， ranku 13 ；状态完全可控；10111416u2832， ranku2n ；状态不完全可控；11101223 23111123， ranku3n ；状态不完全可控；111123122211u20013 1012 13 12311123222u， ranku114 ；状态完全可控；9-14 已知 adabc ，试计算c100b？d解：矩阵 a 的特征方程为(s)s2( ad ) s0 ， 据凯莱哈密尔定理得知：a 2(ad ) a0 ， ak 1100( ad) ak ；a100( ad) 99 a ；ab( ad ) 99ab。cdcd9-15 设系统状态方程为且状态完全可控。试求a 、 b 。011xxu ，1ab1b21解： u， detuab1b0 ，只需 ab。bab1b9-16 设系统传递函数为且状态完全可控。试求a 。g(s)ss37 s2a，14s8解：可控标准型实现的系统，无论a 取何值，系统状态完全可控。在可观标准型实现中008aa0x1014x1u，y001 x ； u1a0170018detua 37 a 214a80 ；只需 a1、 a2 且 a14，a74 。注：由g( s) 分子和分母的多项式互质条件，同样得到a37a 214a80 。9-17 判断下列系统的输出可控性：a000b0x00c0000000xu ， y01d11000 x 。0100x001x0u ，y100x ；1161scbcabca n1bc bab6解：输出可控性判别矩阵oan 1 bcu 。00000000110u01 u2c c3， soc0000 ， rank so0q ，系统的输出不可控。d d 2d 30110， so 00001 ， rankso1q ，系统的输出可控；9-18 判断下列系统的可观测性：1222200 x011x0u ，y110x ；x020x ， y111 x ；10110311100210x ；x020x ， y011 x 。003010002100100002 x0x ， y1000解：应用可观测性判别矩阵。110v131 ， rankv3 ；系统完全可观测；252111v251， rankv3 ；系统完全可观测；41311000001011000021011v023， rankv2n ；系统不完全可观测；049v2， rankv4 ；系统完全可观测；9-19 试确定使下列系统可观测的a 、 b ：a1x0bx ， y11 x 。解： v11a 1b， detv1ba0 ，只需 ab 1 。9-20 已知系统各矩阵为13201100a042， b00， c，00110001试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。1解： ( sia) 1s1320s4200s11s410(s1)( s4)02s432s12，0s4传递函数矩阵为g( s)( s1)(s4)s400121u0020， ranku3n； v101010001300；01， rankv3n ；21该实现是完全可控且完全可观测的。9-21 将下列状态方程化为可控标准型121xxu 。341解：xt x； atat21 ， btb ；5111161111det(sia)s5s6 ，u；tu，t；1017010xxu 。105121826注：若不要求计算变换矩阵，可根据特征多项式直接列写可控标准型。9-22 已知系统传递函数为g(s)s1,s23s2试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。解：系统传递函数的分子和分母多项式中有公因式完全可观测的。(s1)，任何 2 维动态方程不可能是既完全可控又可控不可观测动态方程010xxu ， y23102111 x ；可观测不可控动态方程不可控不可观测动态方程xxu ，y 131201xxu ， y01 x ；10 x 。9-23 设被控系统状态方程为010010x011 x011000u ，10可否用状态反馈任意配置闭环极点？求状态反馈矩阵，使闭环极点位于态变量图。10,1j3，并画出状0010解： u01090， ranku3 ，系统完全可控，可用状态反馈任意配置闭环极点。10100990期望的特征多项式为k ( s)(s10)( s22s4)s312s224 s40 ；待定参数特征多项式为(s)s3(10k39) s2(10k210k39)s10k1 ；解得，k41.22.1 。状态变量图如下：102.1rux3x310s-1x2s-1x1x1s-14-x21.29-24 设被控系统动态方程为010xx001u ， y10 x ，2试设计全维状态观测器，使其闭环极点位于r ,2r ， (r0) ，并画出状态变量图。2解：期望的观测器特征多项式为l (s)(sr )( s2 r )s23rs2r；待定系数的特征多项式为( s)det( sialc )sl1 sl 2 ；3rl2；2rux2s-1 x2x1s-1x1yz3r1z 2r 203r2r 2y0 u ， x?z 。12r 23r-状态变量图如右图所示。9-25 设被控系统动态方程为z2s-1z2z1s-1z1x?1x?200520x101x12 u ，y001 x ，01301试检查被控系统的可控性、可观测性；求输出至输入的反馈矩阵，使闭环极点位于0.57 ，并画出状态变量图。0.22j1.3 ，解： u 120012201151 ， rank u 153 ，可控性判别矩阵满秩；动态方程是可观测标准型；被控系统是完全可控且完全可观测的； 期望的特征多项式为k (s)(s0.57)( s20.44s1.7384)s31.01s21.9892 s0.9909 ；选取状态反馈矩阵k00k1k20k；则待定参数特征多项式为3(s)s3(k2k3) s2(5k5k32120002 k31)s(5k210k15)解得k；0.75330.30842.6068构造全维状态观测器，其极点选为2,3,5；则，3l ( s)( s2)( s3)( s5)s310s231s30 ，(s)s3(3l)s2(1l2 ) s(5l1) ；3500302035即 l32； z1031z12u32y ， x?z ；70110017r 2u22-r 1-2u1-x15s-1x1x2s-1x2x3s-1x3-y3303110-z1z1z2z2z3z3s-1s-1s-1-k1x?1k2x?2k330x?331109-26 已知系统动态方程各矩阵为1200a311， b0， c111 ，0201试检查可观测性，设计(nq) 维观测器，并使所有极点配置在4 。解： n3 ， q11 ；11v211， rankv3n，该系统完全能观；选取变换矩阵1171111112131p010，p 1q010；则a314； b0；l0010010201l1；l 2z( a22l a12 ) z( a22l a12 )l( a21la11 ) y(b2lb1 )u ， x?(q1q2 l) yq2 z ；sl28s16 ，(s)det(sia22l a12 )s2(l3l 21)s(6l1l28) ；解得，163/173.7059l； (nq) 维观测器方程如下：30 /172.7059z0.23531.76477.1176z5.29413.7059u0.76474.41183.5294y ， x?4.47063.7059y1.76471110 z 。019-27 试用李亚普诺夫第二法判断下列系统平衡态的稳定性：解： 李亚普诺夫方程at px1x1paq ，x2 ， x22 x13x2 。1123p11p12q110q1140其中系统矩阵为a；取p， q，；p12p220q22q2