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常用均值不等式及证明证明概念：1 、调和平均数：hnn1a11a 21a n2 、几何平均数：gna1 a 2a n1na3 、算术平均数：an1a2anna 2a 2a 24 、平方平均数：q n12nn这四种平均数满足hngnanqna1、 a2、 、 anr，当且仅当a1a2an 时取“=”号ar1a r1r2a rn均值不等式的一般形式：设函数dxn(当r0时 );dxa 1 a 2a n1n( 当r0时 ）（即d0a1a 2an1n则有：当r=-1 、 1、0 、2 注意到 hn gn an qn仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1) d(0) d(1) d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用21a1babab2a2b22均值不等式的变形：精品资料22(1) 对实数 a,b ，有 ab2ab(当且仅当 a=b 时取“=”号)，a2 , b 202ab(2) 对非负实数a,b，有 ab2abab0 ，即2ab0(3) 对负实数a,b ，有ab-2ab0(4) 对实数 a,b ，有aa - bba - b(5) 对非负实数a,b，有a2b2ab22ab0(6) 对实数 a,b ，有 a2b22ab2abc2(7) 对实数 a,b,c ，有(8) 对实数 a,b,c ，有a2b2c2a2b2c23abbcac2(9) 对非负数a,b ，有 a2abb23 ab4abc(10) 对实数 a,b,c ，有3均值不等式的证明：3abc方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。n引理：设a0， b 0，则abannan-1 b注：引理的正确性较明显，条件a0 ，b 0 可以弱化为a0， a+b 0(用数学归纳法)。原题等价于：a1a2nnana1a2an当 n=2 时易证；假设当 n=k 时命题成立，即a1a2kk12kaka aa那么当 n=k+1时，不妨设ak1 是a 1 ,a 2 , a k1 中最大者，则kak 1设sa1a1a2a 2ak1aka 1a 2k1a k1ska kk11 - sk1k1sk1kkkkkk1kska- s kk11用引理ksa k1ka1 a 2a k1用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数fx , x1 , x2 , xn 是函数fx在区间 (a,b) 内的任意 n 个点，则有：fx1x2nxnfx1fx2 nfxn设 fxln x ， fx为上凸增函数所以，lnx1x2xn n1ln x1ln x2nln xnlnx1 x2xnnx1x2即nxnx1
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